Considere a função
Calcule
a)
.
c)
.
c)
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede três coisas:
- (a) calcular
(limite quando se aproxima de pela esquerda); - (b) calcular
(limite quando se aproxima de pela direita); - (c) calcular
(o limite bilateral em ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função muda de expressão exatamente em
. - Para valores menores que
usa-se . - Para valores maiores ou iguais a
usa-se .]
Passo 2
Entendendo o que significa a notação do limite à esquerda:
significa que olhamos valores de
para
que se aproximam de
mas ficando sempre com
. Logo, para esse limite devemos usar a expressão da função válida quando
, que é
.
Uma observação prática e muito útil: polinômios (como
) são funções contínuas em todo
. Para uma função contínua, o limite quando
tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, faz-se substituição). Então podemos calcular
Passo 3
Calculando a expressão do passo anterior por substituição:
Portanto o limite pela esquerda é
.
(Dica didática: a razão pela qual substituímos
diretamente é que
não tem nenhum problema de definição nem comportamento estranho perto de
; é contínua.)
Passo 4
Agora a notação
significa aproximar
de
por valores maiores que
(ou seja,
). Para esses
usamos a expressão
, porque ela vale para
. Assim
Passo 5
A função
é um polinômio de grau 1 (uma função linear) e, como polinômio, também é contínua. Podemos, portanto, aplicar substituição direta:
Logo o limite pela direita é
.
Passo 6
Para que o limite bilateral
exista, é necessário e suficiente que os limites laterais pela esquerda e pela direita sejam iguais:
Aqui encontramos
e
, que são valores diferentes. Portanto o limite bilateral não existe (às vezes escrevemos
não existe, ou
é inexistente).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)