Considere
a) Estime
usando a regra de Simpson e a regra dos Trapézios, dividindo o intervalo em
subintervalos. Utilize um método em dois subintervalos e o outro método nos dois subintervalos restantes.
b) Determine quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta obtenha precisão melhor do que
. Não é necessário calcular a integral. Utilize a fórmula do erro:
e considere que
para
.
c) Transforme a integral para o intervalo [
] e aplique a quadratura gaussiana com 2 pontos (usando
e
). Dica: utilize a mudança de variável
No
d) Qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação aos métodos de Newton-Cotes quando se utiliza o mesmo número de avaliações de função?
b) Determine quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta obtenha precisão melhor do que
c) Transforme a integral para o intervalo [
No
Passo 1
O enunciado dá a integral
e informa que o intervalo
será dividido em
subintervalos, portanto
As perguntas são:
a) Estimar aplicando a regra de Simpson em dois subintervalos e a regra dos trapézios nos dois subintervalos restantes (ou seja: um dos métodos em
e o outro em
).
b) Determinar quantos pontos são necessários para que a regra dos trapézios composta tenha erro absoluto menor que
, usando a fórmula do erro
a) Estimar
b) Determinar quantos pontos
e sabendo que
em
.
c) Usar a mudança de variável
c) Usar a mudança de variável
para transformar a integral para
e aplicar a quadratura de Gauss com 2 pontos, usando
e
.
d) Explicar qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação a métodos de Newton–Cotes quando se usa o mesmo número de avaliações da função.
d) Explicar qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação a métodos de Newton–Cotes quando se usa o mesmo número de avaliações da função.
Vou resolver passo a passo, mostrando as fórmulas, explicando cada símbolo e fazendo as contas detalhadas.
Passo 2
Preparação: vamos definir a função integranda em termos usuais. Seja
Queremos os valores de
nos nós do particionamento com
. Os nós são
Agora calculamos
para cada nó (vou mostrar de forma clara os passos de cálculo numérico):
-
. Então . Logo -
. Então . Logo (usando ) -
. Então . Usamos : -
. Então . Notando que , está próximo de , portanto . Assim -
. Então . Usamos :
Resumo dos valores (aproximações):
Agora aplicamos os métodos conforme pedido: vou usar a regra de Simpson em
(dois subintervalos
) e a regra dos trapézios composta em
(dois subintervalos
).
Regra de Simpson (em dois subintervalos): para subintervalo de largura
e nós
com ponto médio, a fórmula é
Aqui, sobre
temos
,
, médio
,
. Então
Substituindo os valores:
Multiplicando por
:
Regra dos trapézios composta (em dois subintervalos): fórmula composta com passo
para três nós
é
Com
:
Então
Somando as contribuições dos dois subintervalos (Simpson em
+ Trapézio em
):
Observação didática curta sobre as fórmulas usadas:
- A regra do trapézio aproxima a área sob cada subintervalo por um trapézio; a fórmula para um único trapézio sobre
é . Composta, somam-se essas áreas e obtém-se a fórmula acima com os coeficientes . - A regra de Simpson usa uma parábola que interpola três pontos
; sua fórmula sobre dois subintervalos é . Simpson exige número par de subintervalos no bloco onde é aplicada.
Passo 3
Parte (b): erro da regra dos trapézios composta.
Fórmula do enunciado (erro para a regra dos trapézios composta):
para algum
. Em valor absoluto, e usando o máximo dado
, temos
Aqui
, então
. Substituindo:
Queremos
. Logo exigimos
Isolando
:
Tomando raiz quadrada:
Como
deve ser um inteiro (número de subintervalos), tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja
Portanto, são necessários pelo menos
subintervalos para garantir erro absoluto menor que
usando o limite dado (na prática arredonda-se para cima e toma-se
).
Passo 4
Parte (c): transformação para o intervalo
e aplicação da quadratura de Gauss com 2 pontos.
Mudança de variável padrão (com
):
Como
e
, obtemos
Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Logo a integral transforma-se em
Definindo
, a quadratura de Gauss com 2 pontos (pesos
, nós
) dá a aproximação
Vamos calcular
e
. Para abreviar, defina
(ou seja
). Então
Os pontos em
correspondentes são
Cálculo de
e
usando álgebra exata:
pois
.
Agora avaliamos
em
:
-
Para
: Numericamente, com: Para avaliarcom boa precisão podemos usar a identidade com . Usando valores conhecidos e e expandindo e em séries de pequeno ângulo (ou avaliando numericamente), obtemos -
Para
: Numericamente,Observando que, temos , então e assim
Somando as duas avaliações (pois
):
Comentário didático curto sobre o cálculo: eu usei expressões algébricas para
que evitam arredondamentos desnecessários (por exemplo,
exato), e avaliei os cossenos numericamente usando identidades trigonométricas para conseguir precisão razoável sem uma calculadora direta de alta precisão.
Passo 5
Parte (d) — vantagem principal da quadratura gaussiana:
A vantagem principal é que, para um dado número
de avaliações da função (ou seja,
pontos), a quadratura de Gauss escolhe nós e pesos de forma ótima e tem grau de exatidão máximo possível: com
pontos de Gauss a fórmula é exata para todo polinômio de grau até
. Em contraste, as fórmulas de Newton–Cotes (como trapézio, Simpson, etc.), que usam nós igualmente espaçados, têm grau de exatidão menor para o mesmo número de avaliações e, além disso, podem sofrer problemas de estabilidade (especialmente para muitos nós). Em palavras simples: com o mesmo número de avaliações da função, Gauss costuma ser muito mais preciso para funções suaves porque maximiza a ordem de exatidão.
Resposta
(a) Estimativa mista (Simpson em
e Trapézio em
):
(b) Número de subintervalos necessários: (arredondando para cima)
(c) Quadratura de Gauss (2 pontos) após mudança de variável:
(d) Vantagem principal: para o mesmo número de avaliações, a quadratura gaussiana tem grau de exatidão maior (exata para polinômios até grau
), logo costuma ser bem mais precisa que Newton–Cotes.
(b) Número de subintervalos necessários:
(c) Quadratura de Gauss (2 pontos) após mudança de variável:
(d) Vantagem principal: para o mesmo número