Considere duas placas de materiais dielétricos distintos colocadas em contato direto.
Utilizando: a Lei de Gauss, aplicada a um pequeno cilindro atravessando a interface, e a Lei de Faraday, aplicada a um contorno retangular infinitesimal, demonstre que: a componente normal do campo elétrico pode ser descontínua na interface se houver carga livre superficial; a componente tangencial do campo elétrico é sempre contínua.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pede-se demonstrar duas propriedades na interface entre dois dielétricos distintos colocados em contato direto:
    1. Que a componente normal do campo elétrico pode ser descontínua na interface se houver carga livre superficial.
    2. Que a componente tangencial do campo elétrico é sempre contínua (no caso eletrostático).
  • Informações dadas / assumidas:
    • Dois meios homogêneos, isotrópicos, lineares (se for preciso usar \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}) tocando numa superfície plana de interface.
    • Pode existir uma densidade de carga livre superficial na interface, denotada por \sigma_{f}.
    • Vamos usar a Lei de Gauss aplicada a um pequeno cilindro (pillbox) que atravessa a interface, e a Lei de Faraday aplicada a um contorno retangular infinitesimal que cruza a interface.
  • O objetivo é obter as condições de contorno relacionando as componentes normal e tangencial de \mathbf{E} (ou \mathbf{D}) nos dois lados da interface.

Passo 2

Lembrando a forma integral das leis que vamos usar e definindo notação:
  • Lei de Gauss (para o campo deslocamento elétrico \mathbf{D}, que trata explicitamente cargas livres no interior): \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, enc}}
onde Q_{\text{livre, enc}} é a carga livre total envolvida pela superfície fechada \mathcal{S}.
  • Lei de Faraday (forma integral geral): \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
No caso eletrostático (ou estático em que não há variação de \mathbf{B}), o lado direito é zero e fica \displaystyle \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0.
  • Notação para componentes na interface:
    • Seja \hat{n} o versor normal à superfície, apontando do meio 1 para o meio 2.
    • Para um vetor \mathbf{V}, a componente normal é \mathbf{V}_n=\hat{n}(\hat{n}\cdot\mathbf{V}) e a componente tangencial é \mathbf{V}_t=\mathbf{V}-\mathbf{V}_n.
    • Em dielétricos lineares isotrópicos usa-se \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E} com \epsilon a permissividade do meio.

Passo 3

Aplicação da Lei de Gauss com um pequeno cilindro (pillbox):
  • Considere um cilindro de base de área A cujo eixo é paralelo a \hat{n} e que atravessa a região da interface. A altura do cilindro é h, com a metade superior no meio 2 e a metade inferior no meio 1. Vamos tomar o limite h\to 0.
  • A superfície fechada \mathcal{S} do cilindro tem três partes: tampa superior (no meio 2), tampa inferior (no meio 1) e a superfície lateral.
  • A contribuição da superfície lateral ao fluxo tende a zero quando h\to 0, pois a área lateral é proporcional a h enquanto o campo não diverge. Logo só restam as tampas superior e inferior.

Passo 4

Cálculo do fluxo e carga livre encerrada:
  • Fluxo através da tampa superior: \displaystyle \int_{\text{tampa superior}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = (\mathbf{D}_2\cdot\hat{n})A. Observe que o vetor área aponta para fora do volume fechado; para a tampa superior o vetor área é +\hat{n}A.
  • Fluxo através da tampa inferior: \displaystyle \int_{\text{tampa inferior}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = -(\mathbf{D}_1\cdot\hat{n})A. Aqui o vetor área da tampa inferior aponta para fora do volume, ou seja, em -\hat{n}.
  • A carga livre encerrada pelo cilindro, no limite h\to 0, é justamente a carga livre superficial na interface multiplicada por A: Q_{\text{livre, enc}}=\sigma_{f}A (positivo se for carga livre com sinal positivo na interface).
  • Aplica-se a Lei de Gauss: (\mathbf{D}_2\cdot\hat{n})A - (\mathbf{D}_1\cdot\hat{n})A = \sigma_{f}A.

Passo 5

Resultando a condição de contorno normal para \mathbf{D} e \mathbf{E}:
  • Cancelando A obtemos a condição local para a componente normal de \mathbf{D}: \hat{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma_{f}.
  • Se os meios forem lineares e isotrópicos com \mathbf{D}_i=\epsilon_i\mathbf{E}_i, podemos escrever: \hat{n}\cdot(\epsilon_2\mathbf{E}_2-\epsilon_1\mathbf{E}_1)=\sigma_{f}.
  • Interpretação prática:
    • A componente normal do campo deslocamento \mathbf{D} sofre um salto igual à densidade de carga livre superficial.
    • A componente normal de \mathbf{E} em geral também pode ser descontínua entre os meios, a menos que \epsilon_1=\epsilon_2. Por exemplo, se ambos os meios fossem vácuo ( \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_0), a condição reduz-se a \hat{n}\cdot(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=\sigma_{f}/\epsilon_0. Portanto, quando \sigma_{f}\neq 0 há descontinuidade na componente normal de \mathbf{E}.

Passo 6

Aplicação da Lei de Faraday (caso eletrostático) para a componente tangencial:
  • Considere um contorno retangular \mathcal{C} muito fino que cruza a interface: dois lados paralelos à superfície (comprimento l) e dois lados perpendiculares à superfície (altura h). Posicione o retângulo de modo que um lado horizontal esteja no meio 1 e o outro no meio 2; tome h\to 0.
  • Em regime eletrostático ou contrário a variação de campo magnético localmente desprezível, a Lei de Faraday dá \displaystyle \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0.

Passo 7

Avaliação do integral de linha no retângulo na passagem ao limite:
  • Denote por E_{1t} a componente tangencial de \mathbf{E} no meio 1 ao longo do lado inferior do retângulo e por E_{2t} a componente tangencial no meio 2 ao longo do lado superior; a orientação do contorno é tal que os termos se somam como E_{1t}l - E_{2t}l (sinais dependendo da orientação, escolhe-se orientação consistente).
  • As contribuições dos dois lados verticais (perpendiculares à interface) têm comprimento h e ficam proporcionais a h; no limite h\to 0 essas contribuições tendem a zero.
  • Portanto, o integral de linha dá, no limite: E_{1t}l - E_{2t}l = 0 \quad\Longrightarrow\quad E_{1t}=E_{2t}.

Passo 8

Resultado final e interpretação para a componente tangencial:
  • A igualdade E_{1t}=E_{2t} pode ser reescrita de forma vetorial como \hat{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=\mathbf{0},
ou seja, a componente tangencial do campo elétrico é contínua na interface sob condições eletrostáticas (quando não há variação temporal de \mathbf{B}). Se houver um campo magnético variável, o termo direito da Lei de Faraday não é zero e pode surgir uma descontinuidade relacionada ao -\partial\Phi_B/\partial t.

Passo 9

Resumo prático do que fazer numa prova (passo a passo curto):
  • Para a normal: desenhe um pillbox atravessando a interface, escreva a Lei de Gauss para \mathbf{D}, avalie fluxos das tampas, faça h\to 0 e relacione com \sigma_{f}. Se necessário, substitua \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}.
  • Para a tangencial: desenhe um retângulo pequeno atravessando a interface, escreva a Lei de Faraday (integral), tome h\to 0; os lados verticais somem e resta a diferença entre as componentes tangenciais, que se igualam.

Resposta

\hat{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma_{f}\quad\Longrightarrow\quad \hat{n}\cdot(\epsilon_2\mathbf{E}_2-\epsilon_1\mathbf{E}_1)=\sigma_{f},
\hat{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}_{1t}=\mathbf{E}_{2t}.

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