Considere
c) Transforme a integral para o intervalo [
] e aplique a quadratura gaussiana com 2 pontos (usando
e
). Dica: utilize a mudança de variável
No
No
Passo 1
O que o enunciado pede: transformar a integral
para o intervalo
usando a mudança de variável fornecida e, em seguida, aplicar a quadratura gaussiana com 2 pontos (pesos
e nós
). Informações dadas e importantes para a resolução:
,
, a mudança de variável
os nós da quadratura em
são
e
com pesos
, e a integral original tem o fator
multiplicando
. A missão é: (i) escrever a integral em
e (ii) aproximá-la pelo método de Gauss-2 pontos.
Passo 2
Aplicando a mudança de variável com
e
. Calculemos os parâmetros:
Logo a transformação é simplesmente
e
Como
e
, os limites ficam
. Substituindo na integral,
Passo 3
Preparando a aplicação da quadratura gaussiana de 2 pontos. A regra de Gauss para dois pontos no intervalo
diz
com
e
. No nosso caso
, portanto a aproximação é
Passo 4
Para simplificar a avaliação, calculemos
simbolicamente antes de substituir
. Expandindo,
Como
temos
. Portanto para os dois nós
Assim os argumentos do cosseno ficam, de forma exata,
Passo 5
Agora avaliamos numericamente os argumentos (uso arredondamento decente para facilitar cálculos manuais):
Portanto
Passo 6
Avaliando os cossenos desses argumentos. Para
e
obtemos (aplicando identidades de período e aproximações numéricas):
(Explicação curta de como obter
: como
, subtrai-se
de
para trazer o ângulo ao intervalo
e, em seguida, usa-se aproximação numérica do cosseno nessa pequena magnitude.)
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula da quadratura:
Arredondando razoavelmente para apresentação final, obtemos
.