Considere um fio muito longo e reto com uma correte i :
(a) partindo da lei de Biot-Savart calcule o campo magnético a uma distância d do fio;
(b) considerando dois fios retos paralelos e de mesmo comprimento, com correntes estacionárias distintas, i_{a} e i_{b}, em cada um deles e de mesmo sentido, separados por uma distância d , mostre que a força que atua em um devido a corrente no outro satisfaz
\vec{F}_{a(b)}=-\vec{F}_{b(a)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Parte (a): calcular o campo magnético a uma distância d de um fio muito longo e retilíneo que transporta uma corrente i, partindo da lei de Biot–Savart.
  • Parte (b): considerando dois fios retos e paralelos, de mesmo comprimento L (ou muito longos de modo a considerar força por unidade de comprimento), com correntes estacionárias i_{a} e i_{b} no mesmo sentido e separados por uma distância d, mostrar que
\vec{F}_{a(b)}=-\vec{F}_{b(a)}.
Informações relevantes dadas:
  • Fio muito longo e retilíneo com corrente i.
  • Distância entre fio e ponto onde se quer o campo: d.
  • Para (b): dois fios paralelos separados por d, correntes i_a e i_b, mesmo sentido, mesmo comprimento (ou assunto tratado por comprimento L ou por força por unidade de comprimento).
Não começo a resolver ainda; só identifiquei claramente o pedido e os dados acima.

Passo 2

Apresentando a lei de Biot–Savart e preparando a integral.
A lei de Biot–Savart para o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,i\,\frac{d\vec{\ell}\times\hat{r}}{r^{2}},
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo,
  • i é a corrente na elemento d\vec{\ell},
  • \vec{r} é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo,
  • r=|\vec{r}| e \hat{r}=\vec{r}/r.
É conveniente usar a forma equivalente
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,i\,\frac{d\vec{\ell}\times\vec{R}}{R^{3}},
onde \vec{R} é o vetor do elemento de corrente até o ponto e R=|\vec{R}|. Essa forma evita escrever o unitário \hat r separadamente.
Escolha de coordenadas:
  • Coloca-se o fio ao longo do eixo z (reta passando por x=0,y=0).
  • Ponto onde se quer o campo: (x,y,z)=(d,0,0) — ou seja, a uma distância radial d do eixo do fio, no plano z=0.
  • Elemento de corrente no fio: d\vec{\ell}=dz'\,\hat{z}, com z' a coordenada do elemento.
Vetor do elemento até o ponto:
\vec{R} = (d,0,-z')= d\,\hat{x} - z' \,\hat{z}, \qquad R=\sqrt{d^{2}+{z'}^{2}}.
Calcule o produto vetorial no numerador:
d\vec{\ell}\times\vec{R}=dz'\,\hat{z}\times\big(d\,\hat{x}-z'\,\hat{z}\big)=dz'\,d\;(\hat{z}\times\hat{x})=dz'\,d\,\hat{y},
porque \hat{z}\times\hat{z}=0 e \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}.
Logo
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,i\;\frac{d\,dz'\,\hat{y}}{(d^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Integramos z' ao longo de todo o fio muito longo (de -\infty a +\infty) para obter \vec{B}.

Passo 3

Cálculo da integral e resultado para o módulo e direção do campo (explicando cada passo).
A componente vetorial \hat{y} é constante na integração, saímos com ela. O que resta é a integral numérica
\vec{B}=\hat{y}\,\frac{\mu_{0} i d}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{(d^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Avaliaremos a integral. Use a substituição trigonométrica útil para integrais do tipo (a^{2}+z^{2})^{-3/2}:
tome {z'}=d\tan\theta. Então
dz' = d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\qquad d^{2}+{z'}^{2}=d^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta,
portanto
\frac{dz'}{(d^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}=\frac{d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\big(d^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{3/2}} =\frac{d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{d^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{d\theta}{d^{2}}\cos\theta.
Os limites {z'}\to-\infty correspondem a \theta\to-\pi/2 e {z'}\to+\infty a \theta\to+\pi/2. Então
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{(d^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}=\frac{1}{d^{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{d^{2}}\big[ \sin\theta \big]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{1}{d^{2}}(1-(-1))=\frac{2}{d^{2}}.
Substituindo de volta:
\vec{B}=\hat{y}\,\frac{\mu_{0} i d}{4\pi}\cdot\frac{2}{d^{2}} =\hat{y}\,\frac{\mu_{0} i}{2\pi d}.
Interpretando a direção: em coordenadas cilíndricas a direção \hat{\varphi} no ponto (d,0,0) corresponde a \hat{y}. Em linguagem prática: o campo circula em torno do fio segundo a regra da mão direita; no ponto a distância d no eixo x o campo aponta no sentido +\hat{y} (para corrente no sentido +\hat{z}). Portanto o resultado geral é
\boxed{\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} i}{2\pi r}\,\hat{\varphi}},
onde r é a distância radial do fio (aqui r=d) e \hat{\varphi} é o versor azimutal (direção tangencial aos círculos concêntricos com o fio).

Passo 4

Aplicando o resultado da parte (a) para a situação de dois fios paralelos e mostrando a ação e reação.
Geometry e ideia:
  • Coloca-se dois fios paralelos ambos ao longo do eixo z. Fio a em x=0; fio b em x=d.
  • Correntes i_{a} e i_{b} no mesmo sentido, digamos ambas para +\hat{z}.
  • Para fios longos (ou tratando força por unidade de comprimento) podemos usar o campo magnético produzido por um fio no local do outro, que pela parte (a) tem módulo \mu_{0}i/(2\pi d) e direção tangencial \hat{\varphi}.
Força sobre um elemento de fio:
A força magnética sobre um elemento de corrente é
d\vec{F}=i\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Para um fio retilíneo com corrente na direção \hat{z}, d\vec{\ell}=dz\,\hat{z}. Assim a força por unidade de comprimento (para fios longos e praticamente uniformes) sobre o fio a devido ao campo de b é
\frac{d\vec{F}_{a(b)}}{dz}=i_{a}\,\hat{z}\times\vec{B}_{b}.
Campo produzido por b no local de a:
  • A distância entre os eixos é d. Pelo item (a),
\vec{B}_{b}=\frac{\mu_{0} i_{b}}{2\pi d}\,\hat{\varphi}_{b\to a}.
No ponto onde está o fio a (na esquerda do fio b), a direção \hat{\varphi}_{b\to a} aponta em -\hat{x} ou +\hat{y} dependendo do ponto; o resultado do produto vetorial é o que importa. Tomando consistência com nossa escolha (fios sobre o eixo z, fio b deslocado para +x), para correntes para +\hat{z} o campo de b no local do fio a aponta em -\hat{y} ou +\hat{y} — o importante é o cruzamento dará uma componente em \pm\hat{x}. Trabalhemos o cruzamento de forma direta e simples usando regra da mão direita:
Calculemos explicitamente o vetor força por unidade de comprimento:
\frac{d\vec{F}_{a(b)}}{dz}=i_{a}\,\hat{z}\times\left(\frac{\mu_{0} i_{b}}{2\pi d}\,\hat{\varphi}\right) =\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\;\hat{z}\times\hat{\varphi}.
Conhecendo as direções cilíndricas: \hat{z}\times\hat{\varphi}=-\hat{r} (isto é, \hat{z}\times\hat{\varphi} aponta radialmente para o centro do círculo). Assim
\frac{d\vec{F}_{a(b)}}{dz}=-\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,\hat{r},
ou seja, a força por unidade de comprimento sobre o fio a aponta na direção radial que aproxima os fios (força atrativa quando i_a e i_b têm o mesmo sentido).
Para o fio b faz-se o mesmo: o campo produzido por a no local de b tem módulo \mu_{0} i_{a}/(2\pi d) e a força por unidade de comprimento sobre b é
\frac{d\vec{F}_{b(a)}}{dz}=-\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,(-\hat{r})=+\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,\hat{r},
ou, mais diretamente, é igual em módulo e oposta em direção à força sobre a.
Se os fios têm comprimento finito L e mantêm a simetria (mesma extensão, paralelos, correntes constantes), a força total é essa forca por unidade de comprimento multiplicada por L:
\vec{F}_{a(b)}=-\vec{F}_{b(a)}=-\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,L\,\hat{r}\quad(\text{atração se correntes no mesmo sentido}).çã
Raciocínio físico e simetria: a expressão mostra claramente que as forças têm a mesma intensidade e sentidos opostos — isto é exatamente a forma matemática da terceira lei de Newton para essas correntes estacionárias e configurações simétricas.

Passo 5

Resumo do que foi aprendido (curtinho e motivador).
  • A lei de Biot–Savart nos dá o campo de um fio retilíneo e muito longo; integral bem conhecida resulta em \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}i}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
  • A força entre dois fios paralelos e com correntes no mesmo sentido é atrativa, proporcional a i_a i_b e inversamente proporcional à distância d.
  • A simetria do problema (e a forma do produto cruzado usado) garante que as forças entre os fios são opostas: \vec{F}_{a(b)}=-\vec{F}_{b(a)}. Força por unidade de comprimento:
\frac{d\vec{F}}{dz}=\pm\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,\hat{r},
e para comprimento L,
\vec{F}=\pm\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,L\,\hat{r}.
Força e coragem: você já consegue derivar o campo a partir da Biot–Savart e usar d\vec{F}=i\,d\vec{\ell}\times\vec{B} para encontrar a força entre fios — é exatamente o que costuma cair na prova. Vai com tudo!

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} i}{2\pi r}\,\hat{\varphi} \
\displaystyle \vec{F}_{a(b)}=-\vec{F}_{b(a)}\quad\text{(com magnitude }|\vec{F}|=\frac{\mu_{0} i_{a} i_{b}}{2\pi d}\,L\text{ para fios de comprimento }L\text{)}

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