Considere o campo de velocidade de um fluido
O fluido escoa através das paredes de um tanque cúbico definido por
Usando o Teorema da Divergência, determine o fluxo total do fluido para fora do tanque. Explique por que, neste caso, utilizar o Teorema da Divergência é mais simples do que calcular o fluxo diretamente através das seis faces do cubo.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
e o tanque cúbico definido por
O que é pedido:
- Determinar o fluxo total do fluido para fora do tanque (isto é, o fluxo de
através da superfície fechada do cubo, com orientação para fora). - Explicar por que usar o Teorema da Divergência é mais simples do que calcular o fluxo diretamente pelas seis faces.
Informações relevantes dadas:
- O domínio é o cubo unitário
. - A superfície é a fronteira fechada
do cubo, orientada para fora. - O campo
é suficientemente suave (possui derivadas parciais contínuas) para aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 2
Apresentando o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss): ele relaciona fluxo através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo. A forma do teorema é
onde:
-
é o fluxo total de saindo da região (com o vetor normal unitário apontando para fora), -
é a divergência de , -
é a integral tripla sobre o volume .
Intuição rápida e didática sobre divergência: a divergência em um ponto mede a taxa de “saída líquida” por unidade de volume naquele ponto — se for positiva, localmente o fluido está “saindo” desse ponto; se for negativa, está “entrando”. Matematicamente, para um campo
,
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. As componentes são
,
e
. Então calculamos as derivadas parciais:
Somando:
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total para fora do cubo vale a integral tripla de
sobre
. Escrevemos:
Como
é o cubo unitário com limites independentes
, podemos separar a integral:
Cada termo separa-se em produtos de integrais unidimensionais porque os limites são produtos cartesianos.
Passo 5
Calcule o primeiro termo:
Integramos em
primeiro:
Como as integrais em
e
sobre
apenas multiplicam por
cada, obtemos
Passo 6
Calcule o segundo termo:
As integrais em
e
apenas contribuem com fatores
cada, então
Calcule a integral em
:
Portanto
Passo 7
Somando os dois termos obtemos a integral total (aqui faço a soma final):
A soma vale
. Assim, o fluxo total do fluido para fora do tanque é
.
Por que o Teorema da Divergência é mais simples aqui? Porque:
- Aplicando o teorema reduzimos o problema a uma única integral tripla no interior do cubo.
- O cálculo direto do fluxo exigiria parametizar cada uma das seis faces do cubo, determinar o vetor normal
em cada face e calcular seis integrais duplas diferentes, com sinais e integrais separadas — muito mais trabalho e mais chance de erro. - No caso de um campo com divergência simples e um domínio de produto (como o cubo), a integral tripla separa facilmente e torna as contas quase triviais, como vimos.
Força aí — já era! Você chegou ao fluxo final sem suar pela geometria das seis faces.