Considere a integral dupla I=\int_{D} \int-6 x \cdot \operatorname{sen}\left(-2 y^{3}\right) d y d x
em que D é a região triangular delimitada pelas retas x=2 y, x=-3 y e y=6 para responder aos itens abaixo:
a) Tomando y como variável independente, I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i) y \in[0, 6 ]
ii) x \in [-3^{*} y , 2*y ].
b) Tomando x como variável independente, I deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral
i) x \in[ -18 ,0]
ii)
y \in[-x / 3, 6 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I=\iint_{D} -6 x \,\operatorname{sen}\!\bigl(-2 y^{3}\bigr)\,dy\,dx,
onde a região triangular D é limitada pelas retas x=2y, x=-3y e y=6.
O que se pede:
  • (a) Expressar I tomando y como variável independente (isto é, escrever como uma única integral dupla com dy interior e dx exterior ou, como o enunciado sugere, com dx interior e dy exterior dependendo da interpretação — aqui vamos tomar y como variável externa/independente, isto é integrar primeiro em x e depois em y).
  • (b) Expressar I tomando x como variável independente (ou seja, integrar primeiro em y e depois em x). O enunciado já deu a primeira parcela (para x\in[-18,0]); é preciso obter a soma completa (duas integrais) e justificar os limites.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Retas: x=2y e x=-3y equivalem a y=\dfrac{x}{2} e y=-\dfrac{x}{3}.
  • A reta horizontal superior é y=6.
  • Os vértices do triângulo serão as interseções dessas retas (precisamos calculá-las para determinar os limites).

Passo 2

Encontrar os vértices do triângulo (interseções das retas), calculando explicitamente:
  1. Interseção entre x=2y e x=-3y:
2y = -3y \quad\Rightarrow\quad 5y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Substituindo em x=2y x=0. Logo o vértice é (0,0).
  1. Interseção entre x=2y e y=6:
x = 2\cdot 6 = 12,
logo o vértice é (12,6).
  1. Interseção entre x=-3y e y=6:
x = -3\cdot 6 = -18,
logo o vértice é (-18,6).
Resumo dos vértices: (0,0),\; (12,6),\; (-18,6). Assim o triângulo tem base horizontal no nível y=6 indo de x=-18 a x=12, e o ápice em (0,0).

Passo 3

Resolver (a): tomar y como variável independente (ou seja, integrar primeiro em x, depois em y).
  • Para um y fixo entre 0 e 6 a coordenada x varia entre as retas esquerda e direita do triângulo, que são x=-3y (esquerda) e x=2y (direita). Portanto o intervalo de y é
y\in[0,6],
e, para cada y fixo,
x\in[-3y,\,2y].
  • Antes de escrever a integral, simplificamos a parte trigonométrica da função integranda: lembre que \sin(-\theta)=-\sin(\theta). Assim,
\operatorname{sen}\!\bigl(-2y^{3}\bigr) = -\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr).
Substituindo em -6x\operatorname{sen}(-2y^{3}) obtemos
-6x\operatorname{sen}\!\bigl(-2y^{3}\bigr) = -6x\bigl(-\operatorname{sen}(2y^{3})\bigr)=6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr).
  • Portanto, escrevendo y como variável externa (integrando em x primeiro) obtemos a única integral dupla:
\boxed{\,I=\int_{y=0}^{6}\int_{x=-3y}^{2y}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dx\,dy\,.}
(Esta é a forma pedida no item (a).)

Passo 4

Resolver (b): tomar x como variável independente (ou seja, integrar primeiro em y, depois em x). Primeiro determinar o intervalo total de x e como o intervalo em y depende de x.
  • Observando os vértices, a projeção do triângulo no eixo x é de x=-18 até x=12. Então x varia em [-18,12].
  • Para um x fixo, as curvas que limitam verticalmente a região são:
y=\frac{x}{2}\quad\text{(da reta }x=2y\text{)}\qquad\text{e}\qquad y=-\frac{x}{3}\quad\text{(da reta }x=-3y\text{)},
além da linha superior y=6.
  • O comportamento muda quando x cruza 0:
    • Se x\in[-18,0]: tem-se y=\dfrac{x}{2}\le 0 (negativo ou zero) e y=-\dfrac{x}{3}\ge 0. A parte do triângulo com esse x fica entre a reta esquerda y=-\dfrac{x}{3} (valor positivo) e a reta horizontal superior y=6. Então, para x\in[-18,0],
      y\in\Bigl[-\dfrac{x}{3},\,6\Bigr].
      (Isto coincide com a primeira integral que o enunciado já apresentou.)
    • Se x\in[0,12]: tem-se y=-\dfrac{x}{3}\le 0 e y=\dfrac{x}{2}\ge 0. Agora a parte do triângulo para esse x fica entre a reta direita y=\dfrac{x}{2} e a reta superior y=6. Portanto, para x\in[0,12],
      y\in\Bigl[\dfrac{x}{2},\,6\Bigr].
  • Conclusão: é necessário decompor a integral em duas parcelas, uma para x\in[-18,0] e outra para x\in[0,12], com os limites de y apropriados em cada caso.

Passo 5

Escrever a expressão final para I com x como variável externa (integrando em y primeiro). Usando também a simplificação da integranda feita antes ( -6x\sin(-2y^3)=6x\sin(2y^3)), obtemos:
\boxed{\,I=\int_{x=-18}^{0}\int_{y=-x/3}^{6}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dy\,dx \;+\; \int_{x=0}^{12}\int_{y=x/2}^{6}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dy\,dx\,.}
Isto dá a soma das duas integrais pedidas no item (b); a primeira parcela coincide com a apresentada no enunciado.

Resposta

(a) \displaystyle I=\int_{y=0}^{6}\int_{x=-3y}^{2y}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dx\,dy
(b) \displaystyle I=\int_{x=-18}^{0}\int_{y=-x/3}^{6}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dy\,dx +\int_{x=0}^{12}\int_{y=x/2}^{6}6x\operatorname{sen}\!\bigl(2y^{3}\bigr)\,dy\,dx

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