Considere uma esfera e uma casca esférica, concêntricas e condutoras. A casca esfera, oca, tem raio maior formando uma camada ao redor da esfera que é maciça. Inicialmente as cargas da casca e da esfera são -7 Q e +2 Q, respectivamente.
(a) Descreva a distribuição de carga na cascada esférica, isto é, quais os valores das cargas nas suas faces internas e externas.
(b) Qual o campo elétrico entre a camada e a esfera?
(c) Um fio condutor é conectado entre a casca e a esfera, depois do equilíbrio eletrostático ser estabelecido qual é o valor da carga na casca esférica.
(d) Quais serão os novos valores de cargas nas faces internas e externas da casca?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora maciça e, concêntrica a ela, uma casca esférica condutora (oca). As cargas iniciais são:
  • carga da casca esférica: -7Q,
  • carga da esfera interna: +2Q.
O que o enunciado pede:
(a) distribuir a carga da casca entre sua face interna e sua face externa (valores numéricos de cada uma);
(b) determinar o campo elétrico na região entre a esfera interna e a casca (isto é, para r tal que está no vazio entre as superfícies);
(c) conectar por um fio condutor a casca e a esfera e, após novo equilíbrio, informar a carga total que fica na casca esférica;
(d) depois da conexão, informar os novos valores das cargas na face interna e na face externa da casca.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • as duas superfícies são condutoras e concêntricas;
  • estados iniciais em equilíbrio eletrostático (antes de conectar o fio);
  • conservação de carga total do sistema quando não há ligação com o exterior (antes e após a conexão entre as duas peças, a carga total do sistema esfera+casca é preservada, pois o fio apenas as conecta entre si).

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula curta e direta, para usar já na resolução).
  1. Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total envolvida pela superfície. Isso permite relacionar campo elétrico com carga envolvida por uma superfície gaussiana.
2) Condutor em equilíbrio eletrostático:
  • o campo elétrico dentro do material condutor é 0;
  • cargas livres em um condutor se posicionam na superfície externa (ou nas superfícies de fronteira de cavidades) de modo a anular o campo dentro do metal;
  • se há uma carga localizada dentro de uma cavidade (isolada do condutor por vazio), cargas induzidas aparecem na superfície da cavidade com sinal oposto, cujo valor cancela o efeito elétrico no metal; o resto da carga do condutor aparece na superfície externa.
  1. Quando dois corpos condutores são ligados por um fio, tornam-se um único condutor em equilíbrio. A carga total do conjunto se conserva (se não houver ligação ao exterior) e o excesso de carga final reside na superfície externa mais externa do conjunto.
Vou aplicar essas ideias ao problema passo a passo.

Passo 3

Parte (a): distribuição inicial das cargas na casca (faces interna e externa).
Raciocínio detalhado e didático:
  • Faça uma superfície gaussiana esférica concêntrica com raio situado dentro do material da casca (ou seja, que envolva a esfera interna e passe pelo interior do metal da casca). Dentro do metal o campo deve ser 0. Pela lei de Gauss, a carga total dentro dessa superfície gaussiana deve ser zero, porque o fluxo é zero.
  • O que está contido nessa superfície gaussiana? Está contida a esfera interna com carga +2Q e também a carga que está na face interna da casca (vamos chamar de q_{\text{interna}}). Logo
+2Q + q_{\text{interna}} = 0.
  • Da equação acima segue
q_{\text{interna}} = -2Q.
  • Agora a casca tem carga total inicial -7Q. Essa carga total é a soma da carga da face interna q_{\text{interna}} e da carga da face externa q_{\text{externa}}:
q_{\text{interna}} + q_{\text{externa}} = -7Q.
  • Substituindo q_{\text{interna}}=-2Q,
-2Q + q_{\text{externa}} = -7Q \quad\Rightarrow\quad q_{\text{externa}} = -7Q + 2Q = -5Q.
Conclusão desta etapa: face interna da casca tem -2Q; face externa tem -5Q.

Passo 4

Parte (b): campo elétrico entre a esfera e a casca (região do espaço livre entre as superfícies).
Definição do que queremos: o campo para uma distância radial r tal que a esfera interna está contida no raio menor e estamos entre a superfície da esfera e a face interna da casca.
Cálculo passo a passo usando Gauss:
  • Tome uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r tal que ela envolve somente a esfera interna (não envolve a face interna da casca). Então a carga total envolvida por essa superfície é apenas a carga da esfera, +2Q.
  • Pela simetria esférica o campo é radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}=\frac{2Q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r),
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Q}{r^2}.
  • Direção: apontando radialmente para fora (porque a carga envolvida é positiva).
Portanto, para r entre a superfície da esfera e a face interna da casca,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Q}{r^2}\quad\text{(radial, para fora).}

Passo 5

Parte (c): conectar um fio condutor entre a casca e a esfera; após novo equilíbrio, qual é a carga na casca esférica.
Explicação detalhada do que ocorre ao conectar:
  • Ao conectar por fio a casca e a esfera, elas ficam eletricamente ligadas e passam a ser um único condutor (mesmo potencial elétrico).
  • O sistema fechado formado por casca+esfera não troca carga com o exterior (o fio só as conecta), logo a carga total do sistema se conserva.
  • Carga total inicial do sistema = carga da esfera +2Q + carga da casca -7Q = -5Q.
  • Para um condutor isolado em equilíbrio, a carga elétrica livre fixa-se na superfície externa do conjunto condutor. No nosso caso a superfície externa visível é a face externa da casca (a esfera interna fica “interna” ao metal conectado e não pode ficar com carga líquida isolada na sua superfície quando conectado ao metal externo).
  • Assim, toda a carga total do conjunto -5Q desloca-se para a superfície externa mais externa, isto é, para a face externa da casca.
  • A pergunta (c) pede o valor da carga na casca esférica depois do equilíbrio — a casca é a peça externa que contém a superfície externa: ela ficará com -5Q. (Observação: a esfera interna, por estar ligada, ficará sem carga líquida separada; a carga final do conjunto fica na face externa da casca.)
Portanto, após a conexão, a carga na casca esférica é -5Q.

Passo 6

Parte (d): novos valores das cargas nas faces interna e externa da casca depois da conexão.
Raciocínio:
  • Como explicado no passo (c), depois da conexão as duas peças formam um único condutor com carga total -5Q.
  • Em equilíbrio, dentro do metal o campo é zero. Se existe uma cavidade sem cargas internas (agora que a esfera interna está ligada ao metal, ela não é uma carga isolada dentro da cavidade), então a carga induzida na face interna da casca deve ser tal que, somada à carga da esfera interna (que agora é parte do mesmo condutor), anule o campo no metal. Mas agora a esfera interna faz parte do condutor: não há carga isolada dentro da cavidade. Logo não há carga líquida localizada dentro da cavidade; por consequência a carga na superfície interna da casca deve ser zero.
  • Alternativamente e mais direto: todo o excesso de carga do conjunto aparece na superfície externa; a face interna não carrega carga líquida. Assim:
q_{\text{interna}}' = 0,\qquad q_{\text{externa}}' = -5Q.
Interpretação física curta: ligar por fio faz com que a carga que estava “preso” na esfera e na parte interna da casca se recombine e migre para a superfície externa do conjunto.

Resposta

(a) face interna da casca: -2Q; face externa da casca: -5Q
(b) E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2Q}{r^2} radial para fora (para r entre a esfera e a casca)
(c) carga na casca após conectar: -5Q
(d) após conectar: face interna da casca =0; face externa da casca =-5Q

Exercícios relacionados