Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Aproxime a raiz através do método de Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,f(x)=x^{3}-5x+3\, e pede para aproximar a(s) raiz(es) usando o método de Newton–Raphson com limiar de erro \,10^{-3}\,.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{função: } f(x)=x^{3}-5x+3,çã
\text{tolerância: } \varepsilon=10^{-3}.â
Não foi dado chute inicial; o objetivo é aplicar Newton–Raphson e obter aproximações de raízes até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que \varepsilon.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton–Raphson de forma clara e simples. A ideia é aproximar f por sua reta tangente em um ponto x_{n} e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}.
A reta tangente a f em x_{n} tem equação (linearização)
f(x)\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n}).
Se quisermos a raiz dessa reta (ou seja, aproximar f(x)=0), igualamos a zero e resolvemos em x:
0\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n}) \quad\Rightarrow\quad \[ \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação;
  • f'(x) é a derivada de f.
Para o nosso polinômio calculamos a derivada:
f'(x)=3x^{2}-5.
Critério de parada que usaremos: parar quando
|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon=10^{-3}.
(Essa é uma escolha prática: garante que a aproximação não muda mais do que o limiar pedido entre iterações.)]

Passo 3

Antes de aplicar o método, é útil localizar intervalos onde f muda de sinal para escolher chutes iniciais próximos a raízes reais. Avalio f em alguns pontos inteiros:
f(-3)=(-3)^{3}-5(-3)+3=-27+15+3=-9,
f(-2)=(-2)^{3}-5(-2)+3=-8+10+3=5,
f(0)=0-0+3=3,
f(1)=1-5+3=-1,
f(2)=8-10+3=1.
Com isso vemos mudanças de sinal em (-3,-2), em (0,1) e em (1,2). Isso indica três raízes reais, uma em cada intervalo. Vou escolher chutes iniciais simples dentro desses intervalos:
  • para a raiz em (-3,-2) tomo x_{0}=-2{,}5;
  • para a raiz em (0,1) tomo x_{0}=0{,}5;
  • para a raiz em (1,2) tomo x_{0}=1{,}5.
Agora aplico Newton–Raphson separadamente para cada chute, mostrando as iterações até atingir \varepsilon.

Passo 4

Começo com x_{0}=-2{,}5.
Cálculos:
f(-2{,}5)=(-2{,}5)^{3}-5(-2{,}5)+3=-15{,}625+12{,}5+3=-0{,}125,
f'(-2{,}5)=3(-2{,}5)^{2}-5=3\cdot6{,}25-5=18{,}75-5=13{,}75.
Aplicando a fórmula:
x_{1}= -2{,}5 - \frac{-0{,}125}{13{,}75} = -2{,}5 + 0{,}0090909\ldots = -2{,}4909091.
Segunda iteração:
f(-2{,}4909091)\approx -0{,}003185\quad(\text{cálculo direto da expressão}),áã
f'(-2{,}4909091)\approx 13{,}61686.
x_{2}= -2{,}4909091 - \frac{-0{,}003185}{13{,}61686} \approx -2{,}4909091 + 0{,}000234 \approx -2{,}4906751.
Diferença entre as últimas iterações:
|x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}000234 < 10^{-3},
logo o critério de parada foi satisfeito. Aproximação final para esta raiz:
x\approx -2{,}4907\quad(\text{arredondado a }4\text{ casas decimais}).

Passo 5

Começo com x_{0}=0{,}5.
Primeira iteração:
f(0{,}5)=0{,}125-2{,}5+3=0{,}625,
f'(0{,}5)=3\cdot(0{,}5)^{2}-5=0{,}75-5=-4{,}25.
x_{1}=0{,}5 - \frac{0{,}625}{-4{,}25}=0{,}5 +0{,}1470588\ldots =0{,}6470588.
Segunda iteração:
f(0{,}6470588)\approx 0{,}035505,\quad f'(0{,}6470588)\approx -3{,}746.
x_{2}=0{,}6470588 - \frac{0{,}035505}{-3{,}746}\approx 0{,}6470588 +0{,}00948\approx 0{,}6565388.
Terceira iteração:
f(0{,}6565388)\approx -0{,}000496,\quad f'(0{,}6565388)\approx -3{,}70975.
x_{3}=0{,}6565388 - \frac{-0{,}000496}{-3{,}70975}=0{,}6565388 -0{,}000134\approx 0{,}6564048.
Diferença entre as últimas iterações:
|x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}000134 < 10^{-3},
critério satisfeito. Aproximação final para esta raiz:
x\approx 0{,}6564\quad(\text{arredondado a }4\text{ casas decimais}).

Passo 6

Começo com x_{0}=1{,}5.
Primeira iteração:
f(1{,}5)=3{,}375-7{,}5+3=-1{,}125,\quad f'(1{,}5)=3\cdot(1{,}5)^{2}-5=6{,}75-5=1{,}75.
x_{1}=1{,}5-\frac{-1{,}125}{1{,}75}=1{,}5+0{,}642857\ldots=2{,}142857.
Segunda iteração:
f(2{,}142857)\approx 2{,}135275,\quad f'(2{,}142857)\approx 8{,}775511,
x_{2}=2{,}142857 - \frac{2{,}135275}{8{,}775511}\approx 2{,}142857 -0{,}24338\approx 1{,}89948.
Terceira iteração:
f(1{,}89948)\approx 0{,}35597,\quad f'(1{,}89948)\approx 5{,}82407,
x_{3}=1{,}89948 - \frac{0{,}35597}{5{,}82407}\approx 1{,}89948 -0{,}06113\approx 1{,}83835.
Quarta iteração:
f(1{,}83835)\approx 0{,}02080,\quad f'(1{,}83835)\approx 5{,}13858,
x_{4}=1{,}83835 - \frac{0{,}02080}{5{,}13858}\approx 1{,}83835 -0{,}00405\approx 1{,}83430.
Quinta iteração:
f(1{,}83430)\approx 0{,}000224,\quad f'(1{,}83430)\approx 5{,}09392,
x_{5}=1{,}83430 - \frac{0{,}000224}{5{,}09392}\approx 1{,}83430 -0{,}000044\approx 1{,}83426.
Diferença entre as últimas iterações:
|x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}000044 < 10^{-3},
critério satisfeito. Aproximação final para esta raiz:
x\approx 1{,}8343\quad(\text{arredondado a }4\text{ casas decimais}).

Resposta

-2{,}4907
0{,}6564
1{,}8343

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