Considere o polinômio
com limiar de erro
.
Prove que esse polinômio possui apenas uma raiz no intervalo
.
Prove que esse polinômio possui apenas uma raiz no intervalo
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para provar que ele possui apenas uma raiz no intervalo
. O enunciado também informa um limiar de erro
(vou usar isso mais adiante se quisermos aproximar numericamente a raiz). Resumo das informações relevantes que temos agora:
Pergunta que vamos responder: provar que existe exatamente uma raiz de
em
.
Passo 2
Primeiro passo lógico: mostrar que existe pelo menos uma raiz em
. Para isso vou calcular os valores de
nas extremidades do intervalo:
Note que
e
, então
. Agora uso o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano): se uma função é contínua num intervalo
e os valores em
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
. Como
é um polinômio, é contínua em toda a reta; portanto, por Bolzano existe pelo menos uma raiz
com
.
Explicação didática do Teorema do Valor Intermediário (curta e prática): polinômios não apresentam saltos ou buracos; se num extremo o valor é positivo e no outro é negativo, o gráfico tem que “atravessar” o eixo
em algum ponto entre eles — esse ponto é a raiz que garantimos existir.
Passo 3
Agora vou mostrar que não pode haver mais do que uma raiz em
. Para isso uso o teste da derivada para monotonicidade. Calculo a derivada de
:
Analisar o sinal de
em
: para
temos
, logo
Portanto, para todo
vale
. Conclusão:
em todo o intervalo
.
Explicação didática do porquê isso importa: se a derivada de uma função é estritamente negativa em um intervalo, a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma função estritamente decrescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos — em particular, não pode ter duas raízes diferentes. Em termos simples: se fosse existir duas raízes
, como a função é decrescente teríamos
, o que contradiz
.
Portanto
é estritamente decrescente em
e assim pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores: pelo Passo 2 sabemos que existe pelo menos uma raiz em
; pelo Passo 3 sabemos que há no máximo uma raiz em
. Combinando “pelo menos uma” e “no máximo uma” obtemos que existe exatamente uma raiz em
. Isso conclui a prova da unicidade e existência da raiz.
Um comentário encorajador: foi tudo muito sistemático — sinais nas extremidades para garantir existência, derivada para garantir monotonicidade e unicidade. Esse é um caminho padrão para provar “exatamente uma raiz” em intervalos finitos para polinômios.
Passo 5
(Se quiser aproximar numericamente essa raiz até o limiar
usando um método que funciona sem cálculo pesado — por exemplo, o método da bisseção — aqui está como proceder e por que sabemos quantas iterações são necessárias.)
Bisseção: começamos com o intervalo
onde
. A cada iteração tomamos o ponto médio
e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde há mudança de sinal. O comprimento do intervalo após
iterações é
. Para garantir erro absoluto menor que
(ou seja, o valor aproximado a partir do centro do último intervalo difere da verdadeira raiz por menos que
), precisamos de
, isto é
. Logo o número mínimo de iterações é
porque
. Assim, 10 iterações de bisseção já bastam para aproximar a raiz com erro menor que
.
Exemplo rápido de algumas iterações iniciais (ilustrativas, com arredondamentos):
Médio 1:
,
→ trocamos o extremo esquerdo por
.
Médio 2: ,
→ trocamos o extremo direito por
.
Agora o intervalo é . Seguindo até 10 iterações obtemos uma aproximação com precisão
. Fazendo as contas (ou executando as 10 bisseções) chega-se à aproximação
Médio 2:
Agora o intervalo é
Isso só é um complemento: a prova de existência e unicidade já estava completa nos passos anteriores.
Resposta
O polinômio possui exatamente uma raiz em
.