Considere um capacitor ciĺndrico de comprimento L, cujo raio do condutor interno é a e o raio interno do condutor externo é b, com carga Q.
(a) calcule o campo elétrico no espaço entre os dois condutores (a<r<b).
(b) De posse do campo, calcule a diferença de potencial entre os dois condutores e determine a capacitância deste arranjo.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor cilíndrico de comprimento L, raio do condutor interno a e raio interno do condutor externo b, com carga Q no condutor interno (assume-se carga -Q no externo). As perguntas são:
(a) calcular o campo elétrico no espaço entre os condutores, para a<r<b;
(b) usando esse campo, calcular a diferença de potencial entre os condutores e determinar a capacitância do arranjo.
Informações relevantes dadas:
  • comprimento do sistema: L;
  • raio do condutor interno: a;
  • raio interno do condutor externo: b;
  • carga total no condutor interno: Q.
    Vou assumir meio dielétrico com permitividade \varepsilon (caso seja vácuo, \varepsilon=\varepsilon_0).

Passo 2

Ideia física e ferramenta principal (aula rápida sobre Gauss e simetria):
  • Por simetria cilíndrica (o problema não muda se girarmos ao redor do eixo e se deslocarmos ao longo do eixo, ignorando bordas porque L é grande), o campo elétrico entre os condutores é radial e depende só da distância radial r ao eixo: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
  • Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica interna dividida por \varepsilon:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon}.
  • Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r (com a<r<b) e comprimento L. Essa superfície aproveita a simetria: \mathbf{E} é perpendicular às geratrizes do cilindro e constante em módulo sobre a superfície lateral.

Passo 3

Aplicando Gauss ao cilindro gaussiano:
  • A contribuição das tampas do cilindro é nula porque o campo é radial e as tampas têm área normal paralela ao eixo (campo é paralelo às tampas = produto escalar zero).
  • Fluxo total atravessando a superfície é apenas pela superfície lateral de área 2\pi r L.
    Portanto,
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
A carga interna ao cilindro (para a<r) é Q_{\text{int}}=Q. Pela lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L)=\frac{Q}{\varepsilon}.
Isolando E(r) obtemos a expressão do campo.

Passo 4

Resultado do campo elétrico (cálculo direto):
E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\,\frac{1}{r},\qquad \text{direção: }\hat{r}.çã
Ou seja,
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon L r}\,\hat{r}\qquad (a<r<b).
Breve interpretação: o campo cai como 1/r porque a superfície gaussiana cresce linearmente com r (área lateral \propto r), e a carga interna é fixa.

Passo 5

Definição de diferença de potencial e como calcular (aula sobre potencial elétrico):
  • A diferença de potencial entre dois pontos r_1 e r_2 é
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
  • Aqui queremos a diferença entre o condutor interno ( r=a) e o externo ( r=b). Vou calcular V(a)-V(b) porque é usual tomar potencial do interno relativo ao externo.

Passo 6

Cálculo da diferença de potencial usando o campo encontrado:
V(a)-V(b)=-\int_{b}^{a} E(r)\,dr
(uso o trajeto radial de b até a; o sinal menos já foi colocado na definição).
Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon L r}:
V(a)-V(b)=-\int_{b}^{a}\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\frac{1}{r}\,dr = -\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\big[\ln r\big]_{b}^{a}.
Isso dá
V(a)-V(b)= -\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\big(\ln a-\ln b\big) =\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 7

Definição e cálculo da capacitância:
  • Capacitância C é a razão entre carga e diferença de potencial entre os condutores:
C=\frac{Q}{V(a)-V(b)}.
Substituindo a diferença de potencial obtida:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)} =\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Se o dielétrico for vácuo (ou ar), pode-se escrever \varepsilon=\varepsilon_0. Às vezes é útil a capacitância por unidade de comprimento:
\frac{C}{L}=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Passo 8

Comentários finais, verificação rápida de dimensões e sinais:
  • Dimensionalmente \varepsilon tem unidades de farad/m, \ln(b/a) é adimensional, então C tem unidades de farad como esperado.
  • O sinal do potencial calculado ( V(a)-V(b)) é positivo porque o condutor interno está carregado positivamente ( Q>0); a fórmula dá a queda de potencial do interno para o externo adequadamente.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon L r}\,\hat{r}\quad (a<r<b)\n
(b) \displaystyle V(a)-V(b)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) \displaystyle\Rightarrow \displaystyle C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}

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