Considere uma esfera e uma casca esférica, concêntricas e condutoras. A casca esfera, oca, tem raio maior formando uma camada ao redor da esfera que é maciça. Inicialmente as cargas da casca e da esfera são
e
, respectivamente.
(a) Descreva a distribuição de carga na cascada esférica, isto é, quais os valores das cargas nas suas faces internas e externas.
(b) Qual o campo elétrico entre a camada e a esfera?
(c) Um fio condutor é conectado entre a casca e a esfera, depois do equilíbrio eletrostático ser estabelecido qual é o valor da carga na casca esférica.
(d) Quais serão os novos valores de cargas nas faces internas e externas da casca?
(a) Descreva a distribuição de carga na cascada esférica, isto é, quais os valores das cargas nas suas faces internas e externas.
(b) Qual o campo elétrico entre a camada e a esfera?
(c) Um fio condutor é conectado entre a casca e a esfera, depois do equilíbrio eletrostático ser estabelecido qual é o valor da carga na casca esférica.
(d) Quais serão os novos valores de cargas nas faces internas e externas da casca?
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora maciça e, concêntrica a ela, uma casca esférica condutora (oca). As cargas iniciais são:
- carga da casca esférica:
, - carga da esfera interna:
.
O que o enunciado pede:
(a) distribuir a carga da casca entre sua face interna e sua face externa (valores numéricos de cada uma);
(b) determinar o campo elétrico na região entre a esfera interna e a casca (isto é, para tal que está no vazio entre as superfícies);
(c) conectar por um fio condutor a casca e a esfera e, após novo equilíbrio, informar a carga total que fica na casca esférica;
(d) depois da conexão, informar os novos valores das cargas na face interna e na face externa da casca.
(a) distribuir a carga da casca entre sua face interna e sua face externa (valores numéricos de cada uma);
(b) determinar o campo elétrico na região entre a esfera interna e a casca (isto é, para
(c) conectar por um fio condutor a casca e a esfera e, após novo equilíbrio, informar a carga total que fica na casca esférica;
(d) depois da conexão, informar os novos valores das cargas na face interna e na face externa da casca.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- as duas superfícies são condutoras e concêntricas;
- estados iniciais em equilíbrio eletrostático (antes de conectar o fio);
- conservação de carga total do sistema quando não há ligação com o exterior (antes e após a conexão entre as duas peças, a carga total do sistema esfera+casca é preservada, pois o fio apenas as conecta entre si).
Passo 2
Conceitos essenciais (mini-aula curta e direta, para usar já na resolução).
- Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
onde
é a carga total envolvida pela superfície. Isso permite relacionar campo elétrico com carga envolvida por uma superfície gaussiana.
2) Condutor em equilíbrio eletrostático:
2) Condutor em equilíbrio eletrostático:
- o campo elétrico dentro do material condutor é
; - cargas livres em um condutor se posicionam na superfície externa (ou nas superfícies de fronteira de cavidades) de modo a anular o campo dentro do metal;
- se há uma carga localizada dentro de uma cavidade (isolada do condutor por vazio), cargas induzidas aparecem na superfície da cavidade com sinal oposto, cujo valor cancela o efeito elétrico no metal; o resto da carga do condutor aparece na superfície externa.
- Quando dois corpos condutores são ligados por um fio, tornam-se um único condutor em equilíbrio. A carga total do conjunto se conserva (se não houver ligação ao exterior) e o excesso de carga final reside na superfície externa mais externa do conjunto.
Vou aplicar essas ideias ao problema passo a passo.
Passo 3
Parte (a): distribuição inicial das cargas na casca (faces interna e externa).
Raciocínio detalhado e didático:
- Faça uma superfície gaussiana esférica concêntrica com raio situado dentro do material da casca (ou seja, que envolva a esfera interna e passe pelo interior do metal da casca). Dentro do metal o campo deve ser
. Pela lei de Gauss, a carga total dentro dessa superfície gaussiana deve ser zero, porque o fluxo é zero. - O que está contido nessa superfície gaussiana? Está contida a esfera interna com carga
e também a carga que está na face interna da casca (vamos chamar de ). Logo
- Da equação acima segue
- Agora a casca tem carga total inicial
. Essa carga total é a soma da carga da face interna e da carga da face externa :
- Substituindo
,
Conclusão desta etapa: face interna da casca tem
; face externa tem
.
Passo 4
Parte (b): campo elétrico entre a esfera e a casca (região do espaço livre entre as superfícies).
Definição do que queremos: o campo para uma distância radial
tal que a esfera interna está contida no raio menor e estamos entre a superfície da esfera e a face interna da casca.
Cálculo passo a passo usando Gauss:
- Tome uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
tal que ela envolve somente a esfera interna (não envolve a face interna da casca). Então a carga total envolvida por essa superfície é apenas a carga da esfera, . - Pela simetria esférica o campo é radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim
- Isolando
,
- Direção: apontando radialmente para fora (porque a carga envolvida é positiva).
Portanto, para
entre a superfície da esfera e a face interna da casca,
Passo 5
Parte (c): conectar um fio condutor entre a casca e a esfera; após novo equilíbrio, qual é a carga na casca esférica.
Explicação detalhada do que ocorre ao conectar:
- Ao conectar por fio a casca e a esfera, elas ficam eletricamente ligadas e passam a ser um único condutor (mesmo potencial elétrico).
- O sistema fechado formado por casca+esfera não troca carga com o exterior (o fio só as conecta), logo a carga total do sistema se conserva.
- Carga total inicial do sistema = carga da esfera
+ carga da casca = . - Para um condutor isolado em equilíbrio, a carga elétrica livre fixa-se na superfície externa do conjunto condutor. No nosso caso a superfície externa visível é a face externa da casca (a esfera interna fica “interna” ao metal conectado e não pode ficar com carga líquida isolada na sua superfície quando conectado ao metal externo).
- Assim, toda a carga total do conjunto
desloca-se para a superfície externa mais externa, isto é, para a face externa da casca. - A pergunta (c) pede o valor da carga na casca esférica depois do equilíbrio — a casca é a peça externa que contém a superfície externa: ela ficará com
. (Observação: a esfera interna, por estar ligada, ficará sem carga líquida separada; a carga final do conjunto fica na face externa da casca.)
Portanto, após a conexão, a carga na casca esférica é
.
Passo 6
Parte (d): novos valores das cargas nas faces interna e externa da casca depois da conexão.
Raciocínio:
- Como explicado no passo (c), depois da conexão as duas peças formam um único condutor com carga total
. - Em equilíbrio, dentro do metal o campo é zero. Se existe uma cavidade sem cargas internas (agora que a esfera interna está ligada ao metal, ela não é uma carga isolada dentro da cavidade), então a carga induzida na face interna da casca deve ser tal que, somada à carga da esfera interna (que agora é parte do mesmo condutor), anule o campo no metal. Mas agora a esfera interna faz parte do condutor: não há carga isolada dentro da cavidade. Logo não há carga líquida localizada dentro da cavidade; por consequência a carga na superfície interna da casca deve ser zero.
- Alternativamente e mais direto: todo o excesso de carga do conjunto aparece na superfície externa; a face interna não carrega carga líquida. Assim:
Interpretação física curta: ligar por fio faz com que a carga que estava “preso” na esfera e na parte interna da casca se recombine e migre para a superfície externa do conjunto.
Resposta
(a) face interna da casca:
; face externa da casca:
(b) radial para fora (para
entre a esfera e a casca)
(c) carga na casca após conectar:
(d) após conectar: face interna da casca ; face externa da casca
(b)
(c) carga na casca após conectar:
(d) após conectar: face interna da casca