a matriz do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} na base B. Determine [T]_{B^{\prime}}, que é a matriz de T na base B^{\prime}.
Resolução: Temos dois modos de resolver esta questão.
Resolução 1. Podemos usar a fórmula
Resolução 2. Sem usar a fórmula da Resolução 1. Podemos calcular T(x, y) a partir de [T]_{B}. Em seguida, calcular B^{\prime} usando a base B e a matriz M_{B^{\prime} B}=\left(M_{B B^{\prime}}\right)^{-1}. Para completar, podemos usar T(x, y) e a base B^{\prime} para calcular [T]_{B^{\prime}}. Iniciamos calculando T(x, y) usando a matriz [T]_{B}. Considerando que B=\{(1,1),(1,2)\} e
vamos determinar a matriz de T na base B^{\prime}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right\}. Basta decompor T\left(\vec{w}_{1}\right) e T\left(\vec{w}_{2}\right) nos vetores da base B^{\prime}
\left\{\begin{array} { l } { T ( \vec { w } _ { 1 } ) = a _ { 1 1 } \vec { w } _ { 1 } + a _ { 2 1 } \vec { w } _ { 2 } } \\\ { T ( \vec { w } _ { 2 } ) = a _ { 1 1 } \vec { w } _ { 1 } + a _ { 2 1 } \vec { w } _ { 2 } } \end{array} \quad \text { ou } \quad \left\{\begin{array}{c} a_{11}(2,1)+a_{21}(-3,-1)=T(2,1)=(5,8) \\\ a_{12}(2,1)+a_{22}(-3,-1)=T(-3,-1)=(-7,-11) \end{array}\right.\right.
Estas igualdades vetoriais podem ser unificadas numa única igualdade matricial
A base B é B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} com \vec{v}_{1}=(1,1) e \vec{v}_{2}=(1,2).
A base B^{\prime} é B^{\prime}=\{\vec{w}_{1},\vec{w}_{2}\} (vetores não fornecidos diretamente).
A matriz de transição da base B para a base B^{\prime} éM_{B B^{\prime}}=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.(Isto é, M_{B B^{\prime}} converte coordenadas em B para coordenadas em B^{\prime}; veremos a interpretação exata no passo seguinte.)
A matriz do operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} na base B é[T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
O que é pedido: determinar a matriz [T]_{B^{\prime}}, isto é, a representação de T na base B^{\prime}.]
Passo 2
Entendendo a relação entre matrizes em bases diferentes (ideia e fórmula).
Quando temos um vetor \vec{x}, suas coordenadas na base B escrevemos como [\vec{x}]_{B} e suas coordenadas na base B^{\prime} como [\vec{x}]_{B^{\prime}}.
A matriz de transição M_{B B^{\prime}} fornecida satisfaz, para todo \vec{x},[\vec{x}]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B}.(Resumo: multiplicando coordenadas em B pela direita por M_{B B^{\prime}} obtém-se as coordenadas em B^{\prime}.)
Agora, aplicar T e escrever em coordenadas B^{\prime}:[T(\vec{x})]_{B^{\prime}}=[T]_{B^{\prime}}[\vec{x}]_{B^{\prime}}.Mas também, usando B-coordenadas,[T(\vec{x})]_{B}= [T]_{B}[\vec{x}]_{B}.
Usando a relação de mudança de coordenadas, substituindo [\vec{x}]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B} em [T]_{B^{\prime}}[\vec{x}]_{B^{\prime}} obtemos[T]_{B^{\prime}}M_{B B^{\prime}}[\vec{x}]_{B}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}[\vec{x}]_{B}.Isso vale para todo [\vec{x}]_{B}, logo as matrizes satisfazem a igualdade matricial[T]_{B^{\prime}}M_{B B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}.
Isolando [T]_{B^{\prime}} (multiplicando à direita por M_{B B^{\prime}}^{-1}) obtemos a fórmula prática usada para troca de base:[T]_{B^{\prime}}=M_{B B^{\prime}}[T]_{B}\bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1}.
Resumo didático: a matriz em B^{\prime} é uma “conjugação” da matriz em B pelo operador que transforma coordenadas de B para B^{\prime}.
Passo 3
Calcular a inversa de M_{B B^{\prime}}. Para uma matriz 2\times2
Verificação alternativa (opcional, mas didática): calcular T em coordenadas canônicas e obter os vetores de B^{\prime} a partir de B, depois decompor — isto confirma o resultado.
Da matriz [T]_{B} sabemos como T age sobre os vetores da base B. Usando B=\{(1,1),(1,2)\},T(1,1)=1\cdot(1,1)+2\cdot(1,2)=(3,5), \qquad T(1,2)=1\cdot(1,1)+3\cdot(1,2)=(4,7).
Para decompor um vetor (x,y) na base B resolvemos (x,y)=c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2). Um cálculo simples dác_{1}=2x-y,\qquad c_{2}=y-x.Assim, aplicando T genericamente obtemosT(x,y)=(2x+y,\;3x+2y).
Determinar os vetores da base B^{\prime} em coordenadas canônicas: usamos \bigl(M_{B B^{\prime}}\bigr)^{-1} (colunas dão as coordenadas de \vec{w}_{1},\vec{w}_{2} em relação a B). Com cálculo direto já se encontra\vec{w}_{1}=3\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=(2,1),\qquad \vec{w}_{2}=-5\vec{v}_{1}+2\vec{v}_{2}=(-3,-1).
Aplicando T nesses vetores:T(\vec{w}_{1})=T(2,1)=(2\cdot2+1,\;3\cdot2+2\cdot1)=(5,8),
Agora escrevemos cada um desses resultados como combinação dos vetores de B^{\prime}:
resolvera_{11}(2,1)+a_{21}(-3,-1)=(5,8)ea_{12}(2,1)+a_{22}(-3,-1)=(-7,-11).Isso dá a mesma matriz de coeficientes encontrada antes:[T]_{B^{\prime}}=\begin{pmatrix}19 & -26\\[4pt]11 & -15\end{pmatrix},confirmando o cálculo por conjugação.]