Considere as bases
B=\{(1,1),(1,0)\} \quad \text { e } \quad B^{\prime}=\{(1,0),(2,1)\}
do \mathbb{R}^{2}. Sabe-se que T e L são transformações lineares do \mathbb{R}^{2} no \mathbb{R}^{2}.
(a) Sendo
[T]_{B B^{\prime}}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right]
a matriz de T nas bases B e B^{\prime}, determine T(x, y).
(b) Sendo L(x, y)=(x+y, 2 x-y), calcule a composta L \circ T(x, y).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Bases do \mathbb{R}^2:
    • B=\{(1,1),(1,0)\}.
    • B'=\{(1,0),(2,1)\}.
  • Matriz de T nas bases B e B':
[T]_{B B'}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
  • Também é dada a transformação linear L(x,y)=(x+y,\,2x-y).
Perguntas:
(a) Determinar T(x,y) (isto é, a expressão de T em coordenadas padrão).
(b) Calcular a composta L\circ T(x,y).]

Passo 2

Entendendo como usar [T]_{B B'} (a ideia, sem pular etapas):
  • Para um vetor v escrito nas coordenadas padrão como v=(x,y), primeiro encontramos as coordenadas de v na base B. Chamemos essas coordenadas de \begin{pmatrix}c_1\\[2pt]c_2\end{pmatrix}=[v]_B, o que significa que
v = c_1(1,1) + c_2(1,0).
  • A matriz [T]_{B B'} transforma as coordenadas em B em coordenadas em B':
[T(v)]_{B'} = [T]_{B B'}\,[v]_B.
  • Por fim, para obter T(v) nas coordenadas padrão, usamos as coordenadas em B'. Se [T(v)]_{B'}=\begin{pmatrix}d_1\\[2pt]d_2\end{pmatrix}, então
T(v)=d_1(1,0)+d_2(2,1).
Vou aplicar esses passos de forma explícita e calculada.]

Passo 3

Calcular as coordenadas de v=(x,y)\) na base \(B\). Queremos \(c_1,c_2\) tais que \[c_1(1,1)+c_2(1,0)=(x,y).
Isso dá o sistema por componentes:
\begin{cases} c_1+c_2 = x,\\[4pt] c_1 = y. \end{cases}
Da segunda equação (c_1=y]. Substituindo na primeira:
y + c_2 = x \quad\Rightarrow\quad c_2 = x-y.
Portanto
[v]_B = \begin{pmatrix}c_1\\[2pt]c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y\\[2pt]x-y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [T(v)]_{B'} = [T]_{B B'}\,[v]_B.
[T]_{B B'}\,[v]_B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\[2pt]x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot y + 0\cdot(x-y)\\[6pt] 2\cdot y + (-1)\cdot(x-y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\[4pt] 2y - x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\[4pt] 3y - x \end{pmatrix}.
Logo d_1 = y e d_2 = 3y-x.]

Passo 5

Voltar às coordenadas padrão: se [T(v)]_{B'}=\begin{pmatrix}d_1\\[2pt]d_2\end{pmatrix}, então
T(v)=d_1(1,0)+d_2(2,1) = (d_1+2d_2,\;d_2).
Substituindo d_1=y e d_2=3y-x,
T(x,y) = \bigl(y + 2(3y-x),\;3y-x\bigr) = \bigl(y + 6y - 2x,\; -x + 3y\bigr) = \bigl(-2x + 7y,\; -x + 3y\bigr).]

Passo 6

Verificação rápida (opcional e útil para a prova): aplicar T às vetores de B e ver se bate com a matriz.
  • Para (1,1) (primeiro vetor de B), em coordenadas [1;0], a imagem em B' é a primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}, isto é T(1,1)=1(1,0)+2(2,1)=(5,2). Pela fórmula obtida, T(1,1)=(-2\cdot1+7\cdot1,\,-1+3)= (5,2). Confere.
  • Para (1,0) (segundo vetor de B), em coordenadas [0;1], a imagem em B' é a segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, isto é T(1,0)=0(1,0)-1(2,1)=(-2,-1). Pela fórmula, T(1,0)=(-2\cdot1+7\cdot0,\,-1+0)=(-2,-1). Confere.]

Passo 7

Calcular L\circ T(x,y). Primeiro escrevo T(x,y) como (u_1,u_2) com
u_1 = -2x + 7y,\qquad u_2 = -x + 3y.
Agora aplico L que é L(a,b)=(a+b,\,2a-b):
(L\circ T)(x,y) = L(u_1,u_2) = (u_1+u_2,\;2u_1 - u_2).
Calcule as componentes:
u_1+u_2 = (-2x+7y) + (-x+3y) = -3x + 10y,
2u_1 - u_2 = 2(-2x+7y) - (-x+3y) = -4x +14y + x -3y = -3x + 11y.
Portanto
(L\circ T)(x,y) = \bigl(-3x + 10y,\; -3x + 11y\bigr).

Resposta

T(x,y)=\bigl(-2x+7y,\; -x+3y\bigr)
(L\circ T)(x,y)=\bigl(-3x+10y,\; -3x+11y\bigr)

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