Considere a função f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2}+1 & \text { se } x<2 \\\\ -2 x-3 & \text { se } x \geq 2\end{cases}

Calcule

a) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)\]. b) \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x).
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1 & \text{se } x<2,\\[4pt] -2x-3 & \text{se } x\ge 2,\end{cases}
e pede três coisas:
  • (a) calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x) (limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda);
  • (b) calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x) (limite quando x se aproxima de 2 pela direita);
  • (c) calcular \lim_{x\to 2} f(x) (o limite bilateral em 2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função muda de expressão exatamente em x=2.
  • Para valores menores que 2 usa-se f(x)=x^{2}+1.
  • Para valores maiores ou iguais a 2 usa-se f(x)=-2x-3.]

Passo 2

Entendendo o que significa a notação do limite à esquerda: \lim_{x\to 2^{-}} f(x) significa que olhamos valores de f(x) para x que se aproximam de 2 mas ficando sempre com x<2. Logo, para esse limite devemos usar a expressão da função válida quando x<2, que é x^{2}+1.
Uma observação prática e muito útil: polinômios (como x^{2}+1) são funções contínuas em todo \mathbf{R}. Para uma função contínua, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, faz-se substituição). Então podemos calcular
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (x^{2}+1).

Passo 3

Calculando a expressão do passo anterior por substituição:
\lim_{x\to 2^{-}} (x^{2}+1)=2^{2}+1=4+1=5.
Portanto o limite pela esquerda é \,5.
(Dica didática: a razão pela qual substituímos x=2 diretamente é que x^{2}+1 não tem nenhum problema de definição nem comportamento estranho perto de 2; é contínua.)

Passo 4

Agora a notação \lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa aproximar x de 2 por valores maiores que 2 (ou seja, x>2). Para esses x usamos a expressão f(x)=-2x-3, porque ela vale para x\ge 2. Assim
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (-2x-3).

Passo 5

A função -2x-3 é um polinômio de grau 1 (uma função linear) e, como polinômio, também é contínua. Podemos, portanto, aplicar substituição direta:
\lim_{x\to 2^{+}} (-2x-3) = -2\cdot 2 - 3 = -4 - 3 = -7.
Logo o limite pela direita é -7.

Passo 6

Para que o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) exista, é necessário e suficiente que os limites laterais pela esquerda e pela direita sejam iguais:
\lim_{x\to 2} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5 e \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-7, que são valores diferentes. Portanto o limite bilateral não existe (às vezes escrevemos \lim_{x\to 2} f(x) não existe, ou \lim_{x\to 2} f(x) é inexistente).

Resposta

(a) \;5
(b) -7
(c) \text{não existe}ã

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