Considere um fio de aço de diâmetro igual a 5 mm e deseja-se reduzir para 2,77 \mathrm{~mm}. O processamento do fio será em 8 fieiras. Sabendo disso, determine os diâmetros de abertura de cada fieira para a redução da bitola do arame até que se obtenha a medida desejada.

Passo 1

O enunciado pede que se reduza um fio de aço de diâmetro inicial igual a 5\\ \mathrm{mm} até um diâmetro final de 2,77\\ \mathrm{mm} usando exatamente 8 fieiras (passagens).
As informações dadas são:
  • diâmetro inicial: d_0 = 5\\ \mathrm{mm};
  • diâmetro final desejado: d_8 = 2,77\\ \mathrm{mm};
  • número de fieiras (passagens): n = 8.
O que se pede: determinar os diâmetros de abertura de cada fieira, ou seja, os diâmetros após cada passagem d_1,d_2,\dots,d_8 que levem d_0 até d_8.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e justificativa).
Uma prática comum e conveniente no trefilamento (desenho do arame) é dividir a redução total em cada passagem de modo que a redução de área seja a mesma em todas as fieiras. Isso evita sobrecarregar alguma passagem e distribui de forma uniforme a deformação verdadeira (strain) entre as passagens. Vou usar esse procedimento: redução igual de área por passagem.
Matematicamente: a área da seção transversal é proporcional ao quadrado do diâmetro. Se A_k é a área após k passagens e d_k o diâmetro correspondente, então
A_k \propto d_k^2.
Se a razão de redução de área por passagem for constante r (ou seja A_{k}=A_{k-1}\,r), após n passagens teremos
A_n = A_0\,r^{n}.
Como A_n/A_0=(d_n/d_0)^2, obtemos
r=\left(\frac{d_n}{d_0}\right)^{2/n}.
Mas é mais simples trabalhar diretamente com a razão entre diâmetros por passagem. Chamando q a razão geométrica dos diâmetros entre passagens consecutivas (ou seja d_k=d_{k-1}\,q), tem-se
d_n = d_0\,q^{n}\quad\Longrightarrow\quad q=\left(\frac{d_n}{d_0}\right)^{1/n}.
Ou seja, os diâmetros formam uma progressão geométrica de razão q.

Passo 3

Cálculo da razão geométrica q. Primeiro calcular a razão total entre o diâmetro final e o inicial:
\frac{d_8}{d_0}=\frac{2,77}{5}=0,554.
A razão por passagem é
q=\left(\frac{d_8}{d_0}\right)^{1/8}=(0,554)^{1/8}.
Para calcular uma raiz de ordem 8 de forma prática, uma forma manual é fazer sucessivas raízes quadradas:
\sqrt{0,554}\approx 0,74432,
essa é a raiz quadrada; a quarta raiz é \sqrt{0,74432}\approx 0,8630; a oitava raiz é \sqrt{0,8630}\approx 0,92894. Logo
q \approx 0,92894.
(Obs.: o cálculo com logaritmos daria o mesmo resultado: q=\exp\big(\tfrac{1}{8}\ln(0,554)\big).)

Passo 4

Fórmula para os diâmetros após cada passagem e cálculo numérico.
Usando d_k=d_0\,q^{k} para k=1,2,\dots,8, e d_0=5\\ \mathrm{mm}, q\approx 0,92894:
Calcular as potências de q (valores aproximados):
\begin{aligned} q^1 &\approx 0,92894,\\\ q^2 &\approx 0,86295,\\\ q^3 &\approx 0,80112,\\\ q^4 &\approx 0,74469,\\\ q^5 &\approx 0,69184,\\\ q^6 &\approx 0,64298,\\\ q^7 &\approx 0,59753,\\\ q^8 &\approx 0,55400\quad(\text{confere com }0,554). \end{aligned}
Agora os diâmetros:
\begin{aligned} d_1 &= 5\cdot q^1 \approx 5\cdot 0,92894 \approx 4,645\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_2 &= 5\cdot q^2 \approx 5\cdot 0,86295 \approx 4,315\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_3 &= 5\cdot q^3 \approx 5\cdot 0,80112 \approx 4,006\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_4 &= 5\cdot q^4 \approx 5\cdot 0,74469 \approx 3,723\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_5 &= 5\cdot q^5 \approx 5\cdot 0,69184 \approx 3,459\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_6 &= 5\cdot q^6 \approx 5\cdot 0,64298 \approx 3,215\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_7 &= 5\cdot q^7 \approx 5\cdot 0,59753 \approx 2,988\\ \mathrm{mm},\\[4pt] d_8 &= 5\cdot q^8 \approx 5\cdot 0,55400 \approx 2,770\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}]

Passo 5

Verificação e observações práticas.
  • Verificamos que d_8\approx 2,770\\ \mathrm{mm}, que coincide com o objetivo 2,77\\ \mathrm{mm} (diferença de arredondamento desprezível).
  • Em prática de oficina, costuma-se também considerar folgas e acabamento das fieiras (apenas para lembrar: aqui estamos calculando os diâmetros teóricos das aberturas finais de cada passagem, sem adicionar tolerâncias de usinagem ou folga).
  • Se preferir outra estratégia (por exemplo redução constante de diâmetro em mm por passagem) as fórmulas mudam; a escolha por redução de área constante é a mais usada por distribuir uniformemente a deformação verdadeira.

Resposta

d_1 = 4,645\\ \mathrm{mm}
d_2 = 4,315\\ \mathrm{mm}
d_3 = 4,006\\ \mathrm{mm}
d_4 = 3,723\\ \mathrm{mm}
d_5 = 3,459\\ \mathrm{mm}
d_6 = 3,215\\ \mathrm{mm}
d_7 = 2,988\\ \mathrm{mm}
d_8 = 2,770\\ \mathrm{mm}

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