O conjunto de dados abaixo representa a concentração ( \mathrm{em} \mathrm{mg} / \mathrm{dL} ) de glicose no sangue em jejum de um grupo de 12 pacientes adultos:
85,91,104,99,110,95,88,92,107,100,97,94
Obtenha a média, mediana e desvio-padrão amostrais.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a média amostral, a mediana e o desvio-padrão amostral da amostra de tamanho n=12. Os dados fornecidos são:
85,\,91,\,104,\,99,\,110,\,95,\,88,\,92,\,107,\,100,\,97,\,94.
Vou primeiro organizar o que temos: lista de 12 observações; precisamos calcular (1) a média aritmética \bar{x}, (2) a mediana (valor central) e (3) o desvio-padrão amostral s (usando divisor n-1). A partir daqui começo os cálculos passo a passo.

Passo 2

Cálculo da média aritmética \bar{x}.
Fórmula: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são as observações e n o tamanho da amostra.
Somando as observações:
85+91+104+99+110+95+88+92+107+100+97+94=1162.
Portanto
\bar{x}=\frac{1162}{12}=96,833\overline{3}.
Interpretação rápida: a média é o “centro de massa” das observações; aqui a média foi \bar{x}\approx96,833.

Passo 3

Cálculo da mediana.
Procedimento: primeiro ordenar os dados em ordem crescente e, como n é par ( n=12), a mediana é a média dos termos nas posições n/2 e n/2+1, ou seja das 6ª e 7ª observações ordenadas.
Dados ordenados (peguei os valores do enunciado e ordenei):
85,\,88,\,91,\,92,\,94,\,95,\,97,\,99,\,100,\,104,\,107,\,110.
As 6ª e 7ª observações são 95 e 97. Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{95+97}{2}=96.

Passo 4

Fórmula do desvio-padrão amostral e explicação do porquê usar n-1.
Fórmula: \displaystyle s=\sqrt{s^2} com
\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Aqui s^2 é a variância amostral e s o desvio-padrão amostral. Usamos n-1 (correção de Bessel) porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra; isso corrige o viés para cima/baixo e é o procedimento padrão em estatística.
Vou calcular \sum (x_i-\bar{x})^2 de forma exata usando frações para evitar erros de arredondamento.

Passo 5

Cálculo de \sum (x_i-\bar{x})^2 de maneira exata e simplificada.
Observação: \bar{x}=\dfrac{1162}{12}=\dfrac{581}{6}. Escrever cada x_i como fração com denominador 6 facilita:
x_i-\bar{x}=\frac{6x_i-581}{6},
então
(x_i-\bar{x})^2=\frac{(6x_i-581)^2}{36}.
Vou calcular 6x_i-581 para cada x_i e o quadrado:
\begin{array}{ll} x_i=85: & 6\cdot85-581=-71,\quad (-71)^2=5041,\\\ x_i=88: & 6\cdot88-581=-53,\quad (-53)^2=2809,\\\ x_i=91: & 6\cdot91-581=-35,\quad (-35)^2=1225,\\\ x_i=92: & 6\cdot92-581=-29,\quad (-29)^2=841,\\\ x_i=94: & 6\cdot94-581=-17,\quad (-17)^2=289,\\\ x_i=95: & 6\cdot95-581=-11,\quad (-11)^2=121,\\\ x_i=97: & 6\cdot97-581=1,\quad 1^2=1,\\\ x_i=99: & 6\cdot99-581=13,\quad 13^2=169,\\\ x_i=100:& 6\cdot100-581=19,\quad 19^2=361,\\\ x_i=104:& 6\cdot104-581=43,\quad 43^2=1849,\\\ x_i=107:& 6\cdot107-581=61,\quad 61^2=3721,\\\ x_i=110:& 6\cdot110-581=79,\quad 79^2=6241. \end{array}
Somando todos esses quadrados (estes são os numeradores):
5041+2809+1225+841+289+121+1+169+361+1849+3721+6241 = 22668.
Então
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2=\frac{22668}{36}=629\frac{2}{3}=629,666\overline{6}.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{11}\cdot\frac{22668}{36}=\frac{22668}{396}.
Simplificando por 12:
s^2=\frac{1889}{33}\approx57,242424\ldots

Passo 6

Cálculo da raiz quadrada para obter o desvio-padrão s.
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1889}{33}}\approx\sqrt{57,242424\ldots}\approx7,56587\ldots
Arredondando adequadamente (por exemplo, três casas decimais) obtemos s\approx7,566.
Interpretação rápida: o desvio-padrão amostral s dá uma medida típica de dispersão dos valores em torno da média; aqui é cerca de 7,57 mg/dL.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{1162}{12}=96,833\overline{3}
\text{mediana}=96
s=\sqrt{\dfrac{1889}{33}}\approx7,566

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