(a) Considere a matriz E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -2\end{array}\right]. Verifique que E^{-1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].
(b) Use a matriz E do item (a) para encriptar alguma mensagem da sua preferência.
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Diz que E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -2\end{array}\right] e pede que verifiquemos que E^{-1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].
(b) Pede para usarmos a matriz E do item (a) para encriptar alguma mensagem à nossa escolha.
Informações relevantes dadas:
A matriz E (já escrita acima).
A matriz candidata para E^{-1} (já escrita acima).
Não foi especificado o esquema de encriptação; eu vou usar o esquema clássico de Hill cipher com módulo 26 (ou seja, letras A–Z mapeadas para 0–25 e multiplicação de blocos de tamanho 3 pela matriz E reduzida módulo 26). Nesta escolha eu devo também garantir que E seja invertível módulo 26 (vou explicar isso no desenvolvimento).
Passo 2
Como verificar que uma matriz B é a inversa de A: a definição de inversa diz que A B = I e B A = I, onde I é a matriz identidade. Para matrizes 3\times3 basta verificar A B = I_3 (ou B A = I_3). Vou usar a verificação por multiplicação. Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes: se C=A B e A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), então o elemento c_{ij} é
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik} b_{kj}.
Vou aplicar isso diretamente a E e à matriz candidata E^{-1}.
Passo 3
Calculemos E\cdot E^{-1}. Vou chamar F=E^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\[2pt]0&2&1\\[2pt]1&1&1\end{array}\right]. Multiplicação linha por coluna:
Portanto a matriz candidata realmente é a inversa à direita; para matrizes quadradas isso basta, então E^{-1} está verificada.]
Passo 4
Complemento conceitual (útil para a parte da cifra): o determinante de E é -1 (pode-se calcular por expansão). Isso garante duas coisas importantes:
E é invertível sobre os inteiros (e sua inversa tem entradas inteiras, como vimos).
Módulo 26, \det(E)\equiv -1\equiv 25\pmod{26}, e \gcd(25,26)=1, logo E também é invertível sobre \mathbb{Z}_{26}. Ou seja, podemos usar E como chave na cifra de Hill módulo 26.
Passo 5
Agora a cifra: explico o procedimento passo a passo para encriptar uma mensagem com matriz 3\times3:
Escolhemos o alfabeto A=0, B=1, \dots, Z=25.
Transformamos a mensagem (removendo espaços e acentos) em uma sequência de números conforme o mapeamento.
Agrupamos em blocos de tamanho 3. Se o último bloco tiver menos de 3 letras, preenchemos com um símbolo (ex.: X\rightarrow 23).
Para cada bloco (vetor coluna v de dimensão 3), calculamos c \equiv E v \pmod{26}. O vetor c resultante são os números cifrados; voltamos a mapear para letras.
O resultado concatenado é a mensagem cifrada.
Vou aplicar isso a uma mensagem de exemplo.
Passo 6
Escolhi a mensagem (em português, sem acento): “OLAMUNDO”. Removo espaços (não há) e padronizo para múltiplo de 3. A mensagem tem 8 letras, vou acrescentar um X para completar 9 letras: “OLAMUNDOX”.
Logo c_1\equiv \left[\begin{array}{c}1\\[2pt]12\\[2pt]13\end{array}\right] que corresponde às letras 1\mapsto B,\;12\mapsto M,\;13\mapsto N. Bloco cifrado: “BMN”.
Para o bloco 2 v_2=\left[\begin{array}{c}12\\\ 20\\\ 13\end{array}\right]:
Logo c_2\equiv \left[\begin{array}{c}20\\[2pt]1\\[2pt]18\end{array}\right] que corresponde a 20\mapsto U,\;1\mapsto B,\;18\mapsto S. Bloco cifrado: “UBS”.
Para o bloco 3 v_3=\left[\begin{array}{c}3\\\ 14\\\ 23\end{array}\right]:
Logo c_3\equiv \left[\begin{array}{c}3\\[2pt]20\\[2pt]0\end{array}\right] que corresponde a 3\mapsto D,\;20\mapsto U,\;0\mapsto A. Bloco cifrado: “DUA”.]
Passo 8
Concatenando os blocos cifrados obtemos a mensagem cifrada:
Bloco 1: “BMN”
Bloco 2: “UBS”
Bloco 3: “DUA”
Mensagem cifrada final: “BMNUBSDUA”. Se preferir com espaços por blocos: “BMN UBS DUA”.
Parabéns — você agora viu como verificar inversas por multiplicação e como usar E como chave na cifra de Hill módulo 26. Vai com calma na prova, você consegue!