Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Aproxime a raiz através do método da falsa posição.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar uma raiz da equação \,f(x)=x^{3}-5x+3=0 usando o método da falsa posição, com limiar de erro \,10^{-3}.
Informações dadas:
f(x)=x^{3}-5x+3,\qquad\text{limiar de erro } \varepsilon = 10^{-3}.
Objetivo final: obter uma aproximação x_{\text{aprox}} tal que a diferença entre duas aproximações consecutivas (critério que usaremos) seja menor que \varepsilon.

Passo 2

Explicando o método da falsa posição (do jeito mais didático possível). A ideia é começar com um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (isso garante que existe pelo menos uma raiz no intervalo, por continuidade). Em seguida, em vez de tomar o ponto médio, traçamos a reta que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação c. A fórmula desse ponto é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Interpretação das variáveis:
  • a,b são as extremidades do intervalo atual;
  • f(a),f(b) são os valores da função nesses pontos;
  • c é o ponto onde a reta secante corta o eixo x (nova aproximação).
Critério de parada que usarei (claro e simples para prova): parar quando
|c_{\text{novo}}-c_{\text{anterior}}|<\varepsilon.
Agora escolho um intervalo inicial. Observando a função:
f(1)=1^{3}-5\cdot1+3=-1,\qquad f(2)=2^{3}-5\cdot2+3=1,
logo f(1)<0 e f(2)>0, há uma raiz em [1,2]. Vou aplicar a regra da falsa posição em [1,2].

Passo 3

Iteração 1 (intervalo inicial [a,b]=[1,2]):
Calcule c_{1} pela fórmula:
c_{1}=\frac{1\cdot f(2)-2\cdot f(1)}{f(2)-f(1)}=\frac{1\cdot 1 - 2\cdot(-1)}{1-(-1)}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.
Avaliaremos f(c_{1}):
f(1{,}5)=1{,}5^{3}-5\cdot1{,}5+3=3{,}375-7{,}5+3=-1{,}125.
Sinais: f(1)=-1<0, f(1{,}5)=-1{,}125<0, f(2)=1>0. Como f(1{,}5) e f(1) têm o mesmo sinal, substituímos a por c_{1}. Novo intervalo: [a,b]=[1{,}5,\,2].

Passo 4

Iteração 2 (intervalo [a,b]=[1{,}5,2]):
Calcule c_{2}:
c_{2}=\frac{1{,}5\cdot f(2)-2\cdot f(1{,}5)}{f(2)-f(1{,}5)} =\frac{1{,}5\cdot 1 - 2\cdot(-1{,}125)}{1-(-1{,}125)} =\frac{1{,}5+2{,}25}{2{,}125}=\frac{3{,}75}{2{,}125}=\frac{30}{17}\approx 1{,}7647058824.
Avaliação:
f\!\left(\frac{30}{17}\right)=\frac{27000}{4913}-\frac{150}{17}+3=\frac{-1611}{4913}\approx -0{,}3279.
Sinal: f(c_{2})<0. Como f(1{,}5)<0 também, trocamos a por c_{2}. Novo intervalo: [a,b]=\left[\frac{30}{17},\,2\right].

Passo 5

Iteração 3 (intervalo [a,b]=\left[\frac{30}{17},2\right]):
Calcule c_{3} (usando a mesma fórmula). Trabalhando com frações obtém-se
c_{3}=\frac{\frac{30}{17}\cdot 1 - 2\cdot\left(\frac{-1611}{4913}\right)}{1-\left(\frac{-1611}{4913}\right)} =\frac{11892/4913}{6524/4913}=\frac{11892}{6524}=\frac{1982}{1087}\approx 1{,}823326706.
Avaliação aproximada:
f(c_{3})\approx -0{,}05495
(ou seja, negativo). Como f(c_{3}) e f(a) têm mesmo sinal, substituímos a por c_{3}. Novo intervalo: [a,b]=\left[\tfrac{1982}{1087},\,2\right].

Passo 6

Iteração 4 (intervalo [\tfrac{1982}{1087},2]):
Calcule c_{4} por:
c_{4}= \frac{a\cdot f(b)-b\cdot f(a)}{f(b)-f(a)} \quad\text{com }a\approx 1{,}823326706,\\ f(a)\approx -0{,}054949829,\\ f(b)=1.
Substituindo numericamente:
c_{4}\approx \frac{1{,}823326706\cdot 1 - 2\cdot(-0{,}054949829)}{1-(-0{,}054949829)} =\frac{1{,}823326706+0{,}109899658}{1{,}054949829}\approx 1{,}832391.
Avaliação aproximada:
f(c_{4})\approx -0{,}009416
Ainda negativo, então substituímos a por c_{4}. Novo intervalo: [a,b]\approx[1{,}832391,\,2].

Passo 7

Iteração 5 (intervalo [1{,}832391,2]):
Calcule c_{5}:
c_{5}\approx \frac{1{,}832391\cdot 1 - 2\cdot(-0{,}009416)}{1-(-0{,}009416)} =\frac{1{,}832391+0{,}018832}{1{,}009416}\approx 1{,}833809.
Avaliação aproximada:
f(c_{5})\approx -0{,}002220.
Ainda negativo; atualizamos a\leftarrow c_{5}. Novo intervalo: [a,b]\approx[1{,}833809,\,2].

Passo 8

Iteração 6 (intervalo [1{,}833809,2]):
Calcule c_{6}:
c_{6}\approx \frac{1{,}833809\cdot 1 - 2\cdot(-0{,}002220)}{1-(-0{,}002220)} =\frac{1{,}833809+0{,}004440}{1{,}002220}\approx 1{,}834137.
Agora verifique o critério de parada com as duas últimas aproximações:
|c_{6}-c_{5}|\approx |1{,}834137-1{,}833809|=0{,}000328<10^{-3}.
Portanto atingimos o limiar pedido e podemos parar. Observação: f(c_{6}) seria aproximadamente -0{,}00086 (próximo de zero), mas nosso critério foi a diferença entre iterações.

Resposta

x\approx 1{,}834137

Exercícios relacionados