Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Aproxime a raiz através do método da falsa posição.
Aproxime a raiz através do método da falsa posição.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar uma raiz da equação
usando o método da falsa posição, com limiar de erro
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Objetivo final: obter uma aproximação
tal que a diferença entre duas aproximações consecutivas (critério que usaremos) seja menor que
.
Passo 2
Explicando o método da falsa posição (do jeito mais didático possível). A ideia é começar com um intervalo
tal que
e
tenham sinais opostos (isso garante que existe pelo menos uma raiz no intervalo, por continuidade). Em seguida, em vez de tomar o ponto médio, traçamos a reta que liga
a
e tomamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. A fórmula desse ponto é
Interpretação das variáveis:
-
são as extremidades do intervalo atual; -
são os valores da função nesses pontos; -
é o ponto onde a reta secante corta o eixo (nova aproximação).
Critério de parada que usarei (claro e simples para prova): parar quando
Agora escolho um intervalo inicial. Observando a função:
logo
e
, há uma raiz em
. Vou aplicar a regra da falsa posição em
.
Passo 3
Iteração 1 (intervalo inicial
):
Calcule pela fórmula:
Calcule
Avaliaremos
:
Sinais:
,
,
. Como
e
têm o mesmo sinal, substituímos
por
. Novo intervalo:
.
Passo 4
Iteração 2 (intervalo
):
Calcule :
Calcule
Avaliação:
Sinal:
. Como
também, trocamos
por
. Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 3 (intervalo
):
Calcule (usando a mesma fórmula). Trabalhando com frações obtém-se
Calcule
Avaliação aproximada:
(ou seja, negativo). Como
e
têm mesmo sinal, substituímos
por
. Novo intervalo:
.
Passo 6
Iteração 4 (intervalo
):
Calcule por:
Calcule
Substituindo numericamente:
Avaliação aproximada:
Ainda negativo, então substituímos
por
. Novo intervalo:
.
Passo 7
Iteração 5 (intervalo
):
Calcule :
Calcule
Avaliação aproximada:
Ainda negativo; atualizamos
. Novo intervalo:
.
Passo 8
Iteração 6 (intervalo
):
Calcule :
Calcule
Agora verifique o critério de parada com as duas últimas aproximações:
Portanto atingimos o limiar pedido e podemos parar. Observação:
seria aproximadamente
(próximo de zero), mas nosso critério foi a diferença entre iterações.