Considere a integral dupla
em que
é a região triangular delimitada pelas retas
e
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente, I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i)
ii)
.
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral
i)
ii)
em que
a) Tomando
i)
ii)
b) Tomando
Para a primeira integral
i)
ii)
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
onde a região triangular
é limitada pelas retas
,
e
.
O que se pede:
- (a) Expressar
tomando como variável independente (isto é, escrever como uma única integral dupla com interior e exterior ou, como o enunciado sugere, com interior e exterior dependendo da interpretação — aqui vamos tomar como variável externa/independente, isto é integrar primeiro em e depois em ). - (b) Expressar
tomando como variável independente (ou seja, integrar primeiro em e depois em ). O enunciado já deu a primeira parcela (para ); é preciso obter a soma completa (duas integrais) e justificar os limites.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Retas:
e equivalem a e . - A reta horizontal superior é
. - Os vértices do triângulo serão as interseções dessas retas (precisamos calculá-las para determinar os limites).
Passo 2
Encontrar os vértices do triângulo (interseções das retas), calculando explicitamente:
- Interseção entre
e :
Substituindo em
dá
. Logo o vértice é
.
- Interseção entre
e :
logo o vértice é
.
- Interseção entre
e :
logo o vértice é
.
Resumo dos vértices:
. Assim o triângulo tem base horizontal no nível
indo de
a
, e o ápice em
.
Passo 3
Resolver (a): tomar
como variável independente (ou seja, integrar primeiro em
, depois em
).
- Para um
fixo entre e a coordenada varia entre as retas esquerda e direita do triângulo, que são (esquerda) e (direita). Portanto o intervalo de é
e, para cada
fixo,
- Antes de escrever a integral, simplificamos a parte trigonométrica da função integranda: lembre que
. Assim,
Substituindo em
obtemos
- Portanto, escrevendo
como variável externa (integrando em primeiro) obtemos a única integral dupla:
(Esta é a forma pedida no item (a).)
Passo 4
Resolver (b): tomar
como variável independente (ou seja, integrar primeiro em
, depois em
). Primeiro determinar o intervalo total de
e como o intervalo em
depende de
.
-
Observando os vértices, a projeção do triângulo no eixo
é de até . Então varia em . -
Para um
fixo, as curvas que limitam verticalmente a região são:
além da linha superior
.
-
O comportamento muda quando
cruza : -
Se
: tem-se (negativo ou zero) e . A parte do triângulo com esse fica entre a reta esquerda (valor positivo) e a reta horizontal superior . Então, para , (Isto coincide com a primeira integral que o enunciado já apresentou.) -
Se
: tem-se e . Agora a parte do triângulo para esse fica entre a reta direita e a reta superior . Portanto, para ,
-
-
Conclusão: é necessário decompor a integral em duas parcelas, uma para
e outra para , com os limites de apropriados em cada caso.
Passo 5
Escrever a expressão final para
com
como variável externa (integrando em
primeiro). Usando também a simplificação da integranda feita antes (
), obtemos:
Isto dá a soma das duas integrais pedidas no item (b); a primeira parcela coincide com a apresentada no enunciado.
Resposta
(a)
(b)