I=\int_{1}^{3} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{2} d x
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
b) Determine quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta obtenha precisão melhor do que 10^{-6}. Não é necessário calcular a integral. Utilize a fórmula do erro:
e considere que \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 50 para x \in[1,3].
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantos pontos (isto é, quantos subintervalos n) são necessários para que a regra dos trapézios composta tenha erro de aproximação com magnitude menor que 10^{-6}. As informações dadas são:
(observação: aqui o enunciado mostrou um exemplo com n=4, mas a pergunta pede escolher n para garantir precisão melhor que 10^{-6}). Foi dada a fórmula do erro para a regra dos trapézios composta:
Aqui E é o erro da fórmula dos trapézios composta (diferença entre integral exata e aproximação).
(b-a) é o comprimento do intervalo de integração; no nosso caso a=1 e b=3, logo (b-a)=2.
n é o número de subintervalos (pontos de partição menos 1) que queremos determinar.
f^{\prime\prime}(\xi) é a segunda derivada do integrando avaliada em algum ponto \xi\in[a,b]. Não sabemos \xi mas foi dado que \left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50 em todo o intervalo, então podemos usar esse máximo para obter uma cota superior para \left|E\right|.
Essa técnica é padrão: substituir f^{\prime\prime}(\xi) por o máximo absoluto conhecido para garantir que o erro real está abaixo da cota obtida.
Passo 3
Usando a desigualdade para obter uma cota superior do módulo do erro, temos: