Para (x,y)\neq(0,0) a fórmula é \dfrac{x^{150}y}{x^{300}+y^{2}}.
O que precisamos verificar (claramente): f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.]
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (calminha, eu tô contigo): para funções de duas variáveis, a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) significa que, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (reta, curva, parábola, o que for), o valor de f(x,y) deve tender ao mesmo número. Uma técnica prática e muito usada na prova é: se eu encontro dois caminhos que levam a limites diferentes, então o limite não existe e, logo, f não é contínua no ponto.
Vou usar essa técnica de comparar limites por caminhos, porque aqui é bem eficaz: dá para escolher caminhos que façam os expoentes se “cancelarem” e produzir valores constantes distintos.
Passo 3
Escolho a família de caminhos dada por
y=k\,x^{150},
onde k é um número real fixo. Justificativa rápida: para x\to0 temos y=kx^{150}\to0, então esses caminhos realmente se aproximam de (0,0). Agora substituo essa relação na expressão de f (valendo para (x,y)\neq(0,0)).
Agora tome x\to0 mantendo a relação y=kx^{150}. A expressão encontrada não depende de x, então o limite ao longo desse caminho é simplesmente
\lim_{x\to0} f(x,kx^{150})=\frac{k}{1+k^{2}}.
Note que esse valor depende de k. Isso é essencial: varrendo valores de k obtém-se diferentes limites ao aproximar (0,0) por curvas distintas da família.
Passo 5
Exemplos numéricos para ver que realmente dá limites diferentes:
Se k=0 (ou seja, caminho y=0), então \dfrac{k}{1+k^{2}}=0.
Se k=1 (caminho y=x^{150}), então \dfrac{k}{1+k^{2}}=\dfrac{1}{2}.
Como os dois limites são diferentes (0 e \tfrac{1}{2}), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Logo não é igual a f(0,0)=0 de forma única.
Passo 6
Conclusão óbvia e direta: existe dependência do caminho, portanto o limite não existe e f não é contínua em (0,0). Fica a dica amigável: quando vir potências altas assim, procurar curvas do tipo y proporcional a x^{\text{metade do expoente}} costuma dar cancelamentos elegantes — foi exatamente o que aconteceu aqui.