Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Aproxime a raiz através do método da bissecção.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;f(x)=x^{3}-5x+3=0\; e pede para aproximar uma raiz usando o método da bissecção com limiar de erro \;10^{-3}.
Informações importantes fornecidas:
\;f(x)=x^{3}-5x+3\; e \;\varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

O que é e como funciona a bissecção (explicação didática e amigável).
  • A bissecção procura uma raiz numa intervalo [a,b] onde a função muda de sinal, isto é, \;f(a)\cdot f(b)<0. Isso garante, por continuidade, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio \;m=\dfrac{a+b}{2}. Avaliamos \;f(m). Se \;f(a)\cdot f(m)\le 0 a raiz está em [a,m], senão está em [m,b]. Repetimos com o novo intervalo.
  • Critério de parada (que vamos usar aqui): paramos quando o semi-intervalo for menor ou igual ao limiar, isto é, quando
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon.
Nesse caso a aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo atual.
  • Observação prática: se começarmos com comprimento inicial L_0=b-a, após n iterações o comprimento do intervalo é L_n=\dfrac{L_0}{2^n}. Para garantir \dfrac{L_n}{2}\le\varepsilon (meio-intervalo), escolhemos n tal que
\frac{L_0}{2^{n+1}}\le \varepsilon\quad\Rightarrow\quad n\ge \log_{2}\!\left(\frac{L_0}{2\varepsilon}\right).

Passo 3

Escolha do intervalo inicial com mudança de sinal (procurar sinais em pontos inteiros). Vou avaliar a função em alguns pontos simples:
f(0)=0^{3}-5\cdot 0+3=3,
f(1)=1^{3}-5\cdot1+3=-1.
Como \;f(0)=3>0 e \;f(1)=-1<0, há mudança de sinal em [0,1]. Então podemos aplicar a bissecção em [0,1]. (Escolhi esse intervalo porque é curto e simples; o polinômio tem outras raízes em outros intervalos, mas aqui vou aproximar a raiz em [0,1] conforme pedido.)

Passo 4

Estimativa de quantas iterações precisamos. O comprimento inicial é L_{0}=1. Queremos \dfrac{L_n}{2}\le 10^{-3}. Então precisamos de n tal que
\frac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-3}\quad\Rightarrow\quad 2^{n+1}\ge 1000.
Calculando em potência de 2, 2^{10}=1024 e 2^9=512. Portanto precisamos de n+1\ge 10, ou seja, n\ge 9. Para termos certeza tomamos n=10 iterações completas (ou seja, fazer a bissecção 10 vezes) — isso garante que o meio-intervalo final será \le 4,8828125\times10^{-4}<10^{-3}.

Passo 5

Vamos executar as iterações passo a passo. Inicialmente:
a_{0}=0,\quad b_{0}=1,\quad f(a_{0})=3,\quad f(b_{0})=-1.
Iteração 1:
m_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5,
f(m_{1})=(0{,}5)^{3}-5(0{,}5)+3=0{,}125-2{,}5+3=0{,}625>0.
Como f(m_{1})>0 e f(b_{0})<0, a raiz está em [m_{1},b_{0}]=[0{,}5,1]. Então
a_{1}=0{,}5,\quad b_{1}=1.

Passo 6

Iteração 2:
m_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75,
f(m_{2})=(0{,}75)^{3}-5(0{,}75)+3=0{,}421875-3{,}75+3=-0{,}328125<0.
Como f(m_{2})<0 e f(a_{1})>0, a raiz está em [a_{1},m_{2}]=[0{,}5,0{,}75]. Então
a_{2}=0{,}5,\quad b_{2}=0{,}75.

Passo 7

Iteração 3:
m_{3}=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625,
f(m_{3})=(0{,}625)^{3}-5(0{,}625)+3=0{,}244140625-3{,}125+3=0{,}119140625>0.
Sinal positivo em m_{3}. Então a raiz está em [m_{3},b_{2}]=[0{,}625,0{,}75]. Atualizando,
a_{3}=0{,}625,\quad b_{3}=0{,}75.

Passo 8

Iteração 4:
m_{4}=\frac{0{,}625+0{,}75}{2}=0{,}6875,
f(m_{4})=(0{,}6875)^{3}-5(0{,}6875)+3=0{,}32470703125-3{,}4375+3=-0{,}11279296875<0.
Sinal negativo em m_{4}. Então a raiz está em [a_{3},m_{4}]=[0{,}625,0{,}6875]. Atualizando,
a_{4}=0{,}625,\quad b_{4}=0{,}6875.

Passo 9

Iteração 5:
m_{5}=\frac{0{,}625+0{,}6875}{2}=0{,}65625,
f(m_{5})=(0{,}65625)^{3}-5(0{,}65625)+3=0{,}282470703125-3{,}28125+3=0{,}001220703125>0.
Sinal positivo (muito próximo de zero). Então a raiz está em [m_{5},b_{4}]=[0{,}65625,0{,}6875]. Atualizando,
a_{5}=0{,}65625,\quad b_{5}=0{,}6875.

Passo 10

Iteração 6:
m_{6}=\frac{0{,}65625+0{,}6875}{2}=0{,}671875,
f(m_{6})=(0{,}671875)^{3}-5(0{,}671875)+3\approx -0{,}056178\\ (\text{aprox.})<0.
(Saída numérica aproximada indicada; o sinal é o que nos importa.) Logo a raiz está em [a_{5},m_{6}]=[0{,}65625,0{,}671875]. Atualizando,
a_{6}=0{,}65625,\quad b_{6}=0{,}671875.

Passo 11

Iteração 7:
m_{7}=\frac{0{,}65625+0{,}671875}{2}=0{,}6640625,
f(m_{7})\approx -0{,}0276175\\ (<0).
Então a raiz está em [0{,}65625,0{,}6640625]. Atualizando,
a_{7}=0{,}65625,\quad b_{7}=0{,}6640625.

Passo 12

Iteração 8:
m_{8}=\frac{0{,}65625+0{,}6640625}{2}=0{,}66015625,
f(m_{8})\approx -0{,}01308\\ (<0).
Então a raiz está em [0{,}65625,0{,}66015625]. Atualizando,
a_{8}=0{,}65625,\quad b_{8}=0{,}66015625.

Passo 13

Iteração 9:
m_{9}=\frac{0{,}65625+0{,}66015625}{2}=0{,}658203125,
f(m_{9})\approx -0{,}0059\\ (<0).
Raiz em [0{,}65625,0{,}658203125]. Atualizando,
a_{9}=0{,}65625,\quad b_{9}=0{,}658203125.

Passo 14

Iteração 10 (última necessária para garantir o limiar):
m_{10}=\frac{0{,}65625+0{,}658203125}{2}=\frac{672/1024+674/1024}{2}=\frac{673}{1024}=0{,}6572265625.
Calculando o valor exato de f(m_{10}) como frações (para verificar o erro):
m_{10}=\frac{673}{1024},\qquad m_{10}^{3}=\frac{303821217}{1073741824}\approx0{,}282955558,
-5m_{10}+3=-\frac{3365}{1024}+3=-\frac{293}{1024}\approx-0{,}2861328125,
f(m_{10})=m_{10}^{3}-5m_{10}+3=\frac{303821217}{1073741824}-\frac{293}{1024}\approx -0{,}0031773.
Como f(m_{10})<0, a nova atualização seria [a_{10},b_{10}]=[0{,}65625,\;0{,}6572265625]. O comprimento do intervalo final é
b_{10}-a_{10}=0{,}6572265625-0{,}65625=0{,}0009765625,
então o semi-intervalo é
\frac{b_{10}-a_{10}}{2}=0{,}00048828125\le 10^{-3},
ou seja, a condição do limiar foi satisfeita.
A aproximação final pela bissecção é o ponto médio do intervalo final:
x_{\text{aprx}}=\frac{a_{10}+b_{10}}{2}=\frac{0{,}65625+0{,}6572265625}{2}=\frac{1345}{2048}=0{,}65673828125.
Podemos verificar o valor de f nesse ponto (com frações exatas) para estimar o resíduo:
x_{\text{aprx}}=\frac{1345}{2048},\qquad x_{\text{aprx}}^{3}=\frac{2433138625}{8589934592},
-5x_{\text{aprx}}+3=-\frac{6725}{2048}+3=-\frac{581}{2048},
f(x_{\text{aprx}})=\frac{2433138625}{8589934592}-\frac{581}{2048}=\frac{-3751999}{8589934592}\approx -4{,}367\times 10^{-4}.
O valor absoluto do resíduo é menor que 10^{-3}, logo a aproximação atende ao limiar pedido.

Resposta

x\approx 0{,}65673828125

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