O conjunto a seguir mostra, para 10 indivíduos, o índice de massa corporal (IMC) e a pressão arterial sistólica ( mmHg ):
Indivíduo IMC Pressão (mmHg)
1 21.8 112
2 22.5 115
3 24.1 120
4 25.0 124
5 26.2 128
6 27.3 130
7 28.5 134
8 29.4 137
9 30.1 140
10 31.5 145
(a) Construa um gráfico de dispersão entre IMC (eixo x ) e pressão arterial (eixo y ).
(b) Estime e interprete o coeficiente de correlação amostral.
(c) Explique, em termos práticos, o que significa uma correlação positiva nesse contexto.
(d) Explique o motivo pelo qual apenas observar uma correlação alta entre essas variáveis não implicaria uma relação de causa e efeito entre elas.

Passo 1

O enunciado dá os pares (IMC, pressão sistólica) para 10 indivíduos e pede quatro coisas: (a) construir um gráfico de dispersão com IMC no eixo x e pressão no eixo y; (b) estimar e interpretar o coeficiente de correlação amostral; (c) explicar, em termos práticos, o que significa uma correlação positiva aqui; (d) explicar por que uma correlação alta não prova causalidade.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os seguintes:
\,(21{,}8,112),\;(22{,}5,115),\;(24{,}1,120),\;(25{,}0,124),\;(26{,}2,128),\;(27{,}3,130),\;(28{,}5,134),\;(29{,}4,137),\;(30{,}1,140),\;(31{,}5,145).

Passo 2

Como fazer o gráfico de dispersão (passo a passo, para você reproduzir na prova à mão ou em calculadora):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares; marque o eixo horizontal como IMC (eixo x) e o vertical como Pressão (mmHg) (eixo y).
  2. Escolha escalas: por exemplo, no eixo x use de 21 a 32 com marcações a cada 1; no eixo y use de 110 a 150 com marcações a cada 5. Essas escalas cabem bem nos valores dados.
  3. Plote cada par (x,y) da lista do Passo 1: marque um ponto para \,(21{,}8,112), outro para \,(22{,}5,115), e assim por diante até \,(31{,}5,145).
    Observação visual rápida (o que você verá depois de plottar): os pontos ficam muito próximos de uma reta ascendente — isto é, conforme o IMC aumenta, a pressão tende a aumentar.

Passo 3

Vamos calcular as médias (essas são necessárias para o coeficiente de correlação):
  1. Soma dos IMC: \sum x_i = 266{,}4. Logo a média dos IMC é
\bar{x}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i=\frac{266{,}4}{10}=26{,}64.
  1. Soma das pressões: \sum y_i = 1285. Logo a média das pressões é
\bar{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} y_i=\frac{1285}{10}=128{,}5.
Explicação didática: \bar{x} é o valor central típico do IMC no conjunto; \bar{y} é o valor central típico da pressão. Sempre subtraímos essas médias quando queremos medir dispersão ou associação.

Passo 4

Definimos as quantidades usadas no coeficiente de correlação de Pearson:
  • \displaystyle S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, mede a variabilidade do x (IMC).
  • \displaystyle S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2, mede a variabilidade do y (pressão).
  • \displaystyle S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}), mede a covariância amostral (se x e y tendem a aumentar juntos, S_{xy} será positivo).
    Calculei esses somatórios (faça-os na prova linha a linha como fiz): obtive
S_{xx}=97{,}004,\qquad S_{yy}=1056{,}5,\qquad S_{xy}=319{,}6.
Explicação de interpretação: valores maiores de S_{xx} ou S_{yy} significam mais dispersão em cada variável; S_{xy} positivo indica que quando x está acima da média, y também tende a estar acima da média.

Passo 5

A fórmula do coeficiente de correlação amostral de Pearson é
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Aqui r varia entre -1 e 1; o sinal indica direção (positivo = relação direta, negativo = inversa) e o valor absoluto indica a força (próximo de 1 = forte correlação linear). Substituindo os valores calculados:
r=\frac{319{,}6}{\sqrt{97{,}004\cdot 1056{,}5}}.
Calculei a raiz e o quociente e obtive
r\approx 0{,}998.
Interpretação curta: é uma correlação linear muito forte e positiva entre IMC e pressão nos dados.

Passo 6

Para ajudar na intuição, também podemos obter a reta de ajuste (regressão linear) — é opcional, mas útil para interpretar em termos reais:
O coeficiente angular da reta de mínimos quadrados é
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{319{,}6}{97{,}004}\approx 3{,}297.
A ordenada na origem é
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=128{,}5-3{,}297\cdot 26{,}64\approx 40{,}70.
Logo a equação aproximada da reta é
\widehat{y}=40{,}70+3{,}297\,x.
Interpretação prática do coeficiente angular: em média, um aumento de 1 unidade no IMC está associado a um aumento de cerca de 3{,}3 mmHg na pressão sistólica neste conjunto de dados. Isso ajuda a traduzir a correlação em uma mudança esperada na pressão.

Passo 7

Resposta para a parte (c) — o que significa correlação positiva aqui: significa que, nos dados observados, indivíduos com IMC maior tendem a apresentar valores maiores de pressão arterial sistólica. Em termos práticos: quando você vê um ponto de IMC mais alto no gráfico, o ponto correspondente da pressão costuma estar mais alto também. Isso é uma associação direta entre as duas variáveis.

Passo 8

Resposta para a parte (d) — por que correlação alta não implica causalidade (explicação prática e exemplos):
  1. Confusão (variáveis de confusão): pode haver uma terceira variável comum (por exemplo, idade, sedentarismo, dieta, ou consumo de sal) que aumenta tanto o IMC quanto a pressão; a correlação entre IMC e pressão pode ser causada por essa terceira variável.
  2. Direção da relação: correlação não diz qual variável “causa” a outra — pode ser x\to y, y\to x ou ambos influenciados por algo externo.
  3. Coincidência em amostras pequenas ou viés de seleção: às vezes uma forte correlação aparece por acaso ou porque os dados não são representativos.
  4. Para afirmar causalidade precisamos de desenho adequado (experimento randomizado quando possível, ou estudos longitudinais com controle de confundidores e métodos de inferência causal). Sem isso, ficamos apenas com evidência de associação, não de efeito causal.

Resposta

(a) Pontos para o gráfico de dispersão: (21{,}8,112),\;(22{,}5,115),\;(24{,}1,120),\;(25{,}0,124),\;(26{,}2,128),\;(27{,}3,130),\;(28{,}5,134),\;(29{,}4,137),\;(30{,}1,140),\;(31{,}5,145).
(b) Coeficiente de correlação amostral \;r\approx 0{,}998 (correlação linear muito forte e positiva).
(c) Uma correlação positiva significa que indivíduos com IMC maior tendem a ter pressão arterial sistólica maior; numericamente, aqui cada aumento de 1 no IMC está associado, em média, a cerca de 3{,}3 mmHg a mais na pressão.
(d) Correlação alta não prova causalidade porque pode haver variáveis de confusão, direção inversa, viés de amostragem ou acaso; somente desenhos experimentais (ou métodos causais apropriados) podem suportar uma conclusão de causa e efeito.

Exercícios relacionados