Considere uma partícula que executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno. Calcule: a) a velocidade da partícula b) a força que age sobre a partícula c) sabendo que a força é conservativa, calcule a energia potencial d) Mostre que a energia total 6 constante.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno e pede quatro coisas: (a) a velocidade da partícula; (b) a força que age sobre a partícula; (c) sabendo que a força é conservativa, calcular a energia potencial; (d) mostrar que a energia total é constante.
Informações que vamos usar (escolha natural e genérica para um seno):
  • Vamos representar a posição como \displaystyle x(t)=A\sin\!\big(\omega t+\varphi\big), onde:
    • A é a amplitude (máximo deslocamento da origem), A>0.
    • \omega é a frequência angular (rad/s), \omega>0.
    • \varphi é a fase inicial (rad).
    • t é o tempo (s).
  • A massa da partícula será escrita como m (kg). O problema não deu m, então deixamos simbólico.
O que precisa ser respondido, em termos matemáticos:
  • (a) v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • (b) F(t)=m\,a(t)=m\,\dfrac{d^2x}{dt^2}.
  • (c) Encontrar V(x) tal que F(x)=-\dfrac{dV}{dx}.
  • (d) Mostrar que E_{\text{total}}(t)=K(t)+V(t) é constante no tempo.

Passo 2

Cálculo da velocidade: derivada da posição em relação ao tempo.
Breve aula: derivada e regra da cadeia
  • A derivada \dfrac{d}{dt} mede a taxa de variação em relação ao tempo.
  • Regra da cadeia: se x(t)=f(g(t)), então \dfrac{dx}{dt}=f'(g(t))\cdot g'(t).
Aplicando à nossa x(t)=A\sin(\omega t+\varphi):
  • A derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u).
  • Derivando o argumento u=\omega t+\varphi em relação a t u'=\omega.
Portanto,
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\cdot\cos\!\big(\omega t+\varphi\big)\cdot\omega.
Escrevendo de forma arrumada:
v(t)=A\omega\cos\!\big(\omega t+\varphi\big).
Observações úteis:
  • A velocidade máxima (amplitude da velocidade) é \displaystyle v_{\max}=A\omega, que ocorre quando \cos(\omega t+\varphi)=\pm 1.

Passo 3

Cálculo da aceleração (segunda derivada) e relação fundamental do MHS.
Derivando v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi) novamente e usando regra da cadeia:
  • A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
  • O fator extra \omega aparece de novo ao derivar o argumento.
Logo,
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=A\omega\cdot\big(-\sin(\omega t+\varphi)\big)\cdot\omega.
Simplificando:
a(t)=-A\omega^2\sin\!\big(\omega t+\varphi\big).
Note a relação direta com x(t): como x(t)=A\sin(\omega t+\varphi), temos
a(t)=-\omega^2 x(t).
Isto é a equação característica do movimento harmônico simples: a aceleração é proporcional ao deslocamento e apontando para o centro (sinal negativo).

Passo 4

Cálculo da força que age sobre a partícula (Lei de Newton).
Lei de Newton (segunda lei): \displaystyle F=ma, onde:
  • F é a força resultante (N),
  • m é a massa (kg),
  • a é a aceleração (m/s^2).
Usando a(t)=-\omega^2 x(t),
F(t)=m\,a(t)=-m\omega^2 x(t).
Comentário físico e identificação com mola:
  • Essa força tem a forma \displaystyle F=-kx com k=m\omega^2. É uma força restauradora proporcional ao deslocamento para a origem — exatamente o comportamento de uma mola linear (Lei de Hooke).

Passo 5

Encontrar a energia potencial associada à força conservativa F(x)=-m\omega^2 x.
Conceito e método:
  • Para uma força conservativa que depende só de x, existe uma energia potencial V(x) tal que \displaystyle F(x)=-\frac{dV}{dx}.
  • Para encontrar V(x) integra-se -F(x) em relação a x ou, equivalente, integra-se dV/dx = -F(x).
Aqui F(x)=-m\omega^2 x. Então
-\frac{dV}{dx}= -m\omega^2 x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dx}=m\omega^2 x.
Integramos ambos os lados em x:
V(x)=\int m\omega^2 x\,dx = m\omega^2\cdot\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração (valor arbitrário da referência zero da energia potencial).
Escolhendo a referência V(0)=0 (opção usual),
V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2.
Comentário: substituindo k=m\omega^2 recupera a expressão conhecida para uma mola:
V(x)=\frac{1}{2}k x^2.

Passo 6

Expressões temporais da energia potencial e da energia cinética, e demonstração de que a energia total é constante.
Energia potencial em função do tempo:
  • Substituir x(t)=A\sin(\omega t+\varphi) em V(x):
V(t)=\frac{1}{2}m\omega^2\big(x(t)\big)^2 =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2\!\big(\omega t+\varphi\big).
Energia cinética:
  • Fórmula da energia cinética: \displaystyle K(t)=\frac{1}{2}m v(t)^2.
  • Usando v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi):
K(t)=\frac{1}{2}m\big(A\omega\cos(\omega t+\varphi)\big)^2 =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2\!\big(\omega t+\varphi\big).
Energia total:
E(t)=K(t)+V(t) =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2\!\big(\omega t+\varphi\big) +\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2\!\big(\omega t+\varphi\big).
Fatorando \displaystyle \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 e usando a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,
E(t)=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\big(\cos^2+\sin^2\big) =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cdot 1 =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2.
Conclusão: a energia total E é independente do tempo — ou seja, é constante — e igual a \displaystyle \frac{1}{2}m\omega^2 A^2. Usando k=m\omega^2 dá também \displaystyle E=\frac{1}{2}kA^2.
Física intuitiva: a energia oscila entre cinética e potencial, mas a soma permanece fixa, porque não há dissipação nem forças não-conservativas no enunciado.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=A\omega\cos\!\big(\omega t+\varphi\big)
(b) \displaystyle F(t)=-m\omega^2 x(t)=-m\omega^2 A\sin\!\big(\omega t+\varphi\big)
(c) \displaystyle V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 (escolhendo V(0)=0). Em função do tempo: \displaystyle V(t)=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2\!\big(\omega t+\varphi\big)
(d) \displaystyle E=K+V=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2, que é constante no tempo.

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