Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Aproxime a raiz através do método do ponto fixo.

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime uma raiz da equação \;f(x)=x^{3}-5x+3=0\; usando o método do ponto fixo, com limiar de erro \;10^{-3}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Equação: \;x^{3}-5x+3=0.\n
  • Tolerância (critério de parada): \;10^{-3} (vou usar |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}).\n
  • Deve-se aplicar o método do ponto fixo para obter uma aproximação da(s) raiz(es).\n
    Nada mais foi pedido no enunciado (por exemplo, qual raiz), então vou aproximar uma raiz real mostrando o processo completo.

Passo 2

O método do ponto fixo consiste em reescrever a equação \;f(x)=0\; na forma \;x=g(x)\; e construir a sequência \;x_{n+1}=g(x_n)\;. Se g for uma contração numa vizinhança da raiz (ou seja, |g'(x)|\le k<1 ali), então a sequência converge para a raiz fixa. Vou explicar isso rapidinho e de forma prática:
  • Ideia: resolver \;x=g(x) é o mesmo que procurar um ponto fixo de g.
  • Critério prático de convergência (uma forma útil do teorema do ponto fixo): se \;|g'(x)|\le k<1\; num intervalo que contém a raiz e x_0 inicial, então a iteração converge para a raiz.
  • Portanto preciso escolher uma reescrita \;g(x)\; que gere convergência.

Passo 3

Escolho a reescrita simples
g(x)=\frac{x^{3}+3}{5},
porque da equação original \;x^{3}-5x+3=0\; vem \;5x=x^{3}+3\; e, dividindo por 5, \;x=(x^{3}+3)/5. Esta escolha é direta e fácil de calcular nas iterações. Agora explico e verifico a condição de convergência:
  • Calculo a derivada de g:
g'(x)=\frac{3x^{2}}{5}.
  • Para garantir convergência precisamos de |g'(x)|<1 na região onde iteramos. Vou trabalhar na vizinhança da raiz que está entre 0 e 1 (há uma raiz aí porque f(0)=3>0 e f(1)=-1<0). Tomemos por exemplo o intervalo [0,0{,}66] (que contém a raiz aproximada).
  • No intervalo [0,0{,}66] temos
\max_{x\in[0,0{,}66]} |g'(x)| = g'(0{,}66)=\frac{3\cdot(0{,}66)^{2}}{5}=\frac{3\cdot0{,}4356}{5}=\frac{1{,}3068}{5}=0{,}26136<1.
Logo g é contração nessa vizinhança e a iteração deve convergir se eu começar com x_0 dentro desse intervalo.

Passo 4

Escolho o chute inicial \;x_0=0{,}6\;, que está dentro do intervalo onde g é contração e próximo da mudança de sinal identificada. Agora aplico a iteração
x_{n+1}=g(x_n)=\frac{x_n^{3}+3}{5}
até |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}. Vou mostrar cada passo de cálculo de forma mastigada.

Passo 5

Cálculos das iterações (mostrando os cálculos aproximados passo a passo):
  • Iteração 0 → 1:
x_0=0{,}6.
x_1=g(x_0)=\frac{(0{,}6)^{3}+3}{5}=\frac{0{,}216+3}{5}=\frac{3{,}216}{5}=0{,}6432.
  • Iteração 1 → 2:
x_1=0{,}6432\quad\Rightarrow\quad x_1^{3}\approx0{,}2660885\quad(\text{calc. de }0{,}6432^{3}),
x_2=g(x_1)=\frac{0{,}2660885+3}{5}=\frac{3{,}2660885}{5}\approx0{,}6532177.
  • Iteração 2 → 3:
x_2\approx0{,}6532177\quad\Rightarrow\quad x_2^{3}\approx0{,}2787240,
x_3=g(x_2)=\frac{0{,}2787240+3}{5}=\frac{3{,}2787240}{5}\approx0{,}6557448.
  • Iteração 3 → 4:
x_3\approx0{,}6557448\quad\Rightarrow\quad x_3^{3}\approx0{,}2819698,
x_4=g(x_3)=\frac{0{,}2819698+3}{5}=\frac{3{,}2819698}{5}\approx0{,}65639396\approx0{,}656394.
Em cada passo calculei x_{n+1}=(x_n^{3}+3)/5 arredondando razoavelmente para manter as contas feitas “na prova” sem calculadora de alta precisão.

Passo 6

Agora aplico o critério de parada: comparar |x_{n+1}-x_n| com \;10^{-3}.
  • |x_1-x_0|=|0{,}6432-0{,}6|=0{,}0432>10^{-3} (não para).
  • |x_2-x_1|=|0{,}6532177-0{,}6432|=0{,}009...>10^{-3} (não para).
  • |x_3-x_2|=|0{,}6557448-0{,}6532177|\approx0{,}0025271>10^{-3} (não para).
  • |x_4-x_3|=|0{,}656394-0{,}6557448|\approx0{,}0006492<10^{-3} — critério satisfeito.
Portanto a iteração pode ser interrompida em x_4, pois a diferença entre iteradas consecutivas já é menor que \;10^{-3}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida: obtivemos a aproximação \;x\approx0{,}656394 (com convergência garantida pela condição |g'(x)|<1 na vizinhança). Para apresentar a resposta com a precisão exigida do problema (limiar \;10^{-3}), basta arredondar a três casas decimais.

Resposta

x \approx 0{,}656

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