Considere as bases B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} e B^{\prime}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right\} do \mathbb{R}^{2}, onde
\vec{v}_{1}=(1,1) \quad \text { e } \quad \vec{v}_{2}=(1,2)
Sabe-se que a matriz de transição da base B para a base B^{\prime} é
M_{B B^{\prime}}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right]
Seja
[T]_{B}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right] .
a matriz do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} na base B. Determine [T]_{B^{\prime}}, que é a matriz de T na base B^{\prime}.
Resolução: Temos dois modos de resolver esta questão.
Resolução 1. Podemos usar a fórmula
[T]_{B^{\prime}} M_{B B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}
para calcular
[T]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}
Basta calcular a inversa de M_{B B^{\prime}},
\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right]
e efetuar a multiplicação
[T]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right]
para obter
[T]_{B^{\prime}}=\left[\begin{array}{ll} 19 & -26 \\\\ 11 & -15 \end{array}\right]
Resolução 2. Sem usar a fórmula da Resolução 1. Podemos calcular T(x, y) a partir de [T]_{B}. Em seguida, calcular B^{\prime} usando a base B e a matriz M_{B^{\prime} B}=\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}. Para completar, podemos usar T(x, y) e a base B^{\prime} para calcular [T]_{B^{\prime}}. Iniciamos calculando T(x, y) usando a matriz [T]_{B}. Considerando que B=\{(1,1),(1,2)\} e
[T]_{B}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]
podemos escrever
\begin{aligned} & T(1,1)=1(1,1)+2(1,2)=(3,5) \\\ & T(1,2)=1(1,1)+3(1,2)=(4,7) \end{aligned}
Agora, decompondo ( x, y ) na base B,
(x, y)=c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2)=(2 x-y)(1,1)+(y-x)(1,2)
Logo,
\begin{aligned} T(x, y) & =(2 x-y) T(1,1)+(y-x) T(1,2) \\\ & =(2 x-y)(3,5)+(y-x)(4,7) \end{aligned}
ou
T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y)
Vamos determinar a base B^{\prime} a partir da base B, usando a matriz
M_{B^{\prime} B}=\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right]
Com esta matriz e a base B, podemos determinar a base B^{\prime}
\begin{aligned} & \vec{w}_{1}=3 \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=3(1,1)-(1,2)=(2,1) \\\ & \vec{w}_{2}=-5 \vec{v}_{1}+2 \vec{v}_{2}=-5(1,1)+2(1,2)=(-3,-1) \end{aligned}
Como determinamos logo acima
T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y)
vamos determinar a matriz de T na base B^{\prime}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right\}. Basta decompor T\left(\vec{w}_{1}\right) e T\left(\vec{w}_{2}\right) nos vetores da base B^{\prime}
\left\{\begin{array} { l } { T ( \vec { w } _ { 1 } ) = a _ { 1 1 } \vec { w } _ { 1 } + a _ { 2 1 } \vec { w } _ { 2 } } \\\ { T ( \vec { w } _ { 2 } ) = a _ { 1 1 } \vec { w } _ { 1 } + a _ { 2 1 } \vec { w } _ { 2 } } \end{array} \quad \text { ou } \quad \left\{\begin{array}{c} a_{11}(2,1)+a_{21}(-3,-1)=T(2,1)=(5,8) \\\ a_{12}(2,1)+a_{22}(-3,-1)=T(-3,-1)=(-7,-11) \end{array}\right.\right.
Estas igualdades vetoriais podem ser unificadas numa única igualdade matricial
\left[\begin{array}{ll} 2 & -3 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 5 & -7 \\\\ 8 & -11 \end{array}\right]
A matriz das incógnitas é a matriz de T na base B^{\prime}. Resolvendo a equação matricial, obtemos
[T]_{B^{\prime}}=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 19 & -26 \\\\ 11 & -15 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
  • A base B é B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} com
    \vec{v}_{1}=(1,1) e \vec{v}_{2}=(1,2).
  • A base B^{\prime} é B^{\prime}=\{\vec{w}_{1},\vec{w}_{2}\} (vetores não fornecidos diretamente).
  • A matriz de transição da base B para a base B^{\prime} é M_{B B^{\prime}}=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.(Isto é, M_{B B^{\prime}} converte coordenadas em B para coordenadas em B^{\prime}; veremos a interpretação exata no passo seguinte.)
  • A matriz do operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} na base B é [T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
  • O que é pedido: determinar a matriz [T]_{B^{\prime}}, isto é, a representação de T na base B^{\prime}.]

Passo 2

Entendendo a relação entre matrizes em bases diferentes (ideia e fórmula).
  • Quando temos um vetor \vec{x}, suas coordenadas na base B escrevemos como [\vec{x}]_{B} e suas coordenadas na base B^{\prime} como [\vec{x}]_{B^{\prime}}.
  • A matriz de transição M_{B B^{\prime}} fornecida satisfaz, para todo \vec{x}, [\vec{x}]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B}.(Resumo: multiplicando coordenadas em B pela direita por M_{B B^{\prime}} obtém-se as coordenadas em B^{\prime}.)
  • Agora, aplicar T e escrever em coordenadas B^{\prime}: [T(\vec{x})]_{B^{\prime}}=[T]_{B^{\prime}}[\vec{x}]_{B^{\prime}}.Mas também, usando B-coordenadas, [T(\vec{x})]_{B}= [T]_{B}[\vec{x}]_{B}.
  • Usando a relação de mudança de coordenadas, substituindo [\vec{x}]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B} em [T]_{B^{\prime}}[\vec{x}]_{B^{\prime}} obtemos [T]_{B^{\prime}}M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}[\vec{x}]_{B}.Isso vale para todo [\vec{x}]_{B}, logo as matrizes satisfazem a igualdade matricial [T]_{B^{\prime}}M_{B B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}.
  • Isolando [T]_{B^{\prime}} (multiplicando à direita por M_{B B^{\prime}}^{-1}) obtemos a fórmula prática usada para troca de base: [T]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}\bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1}.
  • Resumo didático: a matriz em B^{\prime} é uma “conjugação” da matriz em B pelo operador que transforma coordenadas de B para B^{\prime}.

Passo 3

Calcular a inversa de M_{B B^{\prime}}. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a inversa (quando \det\neq0) é
\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando em M_{B B^{\prime}}=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}:
  • Determinante: \det(M_{B B^{\prime}})=2\cdot3-5\cdot1=6-5=1.
  • Logo a inversa é \bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.(Como \det=1, não há fator escalar adicional.)]

Passo 4

Calcular primeiro A:=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}. Vamos multiplicar passo a passo.
  • Escrevendo as matrizes: M_{B B^{\prime}}=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},\qquad [T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
  • Produto A=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}:
    • Entrada (1,1): 2\cdot1+5\cdot2=2+10=12.
    • Entrada (1,2): 2\cdot1+5\cdot3=2+15=17.
    • Entrada (2,1): 1\cdot1+3\cdot2=1+6=7.
    • Entrada (2,2): 1\cdot1+3\cdot3=1+9=10.
  • Portanto A=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}=\begin{pmatrix}12 & 17\\[4pt]7 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos [T]_{B^{\prime}}=A\bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1}. Multiplicamos
\begin{pmatrix}12 & 17\\[4pt]7 & 10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -5\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Fazendo cada entrada:
  • Entrada (1,1): 12\cdot3 + 17\cdot(-1)=36-17=19.
  • Entrada (1,2): 12\cdot(-5) + 17\cdot2=-60+34=-26.
  • Entrada (2,1): 7\cdot3 + 10\cdot(-1)=21-10=11.
  • Entrada (2,2): 7\cdot(-5) + 10\cdot2=-35+20=-15.
Logo
[T]_{B^{\prime}}=\begin{pmatrix}19 & -26\\[4pt]11 & -15\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, mas didática): calcular T em coordenadas canônicas e obter os vetores de B^{\prime} a partir de B, depois decompor — isto confirma o resultado.
  • Da matriz [T]_{B} sabemos como T age sobre os vetores da base B. Usando B=\{(1,1),(1,2)\}, T(1,1)=1\cdot(1,1)+2\cdot(1,2)=(3,5), \qquad T(1,2)=1\cdot(1,1)+3\cdot(1,2)=(4,7).
  • Para decompor um vetor (x,y) na base B resolvemos (x,y)=c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2). Um cálculo simples dá c_{1}=2x-y,\qquad c_{2}=y-x.Assim, aplicando T genericamente obtemos T(x,y)=(2x+y,\;3x+2y).
  • Determinar os vetores da base B^{\prime} em coordenadas canônicas: usamos \bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1} (colunas dão as coordenadas de \vec{w}_{1},\vec{w}_{2} em relação a B). Com cálculo direto já se encontra \vec{w}_{1}=3\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=(2,1),\qquad \vec{w}_{2}=-5\vec{v}_{1}+2\vec{v}_{2}=(-3,-1).
  • Aplicando T nesses vetores: T(\vec{w}_{1})=T(2,1)=(2\cdot2+1,\;3\cdot2+2\cdot1)=(5,8),
T(\vec{w}_{2})=T(-3,-1)=(2\cdot(-3)+(-1),\;3\cdot(-3)+2\cdot(-1))=(-7,-11).
  • Agora escrevemos cada um desses resultados como combinação dos vetores de B^{\prime}:
    resolver a_{11}(2,1)+a_{21}(-3,-1)=(5,8)e a_{12}(2,1)+a_{22}(-3,-1)=(-7,-11).Isso dá a mesma matriz de coeficientes encontrada antes: [T]_{B^{\prime}}=\begin{pmatrix}19 & -26\\[4pt]11 & -15\end{pmatrix},confirmando o cálculo por conjugação.]

Resposta

\displaystyle [T]_{B^{\prime}}=\begin{pmatrix}19 & -26\\[4pt]11 & -15\end{pmatrix}]

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