Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Aproxime a raiz através do método da bissecção.
Aproxime a raiz através do método da bissecção.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para aproximar uma raiz usando o método da bissecção com limiar de erro
.
Informações importantes fornecidas:
e
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
O que é e como funciona a bissecção (explicação didática e amigável).
- A bissecção procura uma raiz numa intervalo
onde a função muda de sinal, isto é, . Isso garante, por continuidade, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. - Em cada iteração calculamos o ponto médio
. Avaliamos . Se a raiz está em , senão está em . Repetimos com o novo intervalo. - Critério de parada (que vamos usar aqui): paramos quando o semi-intervalo for menor ou igual ao limiar, isto é, quando
Nesse caso a aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo atual.
- Observação prática: se começarmos com comprimento inicial
, após iterações o comprimento do intervalo é . Para garantir (meio-intervalo), escolhemos tal que
Passo 3
Escolha do intervalo inicial com mudança de sinal (procurar sinais em pontos inteiros). Vou avaliar a função em alguns pontos simples:
Como
e
, há mudança de sinal em
. Então podemos aplicar a bissecção em
. (Escolhi esse intervalo porque é curto e simples; o polinômio tem outras raízes em outros intervalos, mas aqui vou aproximar a raiz em
conforme pedido.)
Passo 4
Estimativa de quantas iterações precisamos. O comprimento inicial é
. Queremos
. Então precisamos de
tal que
Calculando em potência de 2,
e
. Portanto precisamos de
, ou seja,
. Para termos certeza tomamos
iterações completas (ou seja, fazer a bissecção 10 vezes) — isso garante que o meio-intervalo final será
.
Passo 5
Vamos executar as iterações passo a passo. Inicialmente:
Iteração 1:
Como
e
, a raiz está em
. Então
Passo 6
Iteração 2:
Como
e
, a raiz está em
. Então
Passo 7
Iteração 3:
Sinal positivo em
. Então a raiz está em
. Atualizando,
Passo 8
Iteração 4:
Sinal negativo em
. Então a raiz está em
. Atualizando,
Passo 9
Iteração 5:
Sinal positivo (muito próximo de zero). Então a raiz está em
. Atualizando,
Passo 10
Iteração 6:
(Saída numérica aproximada indicada; o sinal é o que nos importa.) Logo a raiz está em
. Atualizando,
Passo 11
Iteração 7:
Então a raiz está em
. Atualizando,
Passo 12
Iteração 8:
Então a raiz está em
. Atualizando,
Passo 13
Iteração 9:
Raiz em
. Atualizando,
Passo 14
Iteração 10 (última necessária para garantir o limiar):
Calculando o valor exato de
como frações (para verificar o erro):
Como
, a nova atualização seria
. O comprimento do intervalo final é
então o semi-intervalo é
ou seja, a condição do limiar foi satisfeita.
A aproximação final pela bissecção é o ponto médio do intervalo final:
Podemos verificar o valor de
nesse ponto (com frações exatas) para estimar o resíduo:
O valor absoluto do resíduo é menor que
, logo a aproximação atende ao limiar pedido.