(a) Calcule os autovalores e autovetores da matriz A.
(b) Determine bases dos autoespaços de A cujas matrizes possuem entradas inteiras.
(c) Apresente, se existirem, matriz P inversível e matriz D diagonal para as quais A P=P D. Basta apresentar as matrizes P e D, não é preciso mostrar que vale a igualdade A P=P D.
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Perguntas:
(a) Calcular os autovalores e autovetores de A.
(b) Determinar bases dos autoespaços de A cujas matrizes (ou vetores da base) tenham entradas inteiras.
(c) Apresentar, se existirem, matrizes P invertível e diagonal D tais que A P = P D. Basta fornecer P e D.
Passo 2
Montar o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) e calculá-lo.
Responder (b): bases dos autoespaços com entradas inteiras.
Para \lambda=2: base \{\,\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}\,\}.
Para \lambda=-2: base \{\,\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\,\}.
Observação útil: escolhemos vetores inteiros por conveniência — multiplicar um autovetor por escalar não altera o autoespaço.
Passo 8
Responder (c): existência de P invertível e D diagonal com A P = P D.
Como conseguimos três autovetores linearmente independentes (dois para \lambda=-2 e um para \lambda=2), a matriz A é diagonalizável. Podemos escolher como colunas de P as três bases dos autoespaços (na mesma ordem em que aparecem os autovalores na diagonal de D). Tomando, por exemplo, as colunas na ordem \,v_{-2}^{(1)},\\ v_{-2}^{(2)},\\ v_{2}\,, obtemos uma matriz P com entradas inteiras.