Considere um bastão fino de comprimento L com carga total Q uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento:
(a) encontre o potencial elétrico no ponto P localizado a uma distância y ao longo do eixo que divide o bastão em duas metades idênticas;
(b) a partir da expressão para o potencial elétrico encontrada no item anterior, obtenha o campo elétrico em P.
Passo 1
O enunciado dá um bastão fino de comprimento L com carga total Q distribuída uniformemente ao longo do comprimento. O ponto P está localizado no eixo que bisseta o bastão, a uma distância y do centro do bastão (ou seja, o ponto fica no ponto médio perpendicular ao bastão). O exercício pede duas coisas:
(a) Encontrar o potencial elétrico no ponto P.
(b) A partir do potencial do item (a), obter o campo elétrico em P.
Informações relevantes dadas:
Comprimento do bastão: L.
Carga total do bastão: Q.
Distribuição: uniforme ao longo do comprimento.
Distância do ponto P até o centro do bastão: y.
Ponto P está sobre o eixo que divide o bastão em duas metades idênticas (perpendicular ao bastão passando pelo meio).
Passo 2
Modelagem e escolha de coordenadas — transformar o enunciado em uma integral que possamos resolver.
Explicação didática: para calcular o potencial gerado por uma distribuição contínua de carga, dividimos a carga em elementos infinitesimais dq, calculamos o potencial diferencial dV produzido por cada dq no ponto de interesse e somamos (integrando) todos esses dV. A fórmula básica é a lei de Coulomb para potencial escalar:
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r},
onde:
\epsilon_0 é a permissividade do vácuo,
dq é um elemento de carga,
r é a distância entre dq e o ponto onde se calcula o potencial.
Agora escolhemos coordenadas. Coloque o bastão ao longo do eixo x com o centro na origem, de modo que as extremidades estejam em x=-\tfrac{L}{2} e x=+\tfrac{L}{2}. O ponto P fica sobre o eixo y em (0,y). A densidade linear de carga (carga por comprimento) é
\lambda = \frac{Q}{L}.
Um elemento de carga localizado em uma posição x ao longo do bastão corresponde a dq=\lambda\,dx. A distância entre esse elemento e P é
r = \sqrt{x^2 + y^2}.
Passo 3
Montagem da integral para o potencial e cálculo da integral.
Usando a fórmula de dV e substituindo dq=\lambda\,dx e r=\sqrt{x^2+y^2}, obtemos o potencial total como a integral ao longo do bastão:
onde y é tratado como constante na integração (lembre: estamos integrando em x). Isso vem de uma substituição trigonométrica ou do reconhecimento da derivada do arco hiperbólico, mas basta memorizar ou derivar rapidamente numa prova.
Aplique a primitiva entre os limites x=-\tfrac{L}{2} e x=+\tfrac{L}{2}. Para simplificar notação, defina a=\tfrac{L}{2} e s=\sqrt{a^2+y^2}=\sqrt{\tfrac{L^2}{4}+y^2}. Então
Breve comentário físico (para ajudar na prova): essa expressão assume referência V(\infty)=0. Para um bastão de comprimento finito isso é consistente — em y\to\infty o argumento do log tende a 1 e V\to0.
Passo 5
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial — regra e preparação.
Teoria rápida e prática: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Como aqui a simetria faz com que o potencial dependa apenas de y (no ponto sobre o eixo perpendicular pelo centro), o campo em P tem apenas componente ao longo de \hat{y} e vale
\vec{E}(y) = -\frac{dV}{dy}\,\hat{y}.
Vamos derivar explicitamente a expressão de V(y). Reescreva V em forma mais conveniente. Defina novamente a=\tfrac{L}{2} e s=\sqrt{a^2+y^2}. Também escreva a constante
Colocando em um único quociente e simplificando: comece juntando termos com denominador comum y s (a+s). O numerador resulta em y^2 - s(a+s). Usando s^2=a^2+y^2 obtém-se
y^2 - s(a+s) = y^2 - (a s + s^2) = y^2 - (a s + a^2 + y^2) = -a s - a^2 = -a(s+a).
Portanto
\frac{dV}{dy} = C\cdot\frac{-a(s+a)}{y s (a+s)} = -C\frac{a}{y s}.
Interpretação rápida: para Q>0 o campo aponta no sentido de \hat{y} (afastando-se do bastão). Para Q<0 inverte o sentido. Em limites conhecidos: se y\gg L (ponto muito longe), \vec{E} tende ao campo de uma carga pontual \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 y^2} (pode verificar fazendo expansão em potências de \tfrac{L}{y}). Se y\ll L (ponto muito perto do bastão, mas sobre a perpendicular), o comportamento é diferente (escala como 1/y para pequenas y), consistente com a natureza alongada da distribuição.