Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Aproxime a raiz através do método do ponto fixo.
Aproxime a raiz através do método do ponto fixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime uma raiz da equação
usando o método do ponto fixo, com limiar de erro
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Equação:
.\n - Tolerância (critério de parada):
(vou usar ).\n - Deve-se aplicar o método do ponto fixo para obter uma aproximação da(s) raiz(es).\n
Nada mais foi pedido no enunciado (por exemplo, qual raiz), então vou aproximar uma raiz real mostrando o processo completo.
Passo 2
O método do ponto fixo consiste em reescrever a equação
na forma
e construir a sequência
. Se
for uma contração numa vizinhança da raiz (ou seja,
ali), então a sequência converge para a raiz fixa. Vou explicar isso rapidinho e de forma prática:
- Ideia: resolver
é o mesmo que procurar um ponto fixo de . - Critério prático de convergência (uma forma útil do teorema do ponto fixo): se
num intervalo que contém a raiz e inicial, então a iteração converge para a raiz. - Portanto preciso escolher uma reescrita
que gere convergência.
Passo 3
Escolho a reescrita simples
porque da equação original
vem
e, dividindo por
,
. Esta escolha é direta e fácil de calcular nas iterações. Agora explico e verifico a condição de convergência:
- Calculo a derivada de
:
- Para garantir convergência precisamos de
na região onde iteramos. Vou trabalhar na vizinhança da raiz que está entre e (há uma raiz aí porque e ). Tomemos por exemplo o intervalo (que contém a raiz aproximada). - No intervalo
temos
Logo
é contração nessa vizinhança e a iteração deve convergir se eu começar com
dentro desse intervalo.
Passo 4
Escolho o chute inicial
, que está dentro do intervalo onde
é contração e próximo da mudança de sinal identificada. Agora aplico a iteração
até
. Vou mostrar cada passo de cálculo de forma mastigada.
Passo 5
Cálculos das iterações (mostrando os cálculos aproximados passo a passo):
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
- Iteração 2 → 3:
- Iteração 3 → 4:
Em cada passo calculei
arredondando razoavelmente para manter as contas feitas “na prova” sem calculadora de alta precisão.
Passo 6
Agora aplico o critério de parada: comparar
com
.
-
(não para). -
(não para). -
(não para). -
— critério satisfeito.
Portanto a iteração pode ser interrompida em
, pois a diferença entre iteradas consecutivas já é menor que
.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida: obtivemos a aproximação
(com convergência garantida pela condição
na vizinhança). Para apresentar a resposta com a precisão exigida do problema (limiar
), basta arredondar a três casas decimais.