O conjunto a seguir mostra, para 10 indivíduos, o índice de massa corporal (IMC) e a pressão arterial sistólica ( mmHg ):
Indivíduo
IMC
Pressão (mmHg)
1
21.8
112
2
22.5
115
3
24.1
120
4
25.0
124
5
26.2
128
6
27.3
130
7
28.5
134
8
29.4
137
9
30.1
140
10
31.5
145
(a) Construa um gráfico de dispersão entre IMC (eixo
) e pressão arterial (eixo
).
(b) Estime e interprete o coeficiente de correlação amostral.
(c) Explique, em termos práticos, o que significa uma correlação positiva nesse contexto.
(d) Explique o motivo pelo qual apenas observar uma correlação alta entre essas variáveis não implicaria uma relação de causa e efeito entre elas.
| Indivíduo | IMC | Pressão (mmHg) |
| 1 | 21.8 | 112 |
| 2 | 22.5 | 115 |
| 3 | 24.1 | 120 |
| 4 | 25.0 | 124 |
| 5 | 26.2 | 128 |
| 6 | 27.3 | 130 |
| 7 | 28.5 | 134 |
| 8 | 29.4 | 137 |
| 9 | 30.1 | 140 |
| 10 | 31.5 | 145 |
(b) Estime e interprete o coeficiente de correlação amostral.
(c) Explique, em termos práticos, o que significa uma correlação positiva nesse contexto.
(d) Explique o motivo pelo qual apenas observar uma correlação alta entre essas variáveis não implicaria uma relação de causa e efeito entre elas.
Passo 1
O enunciado dá os pares (IMC, pressão sistólica) para 10 indivíduos e pede quatro coisas: (a) construir um gráfico de dispersão com IMC no eixo
e pressão no eixo
; (b) estimar e interpretar o coeficiente de correlação amostral; (c) explicar, em termos práticos, o que significa uma correlação positiva aqui; (d) explicar por que uma correlação alta não prova causalidade.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os seguintes:
.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os seguintes:
Passo 2
Como fazer o gráfico de dispersão (passo a passo, para você reproduzir na prova à mão ou em calculadora):
- Desenhe dois eixos perpendiculares; marque o eixo horizontal como IMC (eixo
) e o vertical como Pressão (mmHg) (eixo ). - Escolha escalas: por exemplo, no eixo
use de a com marcações a cada ; no eixo use de a com marcações a cada . Essas escalas cabem bem nos valores dados. - Plote cada par
da lista do Passo 1: marque um ponto para , outro para , e assim por diante até .
Observação visual rápida (o que você verá depois de plottar): os pontos ficam muito próximos de uma reta ascendente — isto é, conforme o IMC aumenta, a pressão tende a aumentar.
Passo 3
Vamos calcular as médias (essas são necessárias para o coeficiente de correlação):
- Soma dos IMC:
. Logo a média dos IMC é
- Soma das pressões:
. Logo a média das pressões é
Explicação didática:
é o valor central típico do IMC no conjunto;
é o valor central típico da pressão. Sempre subtraímos essas médias quando queremos medir dispersão ou associação.
Passo 4
Definimos as quantidades usadas no coeficiente de correlação de Pearson:
-
, mede a variabilidade do (IMC). -
, mede a variabilidade do (pressão). -
, mede a covariância amostral (se e tendem a aumentar juntos, será positivo).
Calculei esses somatórios (faça-os na prova linha a linha como fiz): obtive
Explicação de interpretação: valores maiores de
ou
significam mais dispersão em cada variável;
positivo indica que quando
está acima da média,
também tende a estar acima da média.
Passo 5
A fórmula do coeficiente de correlação amostral de Pearson é
Aqui
varia entre
e
; o sinal indica direção (positivo = relação direta, negativo = inversa) e o valor absoluto indica a força (próximo de
= forte correlação linear). Substituindo os valores calculados:
Calculei a raiz e o quociente e obtive
Interpretação curta: é uma correlação linear muito forte e positiva entre IMC e pressão nos dados.
Passo 6
Para ajudar na intuição, também podemos obter a reta de ajuste (regressão linear) — é opcional, mas útil para interpretar em termos reais:
O coeficiente angular da reta de mínimos quadrados é
O coeficiente angular da reta de mínimos quadrados é
A ordenada na origem é
Logo a equação aproximada da reta é
Interpretação prática do coeficiente angular: em média, um aumento de
unidade no IMC está associado a um aumento de cerca de
mmHg na pressão sistólica neste conjunto de dados. Isso ajuda a traduzir a correlação em uma mudança esperada na pressão.
Passo 7
Resposta para a parte (c) — o que significa correlação positiva aqui: significa que, nos dados observados, indivíduos com IMC maior tendem a apresentar valores maiores de pressão arterial sistólica. Em termos práticos: quando você vê um ponto de IMC mais alto no gráfico, o ponto correspondente da pressão costuma estar mais alto também. Isso é uma associação direta entre as duas variáveis.
Passo 8
Resposta para a parte (d) — por que correlação alta não implica causalidade (explicação prática e exemplos):
- Confusão (variáveis de confusão): pode haver uma terceira variável comum (por exemplo, idade, sedentarismo, dieta, ou consumo de sal) que aumenta tanto o IMC quanto a pressão; a correlação entre IMC e pressão pode ser causada por essa terceira variável.
- Direção da relação: correlação não diz qual variável “causa” a outra — pode ser
, ou ambos influenciados por algo externo. - Coincidência em amostras pequenas ou viés de seleção: às vezes uma forte correlação aparece por acaso ou porque os dados não são representativos.
- Para afirmar causalidade precisamos de desenho adequado (experimento randomizado quando possível, ou estudos longitudinais com controle de confundidores e métodos de inferência causal). Sem isso, ficamos apenas com evidência de associação, não de efeito causal.
Resposta
(a) Pontos para o gráfico de dispersão:
.
(b) Coeficiente de correlação amostral (correlação linear muito forte e positiva).
(c) Uma correlação positiva significa que indivíduos com IMC maior tendem a ter pressão arterial sistólica maior; numericamente, aqui cada aumento de no IMC está associado, em média, a cerca de
mmHg a mais na pressão.
(d) Correlação alta não prova causalidade porque pode haver variáveis de confusão, direção inversa, viés de amostragem ou acaso; somente desenhos experimentais (ou métodos causais apropriados) podem suportar uma conclusão de causa e efeito.
(b) Coeficiente de correlação amostral
(c) Uma correlação positiva significa que indivíduos com IMC maior tendem a ter pressão arterial sistólica maior; numericamente, aqui cada aumento de
(d) Correlação alta não prova causalidade porque pode haver variáveis de confusão, direção inversa, viés de amostragem ou acaso; somente desenhos experimentais (ou métodos causais apropriados) podem suportar uma conclusão de causa e efeito.