Confirme ou corrija a afirmação abaixo. Dê exemplos ou contra-exemplos.
Um sistema linear com
equações e
incógnitas sempre tem uma única solução.
Passo 1
O enunciado afirma: “Um sistema linear com
equações e
incógnitas sempre tem uma única solução.”\n
Informações dadas (claras e isoladas):
Informações dadas (claras e isoladas):
- O sistema é linear.
- Tem
equações e incógnitas (ou seja, a matriz de coeficientes é quadrada de ordem ). - A afirmação pede para confirmar ou corrigir essa afirmação e dar exemplos ou contraexemplos.
Passo 2
Resposta curta (o que vamos provar/explicar): a afirmação é falsa. Um sistema linear quadrado (
) pode ter exatamente uma solução, pode ter infinitas soluções ou pode não ter solução alguma. Nos próximos passos eu vou te ensinar como identificar cada caso, com definição das ferramentas e exemplos passo a passo.
Passo 3
Definições fundamentais — escrevendo o sistema de forma matricial e o que é a matriz de coeficientes:\n
Um sistema linear com incógnitas pode ser escrito como
Um sistema linear com
onde:
-
é a matriz de coeficientes (cada linha é uma equação, cada coluna corresponde a uma incógnita); -
é o vetor coluna das incógnitas, ; -
é o vetor coluna dos termos independentes (lado direito).\n
Saber trabalhar comé a chave: a existência e unicidade de soluções dependem de propriedades de .
Passo 4
Caso com solução única — condição e razão:\n
Se , então
é invertível (ou seja, tem inversa
). Nesse caso multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Se
o que dá exatamente uma solução. Intuição simples:
representa uma transformação linear que é bijetora quando
, então cada
tem um único
tal que
.\n
Ferramenta prática: calcular é um jeito rápido de testar unicidade. Outra forma equivalente é verificar se as linhas (ou colunas) de
são linearmente independentes.
Ferramenta prática: calcular
Passo 5
Exemplo prático de solução única (resolução passo a passo):\n
Considere o sistema
Considere o sistema
A matriz de coeficientes é
. Calcule o determinante:
Como
, existe solução única. Vamos achar
e
por substituição (passo a passo): da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Então
. Logo a solução única é
Passo 6
Quando não há solução única — explicando os dois outros casos (nenhuma ou infinitas soluções) e como detectá‑los:\n
Se , a matriz
não é invertível. Aí podem ocorrer dois cenários distintas para o sistema
:
Se
- Sistema inconsistente: não tem solução nenhuma.
- Sistema consistente mas com graus de liberdade: tem infinitas soluções.\n
Para distinguir os dois usamos o conceito de posto (rank) e o teorema de Rouché–Capelli:\n
- Seja
o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada (a matriz com a coluna acrescentada).\n
O teorema de Rouché–Capelli diz: - O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e somente se,
. - Se consistente, o número de graus de liberdade (variáveis livres) é
. Se então a solução é única; se então há infinitas soluções.\n
Portanto, se(o que implica ) há duas possibilidades: se não há solução; se há infinitas soluções.
Passo 7
Exemplo com infinitas soluções (passo a passo):\n
Considere
Considere
A segunda equação é exatamente
vezes a primeira, então as duas são dependentes. A matriz de coeficientes é
e
. A matriz aumentada
é
e tem o mesmo posto que
(ambos têm posto
), então
. Pelo Rouché–Capelli o sistema é consistente com
variável livre — ou seja, infinitas soluções.\n
Parametrizando: seja . Da primeira equação
. Todas as soluções são
Parametrizando: seja
Passo 8
Exemplo sem solução (passo a passo):\n
Considere
Considere
A matriz de coeficientes é a mesma do exemplo anterior,
, com
. Porém a matriz aumentada é
. Note que a segunda linha da matriz aumentada não é múltipla escalar da primeira (pois
), logo
enquanto
. Como
, pelo Rouché–Capelli o sistema é inconsistente: não existe solução. Intuitivamente, as duas equações representam retas paralelas (mesma direção) mas com termos independentes diferentes — não se encontram.]
Passo 9
Resumo prático que você pode usar na prova (receita rápida):\n
- Forme a matriz de coeficientes
e calcule . Se então há solução única e você pode achar ou usar eliminação/Cramer.\n - Se
, calcule os postos e :\n - Se
então há infinitas soluções (parametrizar as variáveis livres).\n - Se
então não há solução.\n
Essa é a ferramenta que resolve qualquer sistema quadrado em prova sem mistério.
- Se
Passo 10
Um lembrete amigo: não se desespere — decorar a receita dos passos acima e praticar dois exemplos (um com solução única, um sem solução ou com infinitas soluções) já te deixa seguro para a maioria das questões de prova. Força que dá pra aprender isso rápido!
Resposta
Falsa — um sistema linear
tem solução [\left(\dfrac{11}{7},\dfrac{5}{7}\right)).
Exemplo infinitas soluções:
.
Exemplo sem solução: (
] não tem solução.]