Considere
I=\int_{1}^{3} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{2} d x
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
a) Estime I usando a regra de Simpson e a regra dos Trapézios, dividindo o intervalo em n=4 subintervalos. Utilize um método em dois subintervalos e o outro método nos dois subintervalos restantes.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
I=\int_{1}^{3}\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}\,dx
dividindo o intervalo [1,3] em n=4 subintervalos com
h=\frac{3-1}{4}=0,5.
A instrução adicional é: aplicar a regra de Simpson em dois subintervalos (ou seja, sobre um bloco de comprimento 2h) e aplicar a regra dos trapézios nos dois subintervalos restantes (outro bloco de comprimento 2h).\n
Informações relevantes dadas:
h=0,5,\qquad n=4,\qquad \text{intervalo }[1,3].
Esta é toda a informação necessária para começar a estimativa.

Passo 2

Primeiro listamos os pontos da malha (os nós) gerados por h=0,5:
x_0=1, \quad x_1=1,5, \quad x_2=2, \quad x_3=2,5, \quad x_4=3.
Vou escolher aplicar a regra de Simpson no primeiro bloco de dois subintervalos [1,2] (i.e. sobre x_0,x_1,x_2) e aplicar a regra dos trapézios no segundo bloco [2,3] (i.e. sobre x_2,x_3,x_4). Essa escolha é natural e válida porque Simpson exige um número par de subintervalos (aqui 2) e os trapézios funcionam para qualquer partição.

Passo 3

Definimos a função integranda
f(x)=\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}.
Calculamos f nos nós (valores numéricos aproximados — usei uma calculadora para as funções trigonométricas; apresento 9 casas para transparência):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(1)=\frac{\cos(1^{2})}{2}=\frac{\cos(1)}{2}\approx 0,270151153,\\[4pt] f(x_1)&=f(1,5)=\frac{\cos(1{,}5^{2})}{2}=\frac{\cos(2{,}25)}{2}\approx -0,314086811,\\[4pt] f(x_2)&=f(2)=\frac{\cos(2^{2})}{2}=\frac{\cos(4)}{2}\approx -0,326821810,\\[4pt] f(x_3)&=f(2,5)=\frac{\cos(2{,}5^{2})}{2}=\frac{\cos(6{,}25)}{2}\approx 0,499724539,\\[4pt] f(x_4)&=f(3)=\frac{\cos(3^{2})}{2}=\frac{\cos(9)}{2}\approx -0,455565131. \end{aligned}]

Passo 4

Relembrando a regra de Simpson (para dois subintervalos, com passo h): \text{Simpson sobre }[x_0,x_2]:\quad S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Explicação rápida: Simpson aproxima a função por um polinômio quadrático que passa pelos três pontos x_0,x_1,x_2; a fórmula acima é o resultado desse ajuste (não precisa decorarmos a demonstração agora, mas é útil saber a forma).

Passo 5

Aplicando Simpson no bloco [1,2] (com h=0,5, x_0=1,x_1=1{,}5,x_2=2):
\begin{aligned} S_{[1,2]}&=\frac{0,5}{3}\bigl(f(1)+4f(1{,}5)+f(2)\bigr) \\\ &=\frac{0,5}{3}\bigl(0,270151153+4(-0,314086811)+(-0,326821810)\bigr). \end{aligned}
Agora a conta interna:
0,270151153+4(-0,314086811)+(-0,326821810)= -1,313017902.
Multiplicando por 0,5/3=1/6:
S_{[1,2]}=\frac{1}{6}\cdot(-1,313017902)\approx -0,218836317.

Passo 6

Agora a regra compost a dos trapézios para dois subintervalos: para nós x_2,x_3,x_4 com passo h,
\text{Trapézios sobre }[x_2,x_4]:\quad T=h\Bigl(\frac{1}{2}f(x_2)+f(x_3)+\frac{1}{2}f(x_4)\Bigr).é
Explicação rápida: o método dos trapézios aproxima a curva por segmentos lineares entre nós; a fórmula composta soma as áreas dos trapézios formados.

Passo 7

Aplicando trapézios no bloco [2,3] (com h=0,5):
\begin{aligned} T_{[2,3]}&=0,5\Bigl(\tfrac{1}{2}f(2)+f(2{,}5)+\tfrac{1}{2}f(3)\Bigr)\\[4pt] &=0,5\Bigl(\tfrac{1}{2}(-0,326821810)+0,499724539+\tfrac{1}{2}(-0,455565131)\Bigr). \end{aligned}
Calculamos a soma interna:
\tfrac{1}{2}(-0,326821810)+0,499724539+\tfrac{1}{2}(-0,455565131)=0,108531068.
Multiplicando por 0,5:
T_{[2,3]}\approx 0,5\cdot 0,108531068=0,054265534.]

Passo 8

Somamos as duas contribuições (Simpson no primeiro bloco e trapézios no segundo) para obter a estimativa final:
\begin{aligned} I\approx S_{[1,2]}+T_{[2,3]}&\approx -0,218836317 + 0,054265534\\[4pt] &\approx -0,164570783. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente (6 casas decimais) temos -0,164571.\n
Observação rápida e incentivadora: deu trabalho, eu sei — mas a ideia é sempre dividir em blocos, aplicar a fórmula que cabe no bloco e somar. Se quiser, a gente pode também calcular a combinação oposta (trapézios em [1,2] e Simpson em [2,3]) para comparar; isso dá uma estimativa um pouco diferente.]

Resposta

-0,164571

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