Considerando a lei de Raoult válida, prepare um diagrama P x y para uma temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C} e um diagrama t x y para uma pressão de 90 kPa para um dos sistemas a seguir:
1-Clorobutano(1)/clorobenzeno(2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema binário clorobutano (1) / clorobenzeno (2) assumindo validade da lei de Raoult:
  • Preparar o diagrama P\!-\!x\!-\!y à temperatura fixa de 90^\circ\mathrm{C}.
    Ou seja: obter a curva de pressão de bolha (bubble) como função da fração molar líquida x e a curva de pressão de orvalho (dew) como função da fração molar vaporosa y à temperatura T=90^\circ\mathrm{C}.
  • Preparar o diagrama t\!-\!x\!-\!y à pressão fixa de 90\\ \mathrm{kPa}.
    Ou seja: obter as curvas de temperatura de bolha T_{\text{bolha}}(x) e temperatura de orvalho T_{\text{orvalho}}(y) para P=90\\ \mathrm{kPa}.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
  • O sistema é binário ideal (lei de Raoult válida).
  • Temperatura fixa T=90^\circ\mathrm{C} para o diagrama P\!-\!x\!-\!y.
  • Pressão fixa P=90\\ \mathrm{kPa} para o diagrama t\!-\!x\!-\!y.
  • É necessário conhecer as pressões de vapor dos componentes puros como função de T: P_1^*(T) e P_2^*(T). Essas curvas normalmente vêm de equação de Antoine (ou tabelas). Sem esses dados numéricos não se obtém valores numéricos das curvas, apenas as expressões formais.

Passo 2

Conceito essencial (fórmula básica da lei de Raoult) — explicação didática:
  • Para uma solução ideal binária em equilíbrio líquido–vapor, a pressão parcial do componente i vale, pela lei de Raoult,
p_i = x_i\,P_i^*(T),
onde:
  • p_i é a pressão parcial do componente i no vapor (unidade: kPa, por exemplo);
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida (adiabático: x_1+x_2=1);
  • P_i^*(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T (dependendo de T).
  • A pressão total do sistema é
P = p_1 + p_2 = x_1 P_1^*(T) + x_2 P_2^*(T).
  • A composição da fase vapor, y_i, é dada por
y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i P_i^*(T)}{P}.
Comentário prático: para traçar qualquer diagrama é preciso calcular P_i^*(T). A forma mais usada em exercício e em provas é a equação de Antoine:
\log_{10} P_i^*(T) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i},
onde P_i^* vem em unidades específicas (mmHg, kPa ou bar dependendo dos coeficientes) e T é tipicamente em ^\circ\mathrm{C}. Cada conjunto (A_i,B_i,C_i) é tabelado para cada composto e faixa de temperatura. Sempre conferir unidades dos coeficientes antes de usar.

Passo 3

Como construir o diagrama P\!-\!x\!-\!y à temperatura fixa T=90^\circ\mathrm{C} — passos práticos e fórmulas (guia passo-a-passo):
  1. Obter P_1^*(90^\circ\mathrm{C}) e P_2^*(90^\circ\mathrm{C}) de tabela ou via Antoine. Essas são constantes numéricas para esta seção (vou chamar os valores numéricos de P_1^* e P_2^* para abreviar; sempre com a unidade escolhida, ex.: kPa).
  2. Curva de pressão de bolha (bubble curve): varia com a composição líquida x_1. Para cada x_1\in[0,1] calcular
P_{\text{bolha}}(x_1) = x_1 P_1^* + (1-x_1) P_2^*.
Explicação: a bolha é quando uma pequena fração de vapor aparece; a pressão total nesse instante é simplesmente a soma das pressões parciais calculadas pela lei de Raoult.
  1. Curva de pressão de orvalho (dew curve): expressa P em função da composição do vapor y_1. Para um y_1\in[0,1], a condição de equilíbrio leva a
x_i = \frac{y_i P}{P_i^*} \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_i x_i = P\sum_i \frac{y_i}{P_i^*}.
Assim, para binário
P_{\text{orvalho}}(y_1) = \frac{1}{\dfrac{y_1}{P_1^*} + \dfrac{1-y_1}{P_2^*}}.
Explicação simples: essa fórmula vem de exigir que as frações líquidas resultantes somem 1; ela dá a pressão total em que um vapor com composição y começa a formar a primeira gota líquida.
  1. Relação direta y_1(x_1) ao longo da curva de bolha (importante para traçar o par de curvas x e y):
y_1(x_1) = \frac{x_1 P_1^*}{x_1 P_1^* + (1-x_1) P_2^*}.
Explicação: dado x_1 e P_{\text{bolha}}(x_1), obtém-se a composição do vapor em equilíbrio usando a razão das pressões parciais.
  1. Pontos-chave para desenhar o gráfico sem erro:
  • Em x_1=0 (líquido puro 2) tem P=P_2^* e y_1=0.
  • Em x_1=1 (líquido puro 1) tem P=P_1^* e y_1=1.
  • As duas curvas (bolha e orvalho) delimitam a região biphasic; entre elas coexistem líquido e vapor.
  1. Como traçar em prática:
  • Escolher uma malha de x_1 (ex.: 0, 0{,}1, 0{,}2, …, 1). Para cada x_1 calcular P_{\text{bolha}}(x_1) e y_1(x_1) (use as fórmulas acima).
  • Traçar P_{\text{bolha}} versus x_1 (curva inferior) e P_{\text{orvalho}} versus y_1 (curva superior) no mesmo gráfico com eixo vertical P e eixo horizontal composição (marcar x na base e y na escala superior, ou traçar em duas curvas no mesmo eixo de composição convertendo y para uma escala comum).
  • Se quiser pontos numéricos reais, coloque aqui os valores de P_i^*(90^\circ\mathrm{C}) obtidos por Antoine e calcule numericamente.

Passo 4

Como construir o diagrama t\!-\!x\!-\!y à pressão fixa P=90\\ \mathrm{kPa} — passos práticos e fórmulas (guia passo-a-passo):
  1. Agora P é fixo. Para obter curva de temperatura de bolha T_{\text{bolha}}(x_1) resolvemos, para cada x_1,
P = x_1 P_1^*(T) + (1-x_1) P_2^*(T).
Aqui P_i^*(T) são funções de T (ex.: via Antoine). Essa é uma equação implícita para T que, em geral, precisa ser resolvida numericamente para cada x_1.
  1. Para a curva de orvalho T_{\text{orvalho}}(y_1) resolvemos, para cada y_1, a equação
1 = P\left(\frac{y_1}{P_1^*(T)} + \frac{1-y_1}{P_2^*(T)}\right).
Equivalente a encontrar T tal que P = \dfrac{1}{\dfrac{y_1}{P_1^*(T)} + \dfrac{1-y_1}{P_2^*(T)}}. Também, normalmente, solução numérica.
  1. Estratégias numéricas simples (fáceis de usar em prova com calculadora ou em software):
  • Método de tentativa e erro: para cada x_1, chute uma temperatura inicial (entre os pontos de ebulição normais dos puros) e ajuste até que a igualdade do passo 1 seja satisfeita dentro de tolerância.
  • Interpolação: se tiver pontos de P_i^*(T) tabelados, faça interpolação linear para achar T tal que x_1 P_1^*(T) + x_2 P_2^*(T)=P.
  • Newton-Raphson: se souber derivadas de P_i^*(T) e tiver calculadora, é rápido; mas não obrigatório na prova se métodos simples funcionam.
  1. Pontos limites e checagens:
  • Em x_1=1 deve aparecer T_{\text{bolha}} = T_{\text{ebulição do 1 puro a } P}çã (ou seja, a temperatura tal que P_1^*(T)=P).
  • Em x_1=0 deve aparecer T_{\text{bolha}} = T_{\text{ebulição do 2 puro a } P}çã.
  • As curvas T_{\text{bolha}}(x) e T_{\text{orvalho}}(y) delimitam a região de coexistência líqu.-vapor no plano T vs composição.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar cálculos concretos) — NOTA: estes valores são ilustrativos; usar na prova os coeficientes de Antoine/tabelas do enunciado ou do seu livro. Aqui eu assumirei hipotéticos valores de pressão de vapor a 90^\circ\mathrm{C} apenas para mostrar como obter pontos e desenhar:
Suponha (hipótese demonstrativa):
P_1^*(90^\circ\mathrm{C}) = 150\\ \mathrm{kPa}\quad\text{(clorobutano hipotético)},é
P_2^*(90^\circ\mathrm{C}) = 30\\ \mathrm{kPa}\quad\text{(clorobenzeno hipotético)}.é
Com esses números:
  • Para x_1=0: P_{\text{bolha}}=30\\ \mathrm{kPa},\\ y_1=0.
  • Para x_1=1: P_{\text{bolha}}=150\\ \mathrm{kPa},\\ y_1=1.
  • Para x_1=0{,}5: P_{\text{bolha}}(0{,}5) = 0{,}5\cdot150 + 0{,}5\cdot30 = 75 + 15 = 90\\ \mathrm{kPa}.
y_1(0{,}5) = \frac{0{,}5\cdot150}{90} = \frac{75}{90} \approx 0{,}8333.
  • A curva de orvalho para y_1=0{,}5: P_{\text{orvalho}}(0{,}5) = \frac{1}{\dfrac{0{,}5}{150}+\dfrac{0{,}5}{30}} = \frac{1}{\dfrac{0{,}5}{150}+\dfrac{0{,}5}{30}} = \frac{1}{0{,}003333 + 0{,}016667} = \frac{1}{0{,}02} = 50\\ \mathrm{kPa}.
Esses cálculos mostram como se obtêm pontos para as curvas. Observação: com os números hipotéticos, em T=90^\circ\mathrm{C} e x_1=0{,}5 a pressão total é 90\\ \mathrm{kPa} (exemplo conveniente que ilustra que o ponto se localizaria exatamente na pressão ambiente hipotética).
Como desenhar:
  • Monte uma tabela com x_1 (0, 0{,}1, 0{,}2, …, 1). Para cada x_1 calcule P_{\text{bolha}} e y_1. Plote P vs x_1 e marque os pontos vapor y_1 correspondentes.
  • Para a curva de orvalho, monte uma tabela com y_1 (0, 0{,}1, …, 1), calcule P_{\text{orvalho}}(y_1) usando a fórmula dada e plote P vs y_1 (ou transforme para o mesmo eixo de composição se preferir).

Passo 6

Resumindo a receita que você pode repetir na prova (passo-a-passo curto e memorizável):
  1. Pegue os coeficientes de Antoine dos dois compostos ou a tabela de P_i^*(T).
  2. Para P\!-\!x\!-\!y em T fixo:
    • Calcule P_1^*(T) e P_2^*(T).
    • Use P_{\text{bolha}}(x)=xP_1^*+(1-x)P_2^*.
    • Use P_{\text{orvalho}}(y)=1/(y/P_1^*+(1-y)/P_2^*).
    • Calcule y(x)=xP_1^*/(xP_1^*+(1-x)P_2^*).
  3. Para t\!-\!x\!-\!y em P fixo:
    • Para cada x resolva P=xP_1^*(T)+(1-x)P_2^*(T) para T.
    • Para cada y resolva 1=P(y/P_1^*(T)+(1-y)/P_2^*(T)) para T.
  4. Trace as curvas com uma malha razoável (ex.: passo 0{,}05 ou 0{,}1 em composição) e ligue suavemente os pontos. Cheque os extremos (puros).
  5. Se a prova pedir pontos numéricos, use os coeficientes de Antoine do seu material para calcular P_i^*(T) ou inverter e achar T.
Boa notícia: com estas fórmulas você monta os dois diagramas sem heurísticas complicadas. Se quiser, eu posso (a) pegar coeficientes de Antoine que você tenha/amostrar aqui e calcular uma tabela numérica completa; ou (b) usar valores de tabela padrão e gerar uma tabela de pontos para plotar. Estou do seu lado — dá pra fazer isso rapidinho e sem sofrimento.

Resposta

Para T=90^\circ\mathrm{C} (diagrama P\!-\!x\!-\!y):
P_{\text{bolha}}(x_1)=x_1 P_1^*(90^\circ\mathrm{C})+(1-x_1) P_2^*(90^\circ\mathrm{C}),
y_1(x_1)=\frac{x_1 P_1^*(90^\circ\mathrm{C})}{x_1 P_1^*(90^\circ\mathrm{C})+(1-x_1) P_2^*(90^\circ\mathrm{C})},
P_{\text{orvalho}}(y_1)=\frac{1}{\dfrac{y_1}{P_1^*(90^\circ\mathrm{C})}+\dfrac{1-y_1}{P_2^*(90^\circ\mathrm{C})}}.
Para P=90\\ \mathrm{kPa} (diagrama t\!-\!x\!-\!y):
\text{Para cada }x_1:\quad P= x_1 P_1^*(T)+(1-x_1)P_2^*(T)\quad\text{(resolver para }T\text{)},
\text{Para cada }y_1:\quad 1 = P\!\left(\dfrac{y_1}{P_1^*(T)}+\dfrac{1-y_1}{P_2^*(T)}\right)\quad\text{(resolver para }T\text{)}.
(Todas as quantidades P_i^*(T) devem ser obtidas por tabelas ou pela equação de Antoine apropriada para cada composto; com esses valores numéricos é direto calcular as tabelas e traçar os diagramas.)

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