Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Aproxime a raiz através do método de Newton-Raphson.
Aproxime a raiz através do método de Newton-Raphson.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para aproximar a(s) raiz(es) usando o método de Newton–Raphson com limiar de erro
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não foi dado chute inicial; o objetivo é aplicar Newton–Raphson e obter aproximações de raízes até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que
.
Passo 2
Vou explicar o método de Newton–Raphson de forma clara e simples. A ideia é aproximar
por sua reta tangente em um ponto
e usar a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação
.
A reta tangente a
em
tem equação (linearização)
Se quisermos a raiz dessa reta (ou seja, aproximar
), igualamos a zero e resolvemos em
:
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é a próxima aproximação; -
é a derivada de .
Para o nosso polinômio calculamos a derivada:
Critério de parada que usaremos: parar quando
(Essa é uma escolha prática: garante que a aproximação não muda mais do que o limiar pedido entre iterações.)]
Passo 3
Antes de aplicar o método, é útil localizar intervalos onde
muda de sinal para escolher chutes iniciais próximos a raízes reais. Avalio
em alguns pontos inteiros:
Com isso vemos mudanças de sinal em
, em
e em
. Isso indica três raízes reais, uma em cada intervalo. Vou escolher chutes iniciais simples dentro desses intervalos:
- para a raiz em
tomo ; - para a raiz em
tomo ; - para a raiz em
tomo .
Agora aplico Newton–Raphson separadamente para cada chute, mostrando as iterações até atingir
.
Passo 4
Começo com
.
Cálculos:
Aplicando a fórmula:
Segunda iteração:
Diferença entre as últimas iterações:
logo o critério de parada foi satisfeito. Aproximação final para esta raiz:
Passo 5
Começo com
.
Primeira iteração:
Segunda iteração:
Terceira iteração:
Diferença entre as últimas iterações:
critério satisfeito. Aproximação final para esta raiz:
Passo 6
Começo com
.
Primeira iteração:
Segunda iteração:
Terceira iteração:
Quarta iteração:
Quinta iteração:
Diferença entre as últimas iterações:
critério satisfeito. Aproximação final para esta raiz: