- Condição de não existência do limite: Se
tende para
quando (
) tende para (
) ao longo do caminho
e
tende para
quando (
) tende para (
) ao longo do caminho
, com
, então o limite de f quando (
) tende para (
) não existe.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumo claro e sem resolver ainda):
- Dados: uma função
e um ponto . - Sabemos que, ao aproximar
de ao longo de um caminho , a função tende para . - Sabemos que, ao aproximar
de ao longo de outro caminho , a função tende para . - Informação adicional:
.
Pergunta implícita: o que podemos concluir sobre o limite de
quando
? (Ou seja: existe esse limite ou não?)
Passo 2
Definição precisa e intuitiva do que significa “limite” em duas variáveis (ferramenta que vamos usar):
- Definição epsilon‑delta: Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, então
.
Isto quer dizer que, dentro de qualquer disco centrado em suficientemente pequeno, todos os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
, independentemente do caminho de aproximação.
Isto quer dizer que, dentro de qualquer disco centrado em
- No exame prático: para que o limite exista, o valor de
ao se aproximar de tem que se estabilizar em um mesmo número para todas as direções/caminhos. Se dois caminhos diferentes dão dois limites distintos, isso já quebra a definição acima.
Passo 3
Estratégia de prova que vamos usar (sem resolver ainda): prova por contradição usando a definição epsilon‑delta.
Esquema: assumir que o limite total existe e é algum
. A partir das hipóteses de convergência ao longo de
e
obteremos uma contradição escolhendo um
apropriado.
Passo 4
Preparar a escolha de
e as garantias dadas pelas convergências ao longo dos caminhos:
Como
, seja
Escolha um número
Pelo enunciado:
- Como
tende para ao longo de , existe tal que, para pontos em com , tem-se
- Como
tende para ao longo de , existe tal que, para pontos em com , tem-se
Passo 5
Agora suponha, para chegar a uma contradição, que o limite total existe:
Suponha que exista
tal que
Pela definição epsilon‑delta aplicada a
, existe
tal que, sempre que
, resulta
Considere então
Existem pontos em
arbitrariamente próximos de
, logo existe um ponto
com
. Para esse ponto, tanto vale a garantia da convergência ao longo de
quanto a garantia da convergência total, portanto
Analogamente, existe um ponto
com
tal que
Passo 6
Uso da desigualdade triangular para ligar
e obter contradição:
Para o ponto em
, pela desigualdade triangular
Logo
Analogamente, para o ponto em
,
Agora, novamente pela desigualdade triangular,
Isso dá a desigualdade estrita
, que é impossível.
Portanto a suposição de que existia um limite
leva a uma contradição.
Passo 7
Conclusão lógica e interpretação prática:
-
Concluímos que não existe
tal que . Ou seja, o limite de em NÃO existe. -
Interpretação prática para a prova/exame: se for possível encontrar dois caminhos
e que conduzem a dois limites diferentes , isso já basta para afirmar que o limite total não existe. É uma ferramenta rápida e extremamente útil em problemas de limite em várias variáveis.
Passo 8
Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Considere
e o ponto
.
- Ao longo da reta
temos para , logo o limite ao longo desse caminho é . - Ao longo da reta
temos
logo o limite ao longo desse caminho é
.
Como os limites ao longo desses dois caminhos são
e
, distintos, pelo resultado que provamos o limite de
quando
não existe.
Resposta
O limite de
quando
não existe.