Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Aproxime a raiz através do método das secantes.
Aproxime a raiz através do método das secantes.
Passo 1
O enunciado dá o polinómio e pede que eu aproxime uma raiz usando o método das secantes com limiar de erro
. Informações relevantes fornecidas:
Limiar de erro:
.
Pergunta explícita: aproximar (uma) raiz de
pelo método das secantes com precisão até o limiar
.
Observação útil (apenas informações do enunciado e da função, sem resolver ainda): avaliando sinais notamos que
portanto há uma raiz no intervalo
. Vou aproximar essa raiz, iniciando as secantes em
e
.
Passo 2
O que é e como funciona o método das secantes (aula curta e prática):
- Objetivo: encontrar
tal que sem usar a derivada (ao contrário do método de Newton). - Ideia: aproximar a curva por uma reta que passa por dois pontos
e — essa reta é a secante — e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula da iteração (derivada da equação da reta; explico as variáveis abaixo):
Aqui:
-
e são as duas aproximações mais recentes; -
e são os valores da função nesses pontos; - o quociente
é a inversa da inclinação da secante; - o produto
vezes esse quociente desloca até a interseção com o eixo .
Passo 3
Critério de paragem (decisão didática): vou usar como critério
ou seja, paro quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que
. Este critério é prático na prova e está de acordo com o limiar pedido.
Passo 4
Preparação: valores iniciais e avaliação da função.
Calculo
nesses pontos:
Passo 5
Primeira iteração: calcular
pela fórmula da secante usando
e
.
Passo 6
Avalio
em
:
Passo 7
Segunda iteração: calcule
usando
e
.
Calcule passo a passo:
Observação: é conveniente reconhecer que
.
Passo 8
Avalio
em
. Cálculo exato útil para entender a precisão:
Passo 9
Terceira iteração: calcule
usando
e
.
Números aproximados:
Passo 10
Avalio
em
:
(positivo, como esperado pois sinal trocou entre
negativo e
positivo)
Passo 11
Quarta iteração: calcule
usando
e
:
Substituindo os valores aproximados:
Passo 12
Avalio
em
:
(agora negativo)
Passo 13
Quinta iteração: calcule
usando
e
:
Números:
Diferença entre
e
:
logo ainda não atingimos o limiar.
Passo 14
Avalio
em
:
Passo 15
Sexta iteração: calcule
usando
e
:
Números:
Calcule a diferença para ver o critério:
Portanto o critério de paragem foi satisfeito nesta iteração.