Considere o campo de velocidade de um fluido
\mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle x^{2}, y z, z^{2}\right\rangle .
O fluido escoa através das paredes de um tanque cúbico definido por
0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1, \quad 0 \leq z \leq 1 .
Usando o Teorema da Divergência, determine o fluxo total do fluido para fora do tanque. Explique por que, neste caso, utilizar o Teorema da Divergência é mais simples do que calcular o fluxo diretamente através das seis faces do cubo.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{F}(x,y,z)=\langle x^{2},\, y z,\, z^{2}\rangle
e o tanque cúbico definido por
0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1,\quad 0\le z\le 1.
O que é pedido:
  • Determinar o fluxo total do fluido para fora do tanque (isto é, o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada do cubo, com orientação para fora).
  • Explicar por que usar o Teorema da Divergência é mais simples do que calcular o fluxo diretamente pelas seis faces.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é o cubo unitário V=\{(x,y,z)\mid 0\le x,y,z\le 1\}.
  • A superfície é a fronteira fechada \partial V do cubo, orientada para fora.
  • O campo \mathbf{F} é suficientemente suave (possui derivadas parciais contínuas) para aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Apresentando o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss): ele relaciona fluxo através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo. A forma do teorema é
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV,
onde:
  • \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS é o fluxo total de \mathbf{F} saindo da região V (com \mathbf{n} o vetor normal unitário apontando para fora),
  • \operatorname{div}\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F},
  • \iiint_{V}(\cdot)\,dV é a integral tripla sobre o volume V.
Intuição rápida e didática sobre divergência: a divergência em um ponto mede a taxa de “saída líquida” por unidade de volume naquele ponto — se for positiva, localmente o fluido está “saindo” desse ponto; se for negativa, está “entrando”. Matematicamente, para um campo \mathbf{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle,
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de \mathbf{F}. As componentes são F_1(x,y,z)=x^{2}, F_2(x,y,z)=y z e F_3(x,y,z)=z^{2}. Então calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x,
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z\quad(\text{porque \(z\) é tratado como constante ao derivar em \(y\)}),é
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}z^{2}=2z.
Somando:
\operatorname{div}\mathbf{F}=2x+z+2z=2x+3z.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total para fora do cubo vale a integral tripla de \operatorname{div}\mathbf{F} sobre V. Escrevemos:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}(2x+3z)\,dV.
Como V é o cubo unitário com limites independentes 0\le x,y,z\le 1, podemos separar a integral:
\iiint_{V}(2x+3z)\,dV=\iiint_{V}2x\,dV+\iiint_{V}3z\,dV.
Cada termo separa-se em produtos de integrais unidimensionais porque os limites são produtos cartesianos.

Passo 5

Calcule o primeiro termo:
\iiint_{V}2x\,dV= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2x\,dx\,dy\,dz.
Integramos em x primeiro:
\int_{0}^{1}2x\,dx= \left[x^{2}\right]_{0}^{1}=1.
Como as integrais em y e z sobre [0,1] apenas multiplicam por 1 cada, obtemos
\iiint_{V}2x\,dV = 1\cdot\int_{0}^{1}dy\cdot\int_{0}^{1}dz = 1\cdot 1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Calcule o segundo termo:
\iiint_{V}3z\,dV= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}3z\,dx\,dy\,dz.
As integrais em x e y apenas contribuem com fatores 1 cada, então
\iiint_{V}3z\,dV = \left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}dy\right)\left(\int_{0}^{1}3z\,dz\right).
Calcule a integral em z:
\int_{0}^{1}3z\,dz = \left[\tfrac{3}{2}z^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{3}{2}.
Portanto
\iiint_{V}3z\,dV = 1\cdot 1\cdot \tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Somando os dois termos obtemos a integral total (aqui faço a soma final):
\iiint_{V}(2x+3z)\,dV = 1 + \tfrac{3}{2}.
A soma vale \tfrac{5}{2}. Assim, o fluxo total do fluido para fora do tanque é \tfrac{5}{2}.
Por que o Teorema da Divergência é mais simples aqui? Porque:
  • Aplicando o teorema reduzimos o problema a uma única integral tripla no interior do cubo.
  • O cálculo direto do fluxo exigiria parametizar cada uma das seis faces do cubo, determinar o vetor normal \mathbf{n} em cada face e calcular seis integrais duplas diferentes, com sinais e integrais separadas — muito mais trabalho e mais chance de erro.
  • No caso de um campo com divergência simples e um domínio de produto (como o cubo), a integral tripla separa facilmente e torna as contas quase triviais, como vimos.
Força aí — já era! Você chegou ao fluxo final sem suar pela geometria das seis faces.

Resposta

\tfrac{5}{2}

Exercícios relacionados