Considere
I=\int_{1}^{3} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{2} d x
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=0,5
a) Estime I usando a regra de Simpson e a regra dos Trapézios, dividindo o intervalo em n=4 subintervalos. Utilize um método em dois subintervalos e o outro método nos dois subintervalos restantes.
b) Determine quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta obtenha precisão melhor do que 10^{-6}. Não é necessário calcular a integral. Utilize a fórmula do erro:
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12 n^{2}} f^{\prime \prime}(\xi)
e considere que \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 50 para x \in[1,3].
c) Transforme a integral para o intervalo [ -1,1 ] e aplique a quadratura gaussiana com 2 pontos (usando w_{1}=w_{2}=1 e x_{1}=-1 / \sqrt{3}, x_{2}=1 / \sqrt{3} ). Dica: utilize a mudança de variável
No N
x=\frac{b-a}{2} t+\frac{a+b}{2}
d) Qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação aos métodos de Newton-Cotes quando se utiliza o mesmo número de avaliações de função?
\begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) & =A_{0} \cdot f\left(x_{0}\right)+A_{1} \cdot f\left(x_{1}\right) \\\ & =\frac{1 \cdot \cos \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}{2}+1 \cdot \cos \left(\frac{+1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\\\ 2 & \cos \frac{1}{3}= \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{1}^{3}\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}\,dx
e informa que o intervalo [1,3] será dividido em n=4 subintervalos, portanto
h=\frac{3-1}{4}=0{,}5.
As perguntas são:
a) Estimar I aplicando a regra de Simpson em dois subintervalos e a regra dos trapézios nos dois subintervalos restantes (ou seja: um dos métodos em [1,2] e o outro em [2,3]).
b) Determinar quantos pontos n são necessários para que a regra dos trapézios composta tenha erro absoluto menor que 10^{-6}, usando a fórmula do erro
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}f^{\prime\prime}(\xi)
e sabendo que \left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50 em [1,3].
c) Usar a mudança de variável
x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2}
para transformar a integral para [-1,1] e aplicar a quadratura de Gauss com 2 pontos, usando w_{1}=w_{2}=1 e t_{1}=-1/\sqrt{3},\;t_{2}=+1/\sqrt{3}.
d) Explicar qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação a métodos de Newton–Cotes quando se usa o mesmo número de avaliações da função.
Vou resolver passo a passo, mostrando as fórmulas, explicando cada símbolo e fazendo as contas detalhadas.

Passo 2

Preparação: vamos definir a função integranda em termos usuais. Seja
f(x)=\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}.
Queremos os valores de f nos nós do particionamento com h=0{,}5. Os nós são
x_0=1{,}0,\; x_1=1{,}5,\; x_2=2{,}0,\; x_3=2{,}5,\; x_4=3{,}0.
Agora calculamos f(x_i)=\dfrac{\cos(x_i^2)}{2} para cada nó (vou mostrar de forma clara os passos de cálculo numérico):
  • x_0=1{,}0. Então x_0^2=1. Logo
    f(x_0)=\frac{\cos(1)}{2}\approx\frac{0{,}5403023059}{2}=0{,}2701511529.
  • x_1=1{,}5. Então x_1^2=2{,}25. Logo (usando \cos(2{,}25)\approx -0{,}629887994)
    f(x_1)=\frac{\cos(2{,}25)}{2}\approx\frac{-0{,}629887994}{2}=-0{,}3149439970.
  • x_2=2{,}0. Então x_2^2=4. Usamos \cos(4)\approx -0{,}6536436209:
    f(x_2)=\frac{\cos(4)}{2}\approx -0{,}3268218104.
  • x_3=2{,}5. Então x_3^2=6{,}25. Notando que 2\pi\approx 6{,}283185307, 6{,}25 está próximo de 2\pi-0{,}033185307, portanto \cos(6{,}25)\approx\cos(0{,}033185)\approx 0{,}99944945. Assim
    f(x_3)=\frac{\cos(6{,}25)}{2}\approx\frac{0{,}99944945}{2}=0{,}4997247247.
  • x_4=3{,}0. Então x_4^2=9. Usamos \cos(9)\approx -0{,}9111302619:
    f(x_4)=\frac{\cos(9)}{2}\approx -0{,}4555651309.
Resumo dos valores (aproximações):
\begin{aligned} f(x_0)&\approx 0{,}2701511529,\\\ f(x_1)&\approx -0{,}3149439970,\\\ f(x_2)&\approx -0{,}3268218104,\\\ f(x_3)&\approx 0{,}4997247247,\\\ f(x_4)&\approx -0{,}4555651309. \end{aligned}
Agora aplicamos os métodos conforme pedido: vou usar a regra de Simpson em [1,2] (dois subintervalos x_0,x_1,x_2) e a regra dos trapézios composta em [2,3] (dois subintervalos x_2,x_3,x_4).
Regra de Simpson (em dois subintervalos): para subintervalo de largura h e nós a,b com ponto médio, a fórmula é
S=\frac{h}{3}\bigl(f(a)+4f(\text{médio})+f(b)\bigr).é
Aqui, sobre [1,2] temos h=0{,}5, a=x_0, médio x_1, b=x_2. Então
S_{[1,2]}=\frac{0{,}5}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)&\approx 0{,}2701511529+4(-0{,}3149439970)+(-0{,}3268218104)\\\ &=0{,}2701511529-1{,}2597759880-0{,}3268218104\\\ &\approx -1{,}3164466455. \end{aligned}
Multiplicando por 0{,}5/3=1/6:
S_{[1,2]}\approx \frac{-1{,}3164466455}{6}\approx -0{,}2194077743.
Regra dos trapézios composta (em dois subintervalos): fórmula composta com passo h para três nós x_2,x_3,x_4 é
T_{[2,3]}=\frac{h}{2}\bigl(f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\bigr).
Com h=0{,}5:
\begin{aligned} f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)&\approx -0{,}3268218104+2(0{,}4997247247)+(-0{,}4555651309)\\\ &=-0{,}3268218104+0{,}9994494494-0{,}4555651309\\\ &\approx 0{,}2170625081. \end{aligned}
Então
T_{[2,3]}=\frac{0{,}5}{2}\cdot 0{,}2170625081=0{,}25\cdot 0{,}2170625081\approx 0{,}0542656270.
Somando as contribuições dos dois subintervalos (Simpson em [1,2] + Trapézio em [2,3]):
I_{\text{estimado}} \approx S_{[1,2]} + T_{[2,3]}\approx -0{,}2194077743 + 0{,}0542656270 = -0{,}1651421473.
Observação didática curta sobre as fórmulas usadas:
  • A regra do trapézio aproxima a área sob cada subintervalo por um trapézio; a fórmula para um único trapézio sobre [x_{i},x_{i+1}] é \dfrac{h}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1})). Composta, somam-se essas áreas e obtém-se a fórmula acima com os coeficientes 1,2,\dots,2,1.
  • A regra de Simpson usa uma parábola que interpola três pontos f(a),f(m),f(b); sua fórmula sobre dois subintervalos é \dfrac{h}{3}(f(a)+4f(m)+f(b)). Simpson exige número par de subintervalos no bloco onde é aplicada.

Passo 3

Parte (b): erro da regra dos trapézios composta.
Fórmula do enunciado (erro para a regra dos trapézios composta):
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}f^{\prime\prime}(\xi),
para algum \xi\in[a,b]. Em valor absoluto, e usando o máximo dado \left|f^{\prime\prime}(x)\right|\le 50, temos
|E|\le \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}\cdot 50.
Aqui a=1,\;b=3, então b-a=2. Substituindo:
|E|\le \frac{2^{3}}{12n^{2}}\cdot 50=\frac{8\cdot 50}{12n^{2}}=\frac{400}{12n^{2}}=\frac{100}{3n^{2}}.
Queremos |E|<10^{-6}. Logo exigimos
\frac{100}{3n^{2}}<10^{-6}.
Isolando n^{2}:
n^{2}>\frac{100}{3\cdot 10^{-6}}=\frac{100}{3\times 10^{-6}}=\frac{100}{3}\times 10^{6}\approx 33{,}333{,}333{,}3.
Tomando raiz quadrada:
n>\sqrt{33{,}333{,}333{,}3}\approx 5{,}773{,}502.
Como n deve ser um inteiro (número de subintervalos), tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja
n=5{,}774.
Portanto, são necessários pelo menos n=5{,}774 subintervalos para garantir erro absoluto menor que 10^{-6} usando o limite dado (na prática arredonda-se para cima e toma-se n=5{,}774).

Passo 4

Parte (c): transformação para o intervalo [-1,1] e aplicação da quadratura de Gauss com 2 pontos.
Mudança de variável padrão (com a=1,\;b=3):
x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2}.
Como b-a=2 e (a+b)/2=2, obtemos
x=t+2,\qquad dx=dt.
Os limites: quando t=-1 temos x=1; quando t=1 temos x=3. Logo a integral transforma-se em
I=\int_{1}^{3}\frac{\cos(x^{2})}{2}\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{\cos\bigl((t+2)^{2}\bigr)}{2}\,dt.
Definindo g(t)=\dfrac{\cos\bigl((t+2)^{2}\bigr)}{2}, a quadratura de Gauss com 2 pontos (pesos w_1=w_2=1, nós t_1=-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;t_2=+\dfrac{1}{\sqrt{3}}) dá a aproximação
I\approx g(t_1)+g(t_2).
Vamos calcular g(t_1) e g(t_2). Para abreviar, defina s=\dfrac{1}{\sqrt{3}} (ou seja s\approx 0{,}5773502692). Então
t_1=-s,\quad t_2=+s.
Os pontos em x correspondentes são
x_1=t_1+2=2-s,\qquad x_2=t_2+2=2+s.
Cálculo de x_1^{2} e x_2^{2} usando álgebra exata:
\begin{aligned} x_1^{2}&=(2-s)^{2}=4-4s+s^{2}=4-4s+\frac{1}{3},\\\ x_2^{2}&=(2+s)^{2}=4+4s+s^{2}=4+4s+\frac{1}{3}, \end{aligned}
pois s^{2}=1/3.
Agora avaliamos g(t)=\dfrac{\cos((t+2)^{2})}{2} em t_1,t_2:
  • Para t_1=-s:
    g(t_1)=\frac{1}{2}\cos\bigl(x_1^{2}\bigr)=\frac{1}{2}\cos\!\bigl(4-4s+\tfrac{1}{3}\bigr).
    Numericamente, com s\approx 0{,}5773502692:
    x_1^{2}\approx 4-4(0{,}5773502692)+0{,}3333333333=2{,}0239322566.
    Para avaliar \cos(2{,}0239322566) com boa precisão podemos usar a identidade \cos(2+\delta)=\cos 2\cos\delta-\sin 2\sin\delta com \delta\approx 0{,}0239322566. Usando valores conhecidos \cos 2\approx -0{,}4161468365 e \sin 2\approx 0{,}9092974268 e expandindo \cos\delta e \sin\delta em séries de pequeno ângulo (ou avaliando numericamente), obtemos
    \cos(x_1^{2})\approx -0{,}4377871\quad\Rightarrow\quad g(t_1)\approx -0{,}21889355.
  • Para t_2=+s:
    g(t_2)=\frac{1}{2}\cos\bigl(x_2^{2}\bigr)=\frac{1}{2}\cos\!\bigl(4+4s+\tfrac{1}{3}\bigr).
    Numericamente,
    x_2^{2}\approx 4+4(0{,}5773502692)+0{,}3333333333=6{,}6427344101.
    Observando que 2\pi\approx 6{,}2831853072, temos x_2^{2}\approx 2\pi+0{,}359549103, então
    \cos(x_2^{2})=\cos(2\pi+0{,}359549103)=\cos(0{,}359549103)\approx 0{,}9360350,
    e assim
    g(t_2)\approx \frac{0{,}9360350}{2}=0{,}46801750.
Somando as duas avaliações (pois w_1=w_2=1):
I_{\text{Gauss-2}} \approx g(t_1)+g(t_2)\approx -0{,}21889355 + 0{,}46801750 = 0{,}24912395.
Comentário didático curto sobre o cálculo: eu usei expressões algébricas para x_i^2 que evitam arredondamentos desnecessários (por exemplo, s^2=1/3 exato), e avaliei os cossenos numericamente usando identidades trigonométricas para conseguir precisão razoável sem uma calculadora direta de alta precisão.

Passo 5

Parte (d) — vantagem principal da quadratura gaussiana:
A vantagem principal é que, para um dado número n de avaliações da função (ou seja, n pontos), a quadratura de Gauss escolhe nós e pesos de forma ótima e tem grau de exatidão máximo possível: com n pontos de Gauss a fórmula é exata para todo polinômio de grau até 2n-1. Em contraste, as fórmulas de Newton–Cotes (como trapézio, Simpson, etc.), que usam nós igualmente espaçados, têm grau de exatidão menor para o mesmo número de avaliações e, além disso, podem sofrer problemas de estabilidade (especialmente para muitos nós). Em palavras simples: com o mesmo número de avaliações da função, Gauss costuma ser muito mais preciso para funções suaves porque maximiza a ordem de exatidão.

Resposta

(a) Estimativa mista (Simpson em [1,2] e Trapézio em [2,3]): -0{,}1651421473
(b) Número de subintervalos necessários: n=5{,}774 (arredondando para cima)
(c) Quadratura de Gauss (2 pontos) após mudança de variável: 0{,}24912395
(d) Vantagem principal: para o mesmo número n de avaliações, a quadratura gaussiana tem grau de exatidão maior (exata para polinômios até grau 2n-1), logo costuma ser bem mais precisa que Newton–Cotes.

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