Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Aproxime a raiz através do método das secantes.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio e pede que eu aproxime uma raiz usando o método das secantes com limiar de erro 10^{-3}. Informações relevantes fornecidas:
f(x)=x^3-5x+3=0
Limiar de erro: 10^{-3}.
Pergunta explícita: aproximar (uma) raiz de f(x)=0 pelo método das secantes com precisão até o limiar 10^{-3}.
Observação útil (apenas informações do enunciado e da função, sem resolver ainda): avaliando sinais notamos que
f(1)= -1,\qquad f(2)=1,
portanto há uma raiz no intervalo (1,2). Vou aproximar essa raiz, iniciando as secantes em x_0=1 e x_1=2.

Passo 2

O que é e como funciona o método das secantes (aula curta e prática):
  • Objetivo: encontrar x tal que f(x)=0 sem usar a derivada f'(x) (ao contrário do método de Newton).
  • Ideia: aproximar a curva por uma reta que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) — essa reta é a secante — e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula da iteração (derivada da equação da reta; explico as variáveis abaixo):
x_{n+1}=x_n-f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • x_{n-1} e x_n são as duas aproximações mais recentes;
  • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} é a inversa da inclinação da secante;
  • o produto f(x_n) vezes esse quociente desloca x_n até a interseção com o eixo x.

Passo 3

Critério de paragem (decisão didática): vou usar como critério
|x_{n+1}-x_n|<10^{-3},
ou seja, paro quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que 10^{-3}. Este critério é prático na prova e está de acordo com o limiar pedido.

Passo 4

Preparação: valores iniciais e avaliação da função.
x_0=1,\qquad x_1=2.
Calculo f nesses pontos:
f(1)=1^3-5\cdot1+3=-1,
f(2)=2^3-5\cdot2+3=8-10+3=1.

Passo 5

Primeira iteração: calcular x_2 pela fórmula da secante usando x_0 e x_1.
x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} =2 - 1\cdot\frac{2-1}{1-(-1)}=2-\frac{1}{2}=1,5.

Passo 6

Avalio f em x_2:
f(1,5)=1,5^3-5\cdot1,5+3=3,375-7,5+3=-1,125.

Passo 7

Segunda iteração: calcule x_3 usando x_1=2 e x_2=1,5.
x_3 = x_2 - f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)} =1,5 - (-1,125)\frac{1,5-2}{-1,125-1}.
Calcule passo a passo:
1,5-2=-0,5,\qquad -1,125-1=-2,125,
\frac{1,5-2}{-1,125-1}=\frac{-0,5}{-2,125}=0,235294117647\ldots
-1,125\cdot 0,235294117647\ldots = -0,2647058823529\ldots
x_3=1,5 - (-0,2647058823529\ldots)=1,7647058823529\ldots
Observação: é conveniente reconhecer que x_3=\dfrac{30}{17}\approx 1,764705882.

Passo 8

Avalio f em x_3=\dfrac{30}{17}. Cálculo exato útil para entender a precisão:
f\!\Big(\frac{30}{17}\Big)=\Big(\frac{30}{17}\Big)^3-5\cdot\frac{30}{17}+3 =\frac{27000}{4913}-\frac{43350}{4913}+\frac{14739}{4913}=\frac{-1611}{4913}\approx -0,327931.

Passo 9

Terceira iteração: calcule x_4 usando x_2=1,5 e x_3\approx1,764705882.
x_4 = x_3 - f(x_3)\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Números aproximados:
x_3-x_2\approx 0,264705882,\qquad f(x_3)\approx -0,327931,\qquad f(x_2)=-1,125,
f(x_3)-f(x_2)\approx -0,327931 - (-1,125)=0,797069,
\text{fração}=\frac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}\approx\frac{-0,327931\cdot0,264705882}{0,797069}\approx -0,108935,çã
x_4\approx 1,764705882 - (-0,108935)=1,873640882\approx 1,873641.

Passo 10

Avalio f em x_4\approx1,873641:
f(1,873641)\approx 1,873641^3-5\cdot1,873641+3\approx 0,211006.
(positivo, como esperado pois sinal trocou entre x_3 negativo e x_4 positivo)

Passo 11

Quarta iteração: calcule x_5 usando x_3 e x_4:
x_5 = x_4 - f(x_4)\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}.
Substituindo os valores aproximados:
x_4-x_3\approx 0,108935,\qquad f(x_4)\approx 0,211006,\qquad f(x_3)\approx -0,327931,
f(x_4)-f(x_3)\approx 0,538937,\qquad \text{fração}\approx\frac{0,211006\cdot0,108935}{0,538937}\approx 0,04267,çã
x_5\approx 1,873641 - 0,04267 = 1,830971.

Passo 12

Avalio f em x_5\approx1,830971:
f(1,830971)\approx 1,830971^3-5\cdot1,830971+3\approx -0,018076.
(agora negativo)

Passo 13

Quinta iteração: calcule x_6 usando x_4 e x_5:
x_6 = x_5 - f(x_5)\frac{x_5-x_4}{f(x_5)-f(x_4)}.
Números:
x_5-x_4\approx -0,04267,\qquad f(x_5)\approx -0,018076,\qquad f(x_4)\approx 0,211006,
f(x_5)-f(x_4)\approx -0,229082,\qquad \text{fração}\approx\frac{-0,018076\cdot(-0,04267)}{-0,229082}\approx -0,003366,çã
x_6\approx 1,830971 - (-0,003366)=1,834337.
Diferença entre x_6 e x_5:
|x_6-x_5|\approx 0,003366>10^{-3},
logo ainda não atingimos o limiar.

Passo 14

Avalio f em x_6\approx1,834337:
f(1,834337)\approx 1,834337^3-5\cdot1,834337+3\approx -0,003593.

Passo 15

Sexta iteração: calcule x_7 usando x_5 e x_6:
x_7 = x_6 - f(x_6)\frac{x_6-x_5}{f(x_6)-f(x_5)}.
Números:
x_6-x_5\approx 0,003366,\qquad f(x_6)\approx -0,003593,\qquad f(x_5)\approx -0,018076,
f(x_6)-f(x_5)\approx 0,014483,\qquad \text{fração}\approx\frac{-0,003593\cdot0,003366}{0,014483}\approx -0,0008353,çã
x_7\approx 1,834337 - (-0,0008353)=1,8351723.
Calcule a diferença para ver o critério:
|x_7-x_6|\approx 0,0008353<10^{-3}.
Portanto o critério de paragem foi satisfeito nesta iteração.

Resposta

x\approx 1,83517

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