Considere
I=\int_{1}^{3} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{2} d x
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
b) Determine quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta obtenha precisão melhor do que 10^{-6}. Não é necessário calcular a integral. Utilize a fórmula do erro:
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12 n^{2}} f^{\prime \prime}(\xi)
e considere que \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 50 para x \in[1,3].

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos pontos (isto é, quantos subintervalos n) são necessários para que a regra dos trapézios composta tenha erro de aproximação com magnitude menor que 10^{-6}. As informações dadas são:
I=\int_{1}^{3}\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}\,dx,
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
(observação: aqui o enunciado mostrou um exemplo com n=4, mas a pergunta pede escolher n para garantir precisão melhor que 10^{-6}). Foi dada a fórmula do erro para a regra dos trapézios composta:
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}f^{\prime\prime}(\xi)
e a estimativa do tamanho da segunda derivada:
\left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50\quad\text{para }x\in[1,3].
A condição a impor é \left|E\right|<10^{-6}.

Passo 2

Vamos interpretar a fórmula do erro e o que cada símbolo significa:
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}f^{\prime\prime}(\xi).
  • Aqui E é o erro da fórmula dos trapézios composta (diferença entre integral exata e aproximação).
  • (b-a) é o comprimento do intervalo de integração; no nosso caso a=1 e b=3, logo (b-a)=2.
  • n é o número de subintervalos (pontos de partição menos 1) que queremos determinar.
  • f^{\prime\prime}(\xi) é a segunda derivada do integrando avaliada em algum ponto \xi\in[a,b]. Não sabemos \xi mas foi dado que \left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50 em todo o intervalo, então podemos usar esse máximo para obter uma cota superior para \left|E\right|.
    Essa técnica é padrão: substituir f^{\prime\prime}(\xi) por o máximo absoluto conhecido para garantir que o erro real está abaixo da cota obtida.

Passo 3

Usando a desigualdade para obter uma cota superior do módulo do erro, temos:
\left|E\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\max_{x\in[a,b]}\left|f^{\prime\prime}(x)\right|.
Substituindo (b-a)=2 e a estimativa \max\left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50, obtemos
\left|E\right|\le \frac{2^{3}}{12\,n^{2}}\cdot 50.

Passo 4

Calculemos numericamente a expressão acima. Primeiro simplificamos os fatores:
2^{3}=8,
então
\left|E\right|\le \frac{8\cdot 50}{12\,n^{2}}=\frac{400}{12\,n^{2}}=\frac{100}{3\,n^{2}}.
Portanto uma cota prática para o erro é
\left|E\right|\le \frac{100}{3\,n^{2}}.

Passo 5

Impondo a condição desejada \left|E\right|<10^{-6}, resolvemos a desigualdade para n:
\frac{100}{3\,n^{2}}<10^{-6}.
Multiplicando ambos os lados por 3\,n^{2} e dividindo por 10^{-6} (positivo) obtemos
n^{2}>\frac{100}{3}\cdot\frac{1}{10^{-6}}=\frac{100}{3}\cdot 10^{6}=\frac{10^{8}}{3}.

Passo 6

Agora extraímos raiz quadrada para encontrar n:
n>\sqrt{\frac{10^{8}}{3}}=\frac{10^{4}}{\sqrt{3}}.
Calculando numericamente,
\frac{10^{4}}{\sqrt{3}}\approx\frac{10000}{1,73205\ldots}\approx 5773{,}5027\ldots
Como n deve ser um inteiro (número de subintervalos), devemos tomar o próximo inteiro maior para garantir a desigualdade.

Passo 7

Arredondando por excesso obtemos
n=5774.
Observação: a regra dos trapézios composta não exige que n seja par; apenas tomamos o menor inteiro que satisfaz a cota.

Resposta

n=5774

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