Considere duas placas de materiais dielétricos distintos colocadas em contato direto.
Utilizando: a Lei de Gauss, aplicada a um pequeno cilindro atravessando a interface, e a Lei de Faraday, aplicada a um contorno retangular infinitesimal, demonstre que: a componente normal do campo elétrico pode ser descontínua na interface se houver carga livre superficial; a componente tangencial do campo elétrico é sempre contínua.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pede-se demonstrar duas propriedades na interface entre dois dielétricos distintos colocados em contato direto:
- Que a componente normal do campo elétrico pode ser descontínua na interface se houver carga livre superficial.
- Que a componente tangencial do campo elétrico é sempre contínua (no caso eletrostático).
- Informações dadas / assumidas:
- Dois meios homogêneos, isotrópicos, lineares (se for preciso usar
) tocando numa superfície plana de interface. - Pode existir uma densidade de carga livre superficial na interface, denotada por
. - Vamos usar a Lei de Gauss aplicada a um pequeno cilindro (pillbox) que atravessa a interface, e a Lei de Faraday aplicada a um contorno retangular infinitesimal que cruza a interface.
- Dois meios homogêneos, isotrópicos, lineares (se for preciso usar
- O objetivo é obter as condições de contorno relacionando as componentes normal e tangencial de
(ou ) nos dois lados da interface.
Passo 2
Lembrando a forma integral das leis que vamos usar e definindo notação:
- Lei de Gauss (para o campo deslocamento elétrico
, que trata explicitamente cargas livres no interior):
onde
é a carga livre total envolvida pela superfície fechada
.
- Lei de Faraday (forma integral geral):
No caso eletrostático (ou estático em que não há variação de
), o lado direito é zero e fica
.
- Notação para componentes na interface:
- Seja
o versor normal à superfície, apontando do meio 1 para o meio 2. - Para um vetor
, a componente normal é e a componente tangencial é . - Em dielétricos lineares isotrópicos usa-se
com a permissividade do meio.
- Seja
Passo 3
Aplicação da Lei de Gauss com um pequeno cilindro (pillbox):
- Considere um cilindro de base de área
cujo eixo é paralelo a e que atravessa a região da interface. A altura do cilindro é , com a metade superior no meio 2 e a metade inferior no meio 1. Vamos tomar o limite . - A superfície fechada
do cilindro tem três partes: tampa superior (no meio 2), tampa inferior (no meio 1) e a superfície lateral. - A contribuição da superfície lateral ao fluxo tende a zero quando
, pois a área lateral é proporcional a enquanto o campo não diverge. Logo só restam as tampas superior e inferior.
Passo 4
Cálculo do fluxo e carga livre encerrada:
- Fluxo através da tampa superior:
. Observe que o vetor área aponta para fora do volume fechado; para a tampa superior o vetor área é . - Fluxo através da tampa inferior:
. Aqui o vetor área da tampa inferior aponta para fora do volume, ou seja, em . - A carga livre encerrada pelo cilindro, no limite
, é justamente a carga livre superficial na interface multiplicada por : (positivo se for carga livre com sinal positivo na interface). - Aplica-se a Lei de Gauss:
Passo 5
Resultando a condição de contorno normal para
e
:
- Cancelando
obtemos a condição local para a componente normal de : - Se os meios forem lineares e isotrópicos com
, podemos escrever: - Interpretação prática:
- A componente normal do campo deslocamento
sofre um salto igual à densidade de carga livre superficial. - A componente normal de
em geral também pode ser descontínua entre os meios, a menos que . Por exemplo, se ambos os meios fossem vácuo ( ), a condição reduz-se a . Portanto, quando há descontinuidade na componente normal de .
- A componente normal do campo deslocamento
Passo 6
Aplicação da Lei de Faraday (caso eletrostático) para a componente tangencial:
- Considere um contorno retangular
muito fino que cruza a interface: dois lados paralelos à superfície (comprimento ) e dois lados perpendiculares à superfície (altura ). Posicione o retângulo de modo que um lado horizontal esteja no meio 1 e o outro no meio 2; tome . - Em regime eletrostático ou contrário a variação de campo magnético localmente desprezível, a Lei de Faraday dá
.
Passo 7
Avaliação do integral de linha no retângulo na passagem ao limite:
- Denote por
a componente tangencial de no meio 1 ao longo do lado inferior do retângulo e por a componente tangencial no meio 2 ao longo do lado superior; a orientação do contorno é tal que os termos se somam como (sinais dependendo da orientação, escolhe-se orientação consistente). - As contribuições dos dois lados verticais (perpendiculares à interface) têm comprimento
e ficam proporcionais a ; no limite essas contribuições tendem a zero. - Portanto, o integral de linha dá, no limite:
Passo 8
Resultado final e interpretação para a componente tangencial:
- A igualdade
pode ser reescrita de forma vetorial como
ou seja, a componente tangencial do campo elétrico é contínua na interface sob condições eletrostáticas (quando não há variação temporal de
). Se houver um campo magnético variável, o termo direito da Lei de Faraday não é zero e pode surgir uma descontinuidade relacionada ao
.
Passo 9
Resumo prático do que fazer numa prova (passo a passo curto):
- Para a normal: desenhe um pillbox atravessando a interface, escreva a Lei de Gauss para
, avalie fluxos das tampas, faça e relacione com . Se necessário, substitua . - Para a tangencial: desenhe um retângulo pequeno atravessando a interface, escreva a Lei de Faraday (integral), tome
; os lados verticais somem e resta a diferença entre as componentes tangenciais, que se igualam.