(a) Considere a matriz E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -2\end{array}\right]. Verifique que E^{-1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].
(b) Use a matriz E do item (a) para encriptar alguma mensagem da sua preferência.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) Diz que E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -2\end{array}\right] e pede que verifiquemos que E^{-1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].
  • (b) Pede para usarmos a matriz E do item (a) para encriptar alguma mensagem à nossa escolha.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz E (já escrita acima).
  • A matriz candidata para E^{-1} (já escrita acima).
  • Não foi especificado o esquema de encriptação; eu vou usar o esquema clássico de Hill cipher com módulo 26 (ou seja, letras A Z mapeadas para 0 25 e multiplicação de blocos de tamanho 3 pela matriz E reduzida módulo 26). Nesta escolha eu devo também garantir que E seja invertível módulo 26 (vou explicar isso no desenvolvimento).

Passo 2

Como verificar que uma matriz B é a inversa de A: a definição de inversa diz que A B = I e B A = I, onde I é a matriz identidade. Para matrizes 3\times3 basta verificar A B = I_3 (ou B A = I_3). Vou usar a verificação por multiplicação. Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes: se C=A B e A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), então o elemento c_{ij} é
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik} b_{kj}.
Vou aplicar isso diretamente a E e à matriz candidata E^{-1}.

Passo 3

Calculemos E\cdot E^{-1}. Vou chamar F=E^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\[2pt]0&2&1\\[2pt]1&1&1\end{array}\right]. Multiplicação linha por coluna:
  • Elemento (1,1):
(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot 1 = -1 + 0 + 2 = 1.
  • Elemento (1,2):
(-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot 1 = 0 -2 +2 = 0.
  • Elemento (1,3):
(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = -1 -1 +2 = 0.
  • Elemento (2,1):
(-1)\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = -1 +0 +1 = 0.
  • Elemento (2,2):
(-1)\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 0 +0 +1 = 1.
  • Elemento (2,3):
(-1)\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1 +0 +1 = 0.
  • Elemento (3,1):
2\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = 2 +0 -2 = 0.
  • Elemento (3,2):
2\cdot 0 + 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 0 +2 -2 = 0.
  • Elemento (3,3):
2\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = 2 +1 -2 = 1.
Juntando, obtemos
E\cdot E^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = I_3.
Portanto a matriz candidata realmente é a inversa à direita; para matrizes quadradas isso basta, então E^{-1} está verificada.]

Passo 4

Complemento conceitual (útil para a parte da cifra): o determinante de E é -1 (pode-se calcular por expansão). Isso garante duas coisas importantes:
  • E é invertível sobre os inteiros (e sua inversa tem entradas inteiras, como vimos).
  • Módulo 26, \det(E)\equiv -1\equiv 25\pmod{26}, e \gcd(25,26)=1, logo E também é invertível sobre \mathbb{Z}_{26}. Ou seja, podemos usar E como chave na cifra de Hill módulo 26.

Passo 5

Agora a cifra: explico o procedimento passo a passo para encriptar uma mensagem com matriz 3\times3:
  1. Escolhemos o alfabeto A=0, B=1, \dots, Z=25.
  2. Transformamos a mensagem (removendo espaços e acentos) em uma sequência de números conforme o mapeamento.
  3. Agrupamos em blocos de tamanho 3. Se o último bloco tiver menos de 3 letras, preenchemos com um símbolo (ex.: X\rightarrow 23).
  4. Para cada bloco (vetor coluna v de dimensão 3), calculamos c \equiv E v \pmod{26}. O vetor c resultante são os números cifrados; voltamos a mapear para letras.
  5. O resultado concatenado é a mensagem cifrada.
Vou aplicar isso a uma mensagem de exemplo.

Passo 6

Escolhi a mensagem (em português, sem acento): “OLAMUNDO”. Removo espaços (não há) e padronizo para múltiplo de 3. A mensagem tem 8 letras, vou acrescentar um X para completar 9 letras: “OLAMUNDOX”.
Mapeamento A=0,\;B=1,\dots,Z=25:
  • O \mapsto 14
  • L \mapsto 11
  • A \mapsto 0
  • M \mapsto 12
  • U \mapsto 20
  • N \mapsto 13
  • D \mapsto 3
  • O \mapsto 14
  • X \mapsto 23
Agrupando em blocos de 3:
  • Bloco 1: \left[\begin{array}{c}14\\[2pt]11\\[2pt]0\end{array}\right]
  • Bloco 2: \left[\begin{array}{c}12\\[2pt]20\\[2pt]13\end{array}\right]
  • Bloco 3: \left[\begin{array}{c}3\\[2pt]14\\[2pt]23\end{array}\right]]

Passo 7

Agora calculo cada bloco cifrado c\equiv E v \pmod{26}.
Para o bloco 1 v_1=\left[\begin{array}{c}14\\\ 11\\\ 0\end{array}\right]:
  • Primeira linha: (-1)\cdot 14 + (-1)\cdot 11 + 2\cdot 0 = -25 \equiv 1 \pmod{26}.
  • Segunda linha: (-1)\cdot 14 + 0\cdot 11 + 1\cdot 0 = -14 \equiv 12 \pmod{26}.
  • Terceira linha: 2\cdot 14 + 1\cdot 11 + (-2)\cdot 0 = 39 \equiv 13 \pmod{26}.
Logo c_1\equiv \left[\begin{array}{c}1\\[2pt]12\\[2pt]13\end{array}\right] que corresponde às letras 1\mapsto B,\;12\mapsto M,\;13\mapsto N. Bloco cifrado: “BMN”.
Para o bloco 2 v_2=\left[\begin{array}{c}12\\\ 20\\\ 13\end{array}\right]:
  • Primeira linha: (-1)\cdot 12 + (-1)\cdot 20 + 2\cdot 13 = -12 -20 +26 = -6 \equiv 20 \pmod{26}.
  • Segunda linha: (-1)\cdot 12 + 0\cdot 20 + 1\cdot 13 = 1 \pmod{26}.
  • Terceira linha: 2\cdot 12 + 1\cdot 20 + (-2)\cdot 13 = 24 +20 -26 = 18 \pmod{26}.
Logo c_2\equiv \left[\begin{array}{c}20\\[2pt]1\\[2pt]18\end{array}\right] que corresponde a 20\mapsto U,\;1\mapsto B,\;18\mapsto S. Bloco cifrado: “UBS”.
Para o bloco 3 v_3=\left[\begin{array}{c}3\\\ 14\\\ 23\end{array}\right]:
  • Primeira linha: (-1)\cdot 3 + (-1)\cdot 14 + 2\cdot 23 = -3 -14 +46 = 29 \equiv 3 \pmod{26}.
  • Segunda linha: (-1)\cdot 3 + 0\cdot 14 + 1\cdot 23 = 20 \pmod{26}.
  • Terceira linha: 2\cdot 3 + 1\cdot 14 + (-2)\cdot 23 = 6 +14 -46 = -26 \equiv 0 \pmod{26}.
Logo c_3\equiv \left[\begin{array}{c}3\\[2pt]20\\[2pt]0\end{array}\right] que corresponde a 3\mapsto D,\;20\mapsto U,\;0\mapsto A. Bloco cifrado: “DUA”.]

Passo 8

Concatenando os blocos cifrados obtemos a mensagem cifrada:
  • Bloco 1: “BMN”
  • Bloco 2: “UBS”
  • Bloco 3: “DUA”
Mensagem cifrada final: “BMNUBSDUA”. Se preferir com espaços por blocos: “BMN UBS DUA”.
Parabéns — você agora viu como verificar inversas por multiplicação e como usar E como chave na cifra de Hill módulo 26. Vai com calma na prova, você consegue!

Resposta

(a) \displaystyle E^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\[2pt]0 & 2 & 1 \\[2pt]1 & 1 & 1\end{array}\right] (verificado pois E\cdot E^{-1}=I_3).\n(b) Mensagem escolhida: “OLAMUNDO” (com padding “X” → “OLAMUNDOX”); mensagem encriptada: “BMNUBSDUA”.]

Exercícios relacionados