Considere
I=\int_{1}^{3} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{2} d x
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
c) Transforme a integral para o intervalo [ -1,1 ] e aplique a quadratura gaussiana com 2 pontos (usando w_{1}=w_{2}=1 e x_{1}=-1 / \sqrt{3}, x_{2}=1 / \sqrt{3} ). Dica: utilize a mudança de variável
No N
x=\frac{b-a}{2} t+\frac{a+b}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: transformar a integral
I=\int_{1}^{3}\frac{\cos\!\left(x^{2}\right)}{2}\,dx
para o intervalo [-1,1] usando a mudança de variável fornecida e, em seguida, aplicar a quadratura gaussiana com 2 pontos (pesos w_{1}=w_{2}=1 e nós x_{1}=-1/\sqrt{3},\,x_{2}=1/\sqrt{3}). Informações dadas e importantes para a resolução: a=1, b=3, a mudança de variável
x=\frac{b-a}{2}\,t+\frac{a+b}{2},
os nós da quadratura em t são t_{1}=-1/\sqrt{3} e t_{2}=1/\sqrt{3} com pesos 1, e a integral original tem o fator 1/2 multiplicando \cos(x^{2}). A missão é: (i) escrever a integral em [-1,1] e (ii) aproximá-la pelo método de Gauss-2 pontos.

Passo 2

Aplicando a mudança de variável com a=1 e b=3. Calculemos os parâmetros:
\frac{b-a}{2}=\frac{3-1}{2}=1,\qquad \frac{a+b}{2}=\frac{1+3}{2}=2.
Logo a transformação é simplesmente
x=t+2,
e
dx=\frac{b-a}{2}\,dt=1\cdot dt=dt.
Como x( -1)= -1+2=1 e x(1)=1+2=3, os limites ficam t\in[-1,1]. Substituindo na integral,
I=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos\!\big((t+2)^{2}\big)\,dt.

Passo 3

Preparando a aplicação da quadratura gaussiana de 2 pontos. A regra de Gauss para dois pontos no intervalo [-1,1] diz
\int_{-1}^{1}g(t)\,dt\approx \sum_{i=1}^{2}w_{i}\,g(t_{i})
com w_{1}=w_{2}=1 e t_{1}=-1/\sqrt{3},\,t_{2}=1/\sqrt{3}. No nosso caso g(t)=\cos\!\big((t+2)^{2}\big), portanto a aproximação é
I\approx \frac{1}{2}\Big(g(t_{1})+g(t_{2})\Big) =\frac{1}{2}\Big(\cos\!\big((t_{1}+2)^{2}\big)+\cos\!\big((t_{2}+2)^{2}\big)\Big).

Passo 4

Para simplificar a avaliação, calculemos (t+2)^{2} simbolicamente antes de substituir t_{1},t_{2}. Expandindo,
(t+2)^{2}=t^{2}+4t+4.
Como t_{i}=\pm 1/\sqrt{3} temos t_{i}^{2}=1/3. Portanto para os dois nós
(t+2)^{2}= \frac{1}{3} +4t +4 = \frac{13}{3}+4t.
Assim os argumentos do cosseno ficam, de forma exata,
\text{para }t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}:\quad (t_{1}+2)^{2}=\frac{13}{3}-\frac{4}{\sqrt{3}},
\text{para }t_{2}= \frac{1}{\sqrt{3}}:\quad (t_{2}+2)^{2}=\frac{13}{3}+\frac{4}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora avaliamos numericamente os argumentos (uso arredondamento decente para facilitar cálculos manuais):
\frac{13}{3}\approx 4,3333333333,\qquad \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5773502692,
\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 4\cdot 0,5773502692\approx 2,3094010768.
Portanto
(t_{1}+2)^{2}\approx 4,3333333333-2,3094010768=2,0239322565,
(t_{2}+2)^{2}\approx 4,3333333333+2,3094010768=6,6427344101.

Passo 6

Avaliando os cossenos desses argumentos. Para u_{1}=2,0239322565 e u_{2}=6,6427344101 obtemos (aplicando identidades de período e aproximações numéricas):
\cos(u_{1})=\cos(2,0239322565)\approx -0,4377778,
\cos(u_{2})=\cos(6,6427344101)=\cos(6,6427344101-2\pi)=\cos(0,3595491028)\approx 0,9360737.
(Explicação curta de como obter \cos(u_{2}): como 2\pi\approx 6,283185307, subtrai-se 2\pi de u_{2} para trazer o ângulo ao intervalo [0,2\pi) e, em seguida, usa-se aproximação numérica do cosseno nessa pequena magnitude.)

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da quadratura:
I\approx \frac{1}{2}\big(-0,4377778+0,9360737\big) =\frac{1}{2}\cdot 0,4982959\approx 0,24914795.
Arredondando razoavelmente para apresentação final, obtemos I\approx 0,24915.

Resposta

I\approx 0,24915

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