Considere uma partícula que executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno. Calcule: a) a velocidade da partícula b) a força que age sobre a partícula c) sabendo que a força é conservativa, calcule a energia potencial d) Mostre que a energia total 6 constante.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno e pede quatro coisas: (a) a velocidade da partícula; (b) a força que age sobre a partícula; (c) sabendo que a força é conservativa, calcular a energia potencial; (d) mostrar que a energia total é constante.
Informações que vamos usar (escolha natural e genérica para um seno):
- Vamos representar a posição como
, onde: -
é a amplitude (máximo deslocamento da origem), . -
é a frequência angular (rad/s), . -
é a fase inicial (rad). -
é o tempo (s).
-
- A massa da partícula será escrita como
(kg). O problema não deu , então deixamos simbólico.
O que precisa ser respondido, em termos matemáticos:
- (a)
. - (b)
. - (c) Encontrar
tal que . - (d) Mostrar que
é constante no tempo.
Passo 2
Cálculo da velocidade: derivada da posição em relação ao tempo.
Breve aula: derivada e regra da cadeia
- A derivada
mede a taxa de variação em relação ao tempo. - Regra da cadeia: se
, então .
Aplicando à nossa
:
- A derivada de
em relação a é . - Derivando o argumento
em relação a dá .
Portanto,
Escrevendo de forma arrumada:
Observações úteis:
- A velocidade máxima (amplitude da velocidade) é
, que ocorre quando .
Passo 3
Cálculo da aceleração (segunda derivada) e relação fundamental do MHS.
Derivando
novamente e usando regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - O fator extra
aparece de novo ao derivar o argumento.
Logo,
Simplificando:
Note a relação direta com
: como
, temos
Isto é a equação característica do movimento harmônico simples: a aceleração é proporcional ao deslocamento e apontando para o centro (sinal negativo).
Passo 4
Cálculo da força que age sobre a partícula (Lei de Newton).
Lei de Newton (segunda lei):
, onde:
-
é a força resultante (N), -
é a massa (kg), -
é a aceleração (m/s^2).
Usando
,
Comentário físico e identificação com mola:
- Essa força tem a forma
com . É uma força restauradora proporcional ao deslocamento para a origem — exatamente o comportamento de uma mola linear (Lei de Hooke).
Passo 5
Encontrar a energia potencial associada à força conservativa
.
Conceito e método:
- Para uma força conservativa que depende só de
, existe uma energia potencial tal que . - Para encontrar
integra-se em relação a ou, equivalente, integra-se .
Aqui
. Então
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração (valor arbitrário da referência zero da energia potencial).
Escolhendo a referência
(opção usual),
Comentário: substituindo
recupera a expressão conhecida para uma mola:
Passo 6
Expressões temporais da energia potencial e da energia cinética, e demonstração de que a energia total é constante.
Energia potencial em função do tempo:
- Substituir
em :
Energia cinética:
- Fórmula da energia cinética:
. - Usando
:
Energia total:
Fatorando
e usando a identidade trigonométrica
,
Conclusão: a energia total
é independente do tempo — ou seja, é constante — e igual a
. Usando
dá também
.
Física intuitiva: a energia oscila entre cinética e potencial, mas a soma permanece fixa, porque não há dissipação nem forças não-conservativas no enunciado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(escolhendo
). Em função do tempo:
(d)
, que é constante no tempo.