Considere
e
.
(a) Determine a solução geral do sistema de EDOs:
(b) Encontre o ponto de equilíbrio do sistema acima e classifique-o. Justifique sua resposta.
(a) Determine a solução geral do sistema de EDOs:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a solução geral do sistema de EDOs dado por
As incógnitas são
e
.
- (b) Encontrar o ponto de equilíbrio do sistema e classificá‑lo (estável/instável; nó, sela, foco, centro, etc.), justificando a resposta.
Informações dadas explicitamente: as duas equações diferenciais lineares de primeira ordem acopladas acima e que
dependem de
. Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial, que facilita aplicar teoria de autovalores/autovetores. Primeiro isolamos as derivadas:
Em forma vetorial:
onde
Explicação rápida (mini‑aula): escrever o sistema como
permite usar autovalores
e autovetores
de
para construir soluções do tipo
. Se
não for diagonalizável (caso degenerado), usamos vetores generalizados (cadeia de Jordan) — vou mostrar isso quando aparecer.]
Passo 3
Encontramos os autovalores resolvendo o polinômio característico
. Calculemos:
Desenvolvendo:
portanto
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.
Mini‑aula: quando um autovalor aparece com multiplicidade maior que 1, pode ser que haja uma base de autovetores completa (matriz diagonalizável) ou não (matriz defeituosa). Precisamos checar a multiplicidade geométrica (nº de autovetores linearmente independentes associados).]
Passo 4
Encontramos os autovetores resolvendo
com
, isto é
.
Calcule :
Calcule
Resolvendo
a primeira equação dá
. Tomando
obtemos um autovetor
Observação: a segunda linha é múltipla da primeira, então a multiplicidade geométrica é
(apenas um autovetor independente). Portanto
é não diagonalizável (defeituosa) e precisamos de um vetor generalizado para formar a solução geral.
Mini‑aula: um vetor generalizado
de ordem 2 satisfaz
. Ele permite construir a segunda solução independente do sistema quando falta um autovetor.]
Passo 5
Procuramos um vetor
tal que
Isso leva ao sistema
A primeira equação é
. A segunda é
, que é apenas
vezes a primeira, logo consistente. Escolhemos uma solução simples: tome
, então
. Assim
é um vetor generalizado válido porque
.]
Passo 6
Construímos a solução geral para o caso de autovalor repetido e apenas um autovetor. A teoria diz que as soluções fundamentais são
onde
,
é o autovetor e
o vetor generalizado. Portanto a solução geral é combinação linear:
com
constantes arbitrárias. Substituindo
e
obtemos
Agora escrevemos as componentes
e
. Fazendo as somas:
Pequena explicação sobre o comportamento: os termos
e
aparecem; ambos tendem a
quando
(porque
). Assim todas as soluções vão para a origem quando
.]
Passo 7
Encontramos o ponto de equilíbrio
resolvendo
e
, ou seja o sistema
Substituindo
da primeira equação na segunda:
logo
. Assim o único ponto de equilíbrio é
.]
Passo 8
Classificação do ponto de equilíbrio: usamos os autovalores de
. Encontramos
(dupla) e a multiplicidade geométrica é
(apenas um autovetor). Como todos os autovalores têm parte real negativa (aqui
), a origem é assintoticamente estável (atraente). Como a multiplicidade algébrica excede a geométrica (caso degenerado), o equilíbrio não é um nó propriamente dito com duas direções próprias distintas; chama‑se nó degenerado (ou nó impróprio) estável, ou ainda nó degenerado assintoticamente estável. Em termos práticos: é um nó estável degenerado (ou nó impropriamente estável) — as soluções decaem para a origem e, devido ao termo
, as trajetórias não são simplesmente retas exponenciais, mas aproximam‑se tangencialmente à direção do autovetor
.
Justificativa resumida: parte real dos autovalores negativa
assintoticamente estável; autovalor repetido com apenas um autovetor
degenerescência (improper node).
Resposta
(a)
com
(b) Ponto de equilíbrio:
. Classificação: nó degenerado (nó impróprio) assintoticamente estável (autovalor
dupla, multiplicidade geométrica 1).