Considere um capacitor ciĺndrico de comprimento
, cujo raio do condutor interno é
e o raio interno do condutor externo é
, com carga
.
(a) calcule o campo elétrico no espaço entre os dois condutores
.
(b) De posse do campo, calcule a diferença de potencial entre os dois condutores e determine a capacitância deste arranjo.
(a) calcule o campo elétrico no espaço entre os dois condutores
(b) De posse do campo, calcule a diferença de potencial entre os dois condutores e determine a capacitância deste arranjo.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor cilíndrico de comprimento
, raio do condutor interno
e raio interno do condutor externo
, com carga
no condutor interno (assume-se carga
no externo). As perguntas são:
(a) calcular o campo elétrico no espaço entre os condutores, para ;
(b) usando esse campo, calcular a diferença de potencial entre os condutores e determinar a capacitância do arranjo.
(a) calcular o campo elétrico no espaço entre os condutores, para
(b) usando esse campo, calcular a diferença de potencial entre os condutores e determinar a capacitância do arranjo.
Informações relevantes dadas:
- comprimento do sistema:
; - raio do condutor interno:
; - raio interno do condutor externo:
; - carga total no condutor interno:
.
Vou assumir meio dielétrico com permitividade(caso seja vácuo, ).
Passo 2
Ideia física e ferramenta principal (aula rápida sobre Gauss e simetria):
- Por simetria cilíndrica (o problema não muda se girarmos ao redor do eixo e se deslocarmos ao longo do eixo, ignorando bordas porque
é grande), o campo elétrico entre os condutores é radial e depende só da distância radial ao eixo: . - Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica interna dividida por
:
- Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
(com ) e comprimento . Essa superfície aproveita a simetria: é perpendicular às geratrizes do cilindro e constante em módulo sobre a superfície lateral.
Passo 3
Aplicando Gauss ao cilindro gaussiano:
- A contribuição das tampas do cilindro é nula porque o campo é radial e as tampas têm área normal paralela ao eixo (campo é paralelo às tampas = produto escalar zero).
- Fluxo total atravessando a superfície é apenas pela superfície lateral de área
.
Portanto,
A carga interna ao cilindro (para
) é
. Pela lei de Gauss:
Isolando
obtemos a expressão do campo.
Passo 4
Resultado do campo elétrico (cálculo direto):
Ou seja,
Breve interpretação: o campo cai como
porque a superfície gaussiana cresce linearmente com
(área lateral
), e a carga interna é fixa.
Passo 5
Definição de diferença de potencial e como calcular (aula sobre potencial elétrico):
- A diferença de potencial entre dois pontos
e é
- Aqui queremos a diferença entre o condutor interno (
) e o externo ( ). Vou calcular porque é usual tomar potencial do interno relativo ao externo.
Passo 6
Cálculo da diferença de potencial usando o campo encontrado:
(uso o trajeto radial de
até
; o sinal menos já foi colocado na definição).
Substituindo :
Substituindo
Isso dá
Passo 7
Definição e cálculo da capacitância:
- Capacitância
é a razão entre carga e diferença de potencial entre os condutores:
Substituindo a diferença de potencial obtida:
- Se o dielétrico for vácuo (ou ar), pode-se escrever
. Às vezes é útil a capacitância por unidade de comprimento:
Passo 8
Comentários finais, verificação rápida de dimensões e sinais:
- Dimensionalmente
tem unidades de farad/m, é adimensional, então tem unidades de farad como esperado. - O sinal do potencial calculado (
) é positivo porque o condutor interno está carregado positivamente ( ); a fórmula dá a queda de potencial do interno para o externo adequadamente.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)