Considere o polinômio \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{5 x}+\mathbf{3}=\mathbf{0} com limiar de erro 10^{-\mathbf{3}}.
Prove que esse polinômio possui apenas uma raiz no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f(x)=x^{3}-5x+3 e pede para provar que ele possui apenas uma raiz no intervalo [0,1]. O enunciado também informa um limiar de erro \,10^{-3}\, (vou usar isso mais adiante se quisermos aproximar numericamente a raiz). Resumo das informações relevantes que temos agora:
\text{Dado: } f(x)=x^{3}-5x+3,\qquad \text{intervalo: }[0,1],\qquad \text{tolerância: }10^{-3}.â
Pergunta que vamos responder: provar que existe exatamente uma raiz de f em [0,1].

Passo 2

Primeiro passo lógico: mostrar que existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Para isso vou calcular os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0)=0^{3}-5\cdot 0+3=3,
f(1)=1^{3}-5\cdot1+3=1-5+3=-1.
Note que f(0)=3>0 e f(1)=-1<0, então f(0)\cdot f(1)<0. Agora uso o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano): se uma função é contínua num intervalo [a,b] e os valores em a e b têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Como f é um polinômio, é contínua em toda a reta; portanto, por Bolzano existe pelo menos uma raiz c com c\in(0,1).
Explicação didática do Teorema do Valor Intermediário (curta e prática): polinômios não apresentam saltos ou buracos; se num extremo o valor é positivo e no outro é negativo, o gráfico tem que “atravessar” o eixo x em algum ponto entre eles — esse ponto é a raiz que garantimos existir.

Passo 3

Agora vou mostrar que não pode haver mais do que uma raiz em [0,1]. Para isso uso o teste da derivada para monotonicidade. Calculo a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-5x+3)=3x^{2}-5.
Analisar o sinal de f' em [0,1]: para x\in[0,1] temos x^{2}\le 1, logo
3x^{2}-5 \le 3\cdot 1 -5 = -2.
Portanto, para todo x\in[0,1] vale f'(x)\le -2<0. Conclusão: f'(x)<0 em todo o intervalo [0,1].
Explicação didática do porquê isso importa: se a derivada de uma função é estritamente negativa em um intervalo, a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma função estritamente decrescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos — em particular, não pode ter duas raízes diferentes. Em termos simples: se fosse existir duas raízes x_1<x_2, como a função é decrescente teríamos f(x_1)>f(x_2), o que contradiz f(x_1)=f(x_2)=0.
Portanto f é estritamente decrescente em [0,1] e assim pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores: pelo Passo 2 sabemos que existe pelo menos uma raiz em [0,1]; pelo Passo 3 sabemos que há no máximo uma raiz em [0,1]. Combinando “pelo menos uma” e “no máximo uma” obtemos que existe exatamente uma raiz em [0,1]. Isso conclui a prova da unicidade e existência da raiz.
Um comentário encorajador: foi tudo muito sistemático — sinais nas extremidades para garantir existência, derivada para garantir monotonicidade e unicidade. Esse é um caminho padrão para provar “exatamente uma raiz” em intervalos finitos para polinômios.

Passo 5

(Se quiser aproximar numericamente essa raiz até o limiar \,10^{-3}\, usando um método que funciona sem cálculo pesado — por exemplo, o método da bisseção — aqui está como proceder e por que sabemos quantas iterações são necessárias.)
Bisseção: começamos com o intervalo [a_0,b_0]=[0,1] onde f(a_0)f(b_0)<0. A cada iteração tomamos o ponto médio m_k=(a_k+b_k)/2 e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde há mudança de sinal. O comprimento do intervalo após n iterações é (b_0-a_0)/2^{n}=1/2^{n}. Para garantir erro absoluto menor que \,10^{-3}\, (ou seja, o valor aproximado a partir do centro do último intervalo difere da verdadeira raiz por menos que \,10^{-3}\,), precisamos de 1/2^{n}\le 10^{-3}, isto é 2^{n}\ge 1000. Logo o número mínimo de iterações é
n=\left\lceil\log_{2}(1000)\right\rceil=10,
porque 2^{10}=1024\ge 1000. Assim, 10 iterações de bisseção já bastam para aproximar a raiz com erro menor que \,10^{-3}\,.
Exemplo rápido de algumas iterações iniciais (ilustrativas, com arredondamentos):
f(0)=3>0,\qquad f(1)=-1<0.
Médio 1: m_1=0,5, f(0,5)=0,125-2,5+3=0,625>0 → trocamos o extremo esquerdo por 0,5.
Médio 2: m_2=0,75, f(0,75)=0,421875-3,75+3=-0,328125<0 → trocamos o extremo direito por 0,75.
Agora o intervalo é [0,5,0,75]. Seguindo até 10 iterações obtemos uma aproximação com precisão \,10^{-3}\,. Fazendo as contas (ou executando as 10 bisseções) chega-se à aproximação
x\approx 0,657\quad(\text{erro}<10^{-3}).
Isso só é um complemento: a prova de existência e unicidade já estava completa nos passos anteriores.

Resposta

O polinômio possui exatamente uma raiz em [0,1].

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