Também é dada a transformação linear L(x,y)=(x+y,\,2x-y).
Perguntas:
(a) Determinar T(x,y) (isto é, a expressão de T em coordenadas padrão).
(b) Calcular a composta L\circ T(x,y).]
Passo 2
Entendendo como usar [T]_{B B'} (a ideia, sem pular etapas):
Para um vetor v escrito nas coordenadas padrão como v=(x,y), primeiro encontramos as coordenadas de v na base B. Chamemos essas coordenadas de \begin{pmatrix}c_1\\[2pt]c_2\end{pmatrix}=[v]_B, o que significa que
v = c_1(1,1) + c_2(1,0).
A matriz [T]_{B B'} transforma as coordenadas em B em coordenadas em B':
[T(v)]_{B'} = [T]_{B B'}\,[v]_B.
Por fim, para obter T(v) nas coordenadas padrão, usamos as coordenadas em B'. Se [T(v)]_{B'}=\begin{pmatrix}d_1\\[2pt]d_2\end{pmatrix}, então
T(v)=d_1(1,0)+d_2(2,1).
Vou aplicar esses passos de forma explícita e calculada.]
Passo 3
Calcular as coordenadas de v=(x,y)\) na base \(B\).
Queremos \(c_1,c_2\) tais que
\[c_1(1,1)+c_2(1,0)=(x,y).
Isso dá o sistema por componentes:
\begin{cases} c_1+c_2 = x,\\[4pt] c_1 = y. \end{cases}
Da segunda equação (c_1=y]. Substituindo na primeira: y + c_2 = x \quad\Rightarrow\quad c_2 = x-y.
Portanto [v]_B = \begin{pmatrix}c_1\\[2pt]c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y\\[2pt]x-y\end{pmatrix}.]
Passo 4
Calcular [T(v)]_{B'} = [T]_{B B'}\,[v]_B.
[T]_{B B'}\,[v]_B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\[2pt]x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot y + 0\cdot(x-y)\\[6pt] 2\cdot y + (-1)\cdot(x-y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\[4pt] 2y - x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\[4pt] 3y - x \end{pmatrix}.
Logo d_1 = y e d_2 = 3y-x.]
Passo 5
Voltar às coordenadas padrão: se [T(v)]_{B'}=\begin{pmatrix}d_1\\[2pt]d_2\end{pmatrix}, então
Verificação rápida (opcional e útil para a prova): aplicar T às vetores de B e ver se bate com a matriz.
Para (1,1) (primeiro vetor de B), em coordenadas [1;0], a imagem em B' é a primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}, isto é T(1,1)=1(1,0)+2(2,1)=(5,2). Pela fórmula obtida, T(1,1)=(-2\cdot1+7\cdot1,\,-1+3)= (5,2). Confere.
Para (1,0) (segundo vetor de B), em coordenadas [0;1], a imagem em B' é a segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, isto é T(1,0)=0(1,0)-1(2,1)=(-2,-1). Pela fórmula, T(1,0)=(-2\cdot1+7\cdot0,\,-1+0)=(-2,-1). Confere.]
Passo 7
Calcular L\circ T(x,y). Primeiro escrevo T(x,y) como (u_1,u_2) com