Considere um fluido incompressível escoando em regime estacionário com v_{0}=0,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} por um tubo de seção reta de 2,0 \mathrm{~m}^{2}. Em um dado momento, o fluido é estrangulado por uma área de seção reta de 0,8 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a nova velocidade do fluido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a nova velocidade do fluido quando a seção do tubo é reduzida. As informações dadas são:
  • velocidade inicial do fluido: v_{0}=0,9\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1},
  • seção inicial do tubo: A_{1}=2,0\\ \mathrm{m}^{2},
  • seção estrangulada (nova seção): A_{2}=0,8\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Conservação de massa para fluido incompressível e escoamento em regime estacionário: o débito volumétrico (vazão) é constante ao longo do tubo. Vou explicar isso devagarinho.
Definição do débito volumétrico Q:
Q = A \, v,
onde
  • Q é o débito volumétrico (volume por unidade de tempo), unidades \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1};
  • A é a área da seção reta, unidades \mathrm{m}^{2};
  • v é a velocidade média do fluido na seção, unidades \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Porque o fluido é incompressível e o escoamento é estacionário, o mesmo Q vale em toda seção do tubo, isto é:
A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}.
Aqui v_{1} é a velocidade antes do estrangulamento (é v_{0} do enunciado) e v_{2} é a velocidade na seção estrangulada.

Passo 3

Calcular o débito volumétrico usando a seção inicial e a velocidade inicial. Peguei A_{1}=2,0\\ \mathrm{m}^{2} e v_{1}=v_{0}=0,9\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} do enunciado.
Q = A_{1} v_{1} = (2,0\\ \mathrm{m}^{2})(0,9\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}) = 1,8\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}.
Explicando: multiplicar área por velocidade dá volume por tempo, portanto 1,8\\ \mathrm{m}^{3} passam por qualquer seção a cada segundo.

Passo 4

Usar Q para encontrar a nova velocidade v_{2} na seção A_{2}=0,8\\ \mathrm{m}^{2}. Aplicando v_{2}=Q/A_{2}:
v_{2} = \frac{Q}{A_{2}} = \frac{1,8\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}}{0,8\\ \mathrm{m}^{2}} = 2,25\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Como a área diminuiu, a velocidade aumentou para manter o mesmo débito volumétrico.

Passo 5

(Verificação alternativa — usar diretamente a relação de continuidade) A partir de A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}, isolando v_{2}:
v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}} v_{1}.
Calculando:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{2,0}{0,8}=2,5, \qquad v_{2}=2,5\cdot 0,9=2,25\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Confere com o resultado do passo anterior.

Resposta

v_{2}=2,25\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}

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