• Condição de não existência do limite: Se \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) tende para \mathrm{L}_{1} quando ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) tende para ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) ao longo do caminho \mathrm{C}_{1} e \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) tende para \mathrm{L}_{2} quando ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) tende para ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) ao longo do caminho \mathrm{C}_{2}, com \mathrm{L}_{1} \neq \mathrm{L}_{2}, então o limite de f quando ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) tende para ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) não existe.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumo claro e sem resolver ainda):
  • Dados: uma função f(x,y) e um ponto (x_0,y_0).
  • Sabemos que, ao aproximar (x,y) de (x_0,y_0) ao longo de um caminho C_1, a função tende para \,L_1.
  • Sabemos que, ao aproximar (x,y) de (x_0,y_0) ao longo de outro caminho C_2, a função tende para \,L_2.
  • Informação adicional: L_1 \neq L_2.
Pergunta implícita: o que podemos concluir sobre o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(x_0,y_0)? (Ou seja: existe esse limite ou não?)

Passo 2

Definição precisa e intuitiva do que significa “limite” em duas variáveis (ferramenta que vamos usar):
  • Definição epsilon‑delta: Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, então |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Isto quer dizer que, dentro de qualquer disco centrado em (x_0,y_0) suficientemente pequeno, todos os valores de f ficam arbitrariamente próximos de L, independentemente do caminho de aproximação.
  • No exame prático: para que o limite exista, o valor de f ao se aproximar de (x_0,y_0) tem que se estabilizar em um mesmo número L para todas as direções/caminhos. Se dois caminhos diferentes dão dois limites distintos, isso já quebra a definição acima.

Passo 3

Estratégia de prova que vamos usar (sem resolver ainda): prova por contradição usando a definição epsilon‑delta.
Esquema: assumir que o limite total existe e é algum L. A partir das hipóteses de convergência ao longo de C_1 e C_2 obteremos uma contradição escolhendo um \varepsilon apropriado.

Passo 4

Preparar a escolha de \varepsilon e as garantias dadas pelas convergências ao longo dos caminhos:
Como L_1\neq L_2, seja
\Delta := |L_1-L_2|>0.
Escolha um número
\varepsilon_0 := \frac{\Delta}{4} > 0.
Pelo enunciado:
  • Como f tende para L_1 ao longo de C_1, existe \delta_1>0 tal que, para pontos (x,y) em C_1 com 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta_1, tem-se
|f(x,y)-L_1|<\varepsilon_0.
  • Como f tende para L_2 ao longo de C_2, existe \delta_2>0 tal que, para pontos (x,y) em C_2 com 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta_2, tem-se
|f(x,y)-L_2|<\varepsilon_0.

Passo 5

Agora suponha, para chegar a uma contradição, que o limite total existe:
Suponha que exista L tal que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L.
Pela definição epsilon‑delta aplicada a \varepsilon_0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, resulta
|f(x,y)-L|<\varepsilon_0.
Considere então
\delta^* := \min(\delta,\delta_1,\delta_2) > 0.
Existem pontos em C_1 arbitrariamente próximos de (x_0,y_0), logo existe um ponto (x^{(1)},y^{(1)})\in C_1 com 0<\sqrt{(x^{(1)}-x_0)^2+(y^{(1)}-y_0)^2}<\delta^*. Para esse ponto, tanto vale a garantia da convergência ao longo de C_1 quanto a garantia da convergência total, portanto
|f(x^{(1)},y^{(1)})-L_1|<\varepsilon_0 \quad\text{e}\quad |f(x^{(1)},y^{(1)})-L|<\varepsilon_0.
Analogamente, existe um ponto (x^{(2)},y^{(2)})\in C_2 com 0<\sqrt{(x^{(2)}-x_0)^2+(y^{(2)}-y_0)^2}<\delta^* tal que
|f(x^{(2)},y^{(2)})-L_2|<\varepsilon_0 \quad\text{e}\quad |f(x^{(2)},y^{(2)})-L|<\varepsilon_0.

Passo 6

Uso da desigualdade triangular para ligar L,L_1,L_2 e obter contradição:
Para o ponto em C_1, pela desigualdade triangular
|L-L_1| \le |L-f(x^{(1)},y^{(1)})| + |f(x^{(1)},y^{(1)})-L_1| < \varepsilon_0 + \varepsilon_0 = 2\varepsilon_0.
Logo
|L-L_1| < 2\varepsilon_0 = \frac{\Delta}{2}.
Analogamente, para o ponto em C_2,
|L-L_2| < \frac{\Delta}{2}.
Agora, novamente pela desigualdade triangular,
\Delta = |L_1-L_2| \le |L_1-L| + |L-L_2| < \frac{\Delta}{2} + \frac{\Delta}{2} = \Delta.
Isso dá a desigualdade estrita \Delta < \Delta, que é impossível.
Portanto a suposição de que existia um limite L leva a uma contradição.

Passo 7

Conclusão lógica e interpretação prática:
  • Concluímos que não existe L tal que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L. Ou seja, o limite de f em (x_0,y_0) NÃO existe.
  • Interpretação prática para a prova/exame: se for possível encontrar dois caminhos C_1 e C_2 que conduzem a dois limites diferentes L_1\neq L_2, isso já basta para afirmar que o limite total não existe. É uma ferramenta rápida e extremamente útil em problemas de limite em várias variáveis.

Passo 8

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Considere
f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2},\qquad (x,y)\neq(0,0),
e o ponto (x_0,y_0)=(0,0).
  • Ao longo da reta y=0 temos f(x,0)=0 para x\neq0, logo o limite ao longo desse caminho é 0.
  • Ao longo da reta y=x temos
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\quad\text{para }x\neq0,
logo o limite ao longo desse caminho é \tfrac{1}{2}.
Como os limites ao longo desses dois caminhos são 0 e \tfrac{1}{2}, distintos, pelo resultado que provamos o limite de f quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Resposta

O limite de f(x,y) quando (x,y)\to(x_0,y_0) não existe.

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