(a) Encontre os autovalores de A.
(b) Determine um conjunto de autovetores de A linearmente independentes com o maior número possível de elementos.
(c) Caso possível, determine uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D=P^{-1} A P. Se A não for diagonalizável, explique o motivo.
(b) Determinar um conjunto de autovetores de A linearmente independentes com o maior número possível de elementos.
(c) Quando possível, apresentar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D=P^{-1}AP; se A não for diagonalizável, explicar o motivo.
Informações importantes dadas pelo enunciado: os elementos da matriz A estão listados acima (use-os diretamente). Não há figura extra.]
Passo 2
Vamos calcular os autovalores resolvendo a equação característica \det(A-\lambda I)=0. Aqui \lambda é o escalar (autovalor) e I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A determinante de uma matriz 3\times3 podemos calcular por expansão. Uma boa escolha é expandir pela segunda linha, porque nela há zeros, e sobra apenas o elemento central 3-\lambda. Ao expandir pela segunda linha, obtemos
Reescrevendo convenientemente (note que (3-\lambda)(\lambda-3)=-(\lambda-3)^2), a equação característica é proporcional a
-\lambda(\lambda-3)^2=0.
Portanto os autovalores são as raízes dessa expressão: \lambda=0 e \lambda=3. A multiplicidade algébrica de \lambda=0 é 1 e de \lambda=3 é 2.]
Passo 3
Agora vamos explicar como encontrar autovetores: para um autovalor [\lambda) qualquer, os autovetores são os vetores não nulos v que satisfazem (A-\lambda I)v=0. A solução desse sistema linear é o autespaço associado a \lambda.
Começamos com \lambda=0. O sistema (A-0\cdot I)v=Av=0 é:
As primeiras e terceiras equações são iguais, e da segunda vem y=0\]. Da primeira segue \(z=-2x. Tomando x livre como parâmetro s\in\mathbb{R}, obtemos o vetor geral do autespaço:
Logo o autespaço associado a \lambda=0 é a reta gerada por \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}. A dimensão (multiplicidade geométrica) para \lambda=0 é 1.]
Passo 4
Agora o autespaço para \lambda=3\). Resolvemos \((A-3I)v=0\). A matriz \(A-3I\) é
\[A-3I=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & -2\end{pmatrix}.
O sistema (A-3I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=0 dá as equações:
As primeiras e a terceira equivalem à condição z=x\]. A segunda é sempre verdadeira, o que significa que \(y é livre. Logo os vetores do autespaço têm a forma
com x,y\in\mathbb{R}. Portanto o autespaço de \lambda=3 é bidimensional, gerado pelos vetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. A multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica.]
Passo 5
Resumo dos autovalores e autovetores encontrados, e observação sobre diagonalização.
Para \lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) temos um autovetor não nulo
Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, que é igual à dimensão da matriz (3), conseguimos três autovetores linearmente independentes. Isso significa que A é diagonalizável: existe P invertível cujas colunas são três autovetores independentes e D=P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal, na ordem correspondente às colunas de P.]
Passo 6
Escolhemos a matriz P cujas colunas são os autovetores na ordem (v_1, v_2, v_3):