Considere um fio muito longo e reto com uma correte
:
(a) partindo da lei de Biot-Savart calcule o campo magnético a uma distância
do fio;
(b) considerando dois fios retos paralelos e de mesmo comprimento, com correntes estacionárias distintas,
e
, em cada um deles e de mesmo sentido, separados por uma distância d , mostre que a força que atua em um devido a corrente no outro satisfaz
(a) partindo da lei de Biot-Savart calcule o campo magnético a uma distância
(b) considerando dois fios retos paralelos e de mesmo comprimento, com correntes estacionárias distintas,
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Parte (a): calcular o campo magnético a uma distância
de um fio muito longo e retilíneo que transporta uma corrente , partindo da lei de Biot–Savart. - Parte (b): considerando dois fios retos e paralelos, de mesmo comprimento
(ou muito longos de modo a considerar força por unidade de comprimento), com correntes estacionárias e no mesmo sentido e separados por uma distância , mostrar que
Informações relevantes dadas:
- Fio muito longo e retilíneo com corrente
. - Distância entre fio e ponto onde se quer o campo:
. - Para (b): dois fios paralelos separados por
, correntes e , mesmo sentido, mesmo comprimento (ou assunto tratado por comprimento ou por força por unidade de comprimento).
Não começo a resolver ainda; só identifiquei claramente o pedido e os dados acima.
Passo 2
Apresentando a lei de Biot–Savart e preparando a integral.
A lei de Biot–Savart para o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente na elemento , -
é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo, -
e .
É conveniente usar a forma equivalente
onde
é o vetor do elemento de corrente até o ponto e
. Essa forma evita escrever o unitário
separadamente.
Escolha de coordenadas:
- Coloca-se o fio ao longo do eixo
(reta passando por ). - Ponto onde se quer o campo:
— ou seja, a uma distância radial do eixo do fio, no plano . - Elemento de corrente no fio:
, com a coordenada do elemento.
Vetor do elemento até o ponto:
Calcule o produto vetorial no numerador:
porque
e
.
Logo
Integramos
ao longo de todo o fio muito longo (de
a
) para obter
.
Passo 3
Cálculo da integral e resultado para o módulo e direção do campo (explicando cada passo).
A componente vetorial
é constante na integração, saímos com ela. O que resta é a integral numérica
Avaliaremos a integral. Use a substituição trigonométrica útil para integrais do tipo
:
tome . Então
tome
portanto
Os limites
correspondem a
e
a
. Então
Substituindo de volta:
Interpretando a direção: em coordenadas cilíndricas a direção
no ponto
corresponde a
. Em linguagem prática: o campo circula em torno do fio segundo a regra da mão direita; no ponto a distância
no eixo
o campo aponta no sentido
(para corrente no sentido
). Portanto o resultado geral é
onde
é a distância radial do fio (aqui
) e
é o versor azimutal (direção tangencial aos círculos concêntricos com o fio).
Passo 4
Aplicando o resultado da parte (a) para a situação de dois fios paralelos e mostrando a ação e reação.
Geometry e ideia:
- Coloca-se dois fios paralelos ambos ao longo do eixo
. Fio em ; fio em . - Correntes
e no mesmo sentido, digamos ambas para . - Para fios longos (ou tratando força por unidade de comprimento) podemos usar o campo magnético produzido por um fio no local do outro, que pela parte (a) tem módulo
e direção tangencial .
Força sobre um elemento de fio:
A força magnética sobre um elemento de corrente é
A força magnética sobre um elemento de corrente é
Para um fio retilíneo com corrente na direção
,
. Assim a força por unidade de comprimento (para fios longos e praticamente uniformes) sobre o fio
devido ao campo de
é
Campo produzido por
no local de
:
- A distância entre os eixos é
. Pelo item (a),
No ponto onde está o fio
(na esquerda do fio
), a direção
aponta em
ou
dependendo do ponto; o resultado do produto vetorial é o que importa. Tomando consistência com nossa escolha (fios sobre o eixo
, fio
deslocado para
), para correntes para
o campo de
no local do fio
aponta em
ou
— o importante é o cruzamento dará uma componente em
. Trabalhemos o cruzamento de forma direta e simples usando regra da mão direita:
Calculemos explicitamente o vetor força por unidade de comprimento:
Conhecendo as direções cilíndricas:
(isto é,
aponta radialmente para o centro do círculo). Assim
ou seja, a força por unidade de comprimento sobre o fio
aponta na direção radial que aproxima os fios (força atrativa quando
e
têm o mesmo sentido).
Para o fio
faz-se o mesmo: o campo produzido por
no local de
tem módulo
e a força por unidade de comprimento sobre
é
ou, mais diretamente, é igual em módulo e oposta em direção à força sobre
.
Se os fios têm comprimento finito
e mantêm a simetria (mesma extensão, paralelos, correntes constantes), a força total é essa forca por unidade de comprimento multiplicada por
:
Raciocínio físico e simetria: a expressão mostra claramente que as forças têm a mesma intensidade e sentidos opostos — isto é exatamente a forma matemática da terceira lei de Newton para essas correntes estacionárias e configurações simétricas.
Passo 5
Resumo do que foi aprendido (curtinho e motivador).
- A lei de Biot–Savart nos dá o campo de um fio retilíneo e muito longo; integral bem conhecida resulta em
. - A força entre dois fios paralelos e com correntes no mesmo sentido é atrativa, proporcional a
e inversamente proporcional à distância . - A simetria do problema (e a forma do produto cruzado usado) garante que as forças entre os fios são opostas:
. Força por unidade de comprimento:
e para comprimento
,
Força e coragem: você já consegue derivar o campo a partir da Biot–Savart e usar
para encontrar a força entre fios — é exatamente o que costuma cair na prova. Vai com tudo!