Confirme ou corrija a afirmação abaixo. Dê exemplos ou contra-exemplos.
Um sistema linear com n equações e n incógnitas sempre tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado afirma: “Um sistema linear com n equações e n incógnitas sempre tem uma única solução.”\n
Informações dadas (claras e isoladas):
  • O sistema é linear.
  • Tem n equações e n incógnitas (ou seja, a matriz de coeficientes é quadrada de ordem n).
  • A afirmação pede para confirmar ou corrigir essa afirmação e dar exemplos ou contraexemplos.

Passo 2

Resposta curta (o que vamos provar/explicar): a afirmação é falsa. Um sistema linear quadrado ( n\times n) pode ter exatamente uma solução, pode ter infinitas soluções ou pode não ter solução alguma. Nos próximos passos eu vou te ensinar como identificar cada caso, com definição das ferramentas e exemplos passo a passo.

Passo 3

Definições fundamentais — escrevendo o sistema de forma matricial e o que é a matriz de coeficientes:\n
Um sistema linear com n incógnitas pode ser escrito como
A x = b,
onde:
  • A é a matriz n\times n de coeficientes (cada linha é uma equação, cada coluna corresponde a uma incógnita);
  • x é o vetor coluna das incógnitas, x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T;
  • b é o vetor coluna dos termos independentes (lado direito).\n
    Saber trabalhar com A é a chave: a existência e unicidade de soluções dependem de propriedades de A.

Passo 4

Caso com solução única — condição e razão:\n
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível (ou seja, tem inversa A^{-1}). Nesse caso multiplicamos ambos os lados por A^{-1} e obtemos
x = A^{-1} b,
o que dá exatamente uma solução. Intuição simples: A representa uma transformação linear que é bijetora quando \det(A)\neq 0, então cada b tem um único x tal que Ax=b.\n
Ferramenta prática: calcular \det(A) é um jeito rápido de testar unicidade. Outra forma equivalente é verificar se as linhas (ou colunas) de A são linearmente independentes.

Passo 5

Exemplo prático de solução única (resolução passo a passo):\n
Considere o sistema
\begin{cases} x + 2y = 3,\\[4pt] 3x - y = 4. \end{cases}
A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]3 & -1\end{pmatrix}. Calcule o determinante:
\det(A)=1\cdot(-1)-2\cdot 3 = -1-6 = -7 \neq 0.
Como \det(A)\neq 0, existe solução única. Vamos achar x e y por substituição (passo a passo): da primeira equação temos x=3-2y. Substituindo na segunda:
3(3-2y)-y=4 \Rightarrow 9-6y-y=4 \Rightarrow 9-7y=4 \Rightarrow -7y=-5 \Rightarrow y=\frac{5}{7}.
Então x=3-2\cdot\frac{5}{7}=3-\frac{10}{7}=\frac{21-10}{7}=\frac{11}{7}. Logo a solução única é
\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{7},\frac{5}{7}\right).]

Passo 6

Quando não há solução única — explicando os dois outros casos (nenhuma ou infinitas soluções) e como detectá‑los:\n
Se \det(A)=0, a matriz A não é invertível. Aí podem ocorrer dois cenários distintas para o sistema Ax=b:
  1. Sistema inconsistente: não tem solução nenhuma.
  2. Sistema consistente mas com graus de liberdade: tem infinitas soluções.\n
    Para distinguir os dois usamos o conceito de posto (rank) e o teorema de Rouché–Capelli:\n
  • Seja \operatorname{rank}(A) o posto da matriz de coeficientes e \operatorname{rank}([A\mid b]) o posto da matriz aumentada (a matriz A com a coluna b acrescentada).\n
    O teorema de Rouché–Capelli diz:
  • O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]).
  • Se consistente, o número de graus de liberdade (variáveis livres) é n-\operatorname{rank}(A). Se \operatorname{rank}(A)=n então a solução é única; se \operatorname{rank}(A)<n então há infinitas soluções.\n
    Portanto, se \det(A)=0 (o que implica \operatorname{rank}(A)<n) há duas possibilidades: se \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A) não há solução; se \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)<n há infinitas soluções.

Passo 7

Exemplo com infinitas soluções (passo a passo):\n
Considere
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] 2x + 2y = 4. \end{cases}
A segunda equação é exatamente 2 vezes a primeira, então as duas são dependentes. A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]2&2\end{pmatrix} e \det(A)=1\cdot2-1\cdot2=0. A matriz aumentada [A\mid b] é \begin{pmatrix}1&1&2\\[2pt]2&2&4\end{pmatrix} e tem o mesmo posto que A (ambos têm posto 1), então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=1<2. Pelo Rouché–Capelli o sistema é consistente com 2-1=1 variável livre — ou seja, infinitas soluções.\n
Parametrizando: seja y=t\in\mathbb{R}. Da primeira equação x=2-y=2-t. Todas as soluções são
(x,y)=(2-t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Exemplo sem solução (passo a passo):\n
Considere
\begin{cases} x + y = 2,\\[4pt] 2x + 2y = 5. \end{cases}
A matriz de coeficientes é a mesma do exemplo anterior, A=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]2&2\end{pmatrix}, com \det(A)=0. Porém a matriz aumentada é \begin{pmatrix}1&1&2\\[2pt]2&2&5\end{pmatrix}. Note que a segunda linha da matriz aumentada não é múltipla escalar da primeira (pois 5\neq 2\cdot 2), logo \operatorname{rank}([A\mid b])=2 enquanto \operatorname{rank}(A)=1. Como \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A), pelo Rouché–Capelli o sistema é inconsistente: não existe solução. Intuitivamente, as duas equações representam retas paralelas (mesma direção) mas com termos independentes diferentes — não se encontram.]

Passo 9

Resumo prático que você pode usar na prova (receita rápida):\n
  1. Forme a matriz de coeficientes A e calcule \det(A). Se \det(A)\neq 0 então há solução única e você pode achar x=A^{-1}b ou usar eliminação/Cramer.\n
  2. Se \det(A)=0, calcule os postos \operatorname{rank}(A) e \operatorname{rank}([A\mid b]):\n
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n então há infinitas soluções (parametrizar as variáveis livres).\n
    • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) então não há solução.\n
      Essa é a ferramenta que resolve qualquer sistema quadrado em prova sem mistério.

Passo 10

Um lembrete amigo: não se desespere — decorar a receita dos passos acima e praticar dois exemplos (um com solução única, um sem solução ou com infinitas soluções) já te deixa seguro para a maioria das questões de prova. Força que dá pra aprender isso rápido!

Resposta

Falsa — um sistema linear n\times n\) pode ter \(0\), \(1\) ou infinitas soluções. Exemplo solução única: \(\begin{cases}x+2y=3\\[4pt]3x-y=4\end{cases} tem solução [\left(\dfrac{11}{7},\dfrac{5}{7}\right)).
Exemplo infinitas soluções: \begin{cases}x+y=2\\[4pt]2x+2y=4\end{cases}\] tem soluções \[(x,y)=(2-t,t),\\ t\in\mathbb{R}.
Exemplo sem solução: ( \begin{cases}x+y=2\\[4pt]2x+2y=5\end{cases}] não tem solução.]

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