Considere um ponto crítico localizado na superfície de um eixo de máquina que está sujeito a um carregamento combinado, resultando no seguinte estado tridimensional de tensões:
Tensão normal na direção \times\left(\sigma_{\mathrm{x}}\right): 50 \mathrm{MPa}
Tensão normal na direção y ( \sigma_{\mathrm{y}} ): -20 MPa (Compressão)
Tensão normal na direção \mathrm{z}\left(\sigma_{\mathrm{z}}\right): 10 \mathrm{MPa}
Tensão cisalhante no plano \mathrm{XY}\left(\tau_{\mathrm{xy}}\right): 30 \mathrm{MPa}
Tensão cisalhante no plano XZ ( \tau_{\mathrm{xz}} ): - 15 MPa
Tensão cisalhante no plano \mathrm{YZ}\left(\tau_{\mathrm{yz}}\right): 25 \mathrm{MPa}
Utilizando a metodologia do Círculo de Mohr para análise 3D, determine:
Passo 1
O enunciado fornece o estado tridimensional de tensões num ponto (peguei estes valores do enunciado):
O enunciado pede, usando a metodologia do Círculo de Mohr 3D, determinar os resultados essenciais do problema. Vou interpretar isso como pedir:
As tensões principais (\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) e seus valores numéricos.
As direções principais (autovetores unitários correspondentes a cada \sigma_i).
As maiores tensões de cisalhamento (valores) — especialmente a máxima tensão de cisalhamento absoluta no estado 3D.
(Opcionalmente) os invariantes do tensor de tensões, porque eles aparecem natural e diretamente na análise via Mohr 3D.
A partir daqui começo a resolução passo a passo, explicando os conceitos que uso.
Passo 2
Montar o tensor de tensões e ligação com Mohr 3D.
Explicação rápida e concreta do que é feito: em 3D o estado de tensões num ponto é representado por uma matriz simétrica 3\times3. As tensões principais são os autovalores (eigenvalues) dessa matriz; as direções principais são os autovetores. O Círculo de Mohr 3D corresponde a três círculos que relacionam pares de tensões principais (\sigma_i,\sigma_j); as tensões principais surgem resolvendo o polinômio característico (determinante).
O tensor de tensões (matriz) usando a convenção usual (componentes fora da diagonal iguais às tensões de cisalhamento dadas) é:
Cálculo dos invariantes (úteis para o polinômio característico).
Definição e por que uso: os invariantes I_1,I_2,I_3 são combinações das componentes da tensão que permanecem inalteradas por rotações do sistema de eixos; aparecem diretamente no polinômio característico \lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3=0, cujas raízes \lambda são as tensões principais.
A equação característica cuja solução dá as tensões principais \sigma_i é
\lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3 = 0,
ou seja
\lambda^3 - 40\lambda^2 -2450\lambda +68250 = 0.
Explicação didática: cada raiz \lambda desse polinômio é uma tensão principal. Não há atalho mágico: ou se resolve numericamente o polinômio cúbico, ou se usa fórmulas fechadas (que são longas) — na prova normalmente aceitarão método numérico bem explicado ou uso das invariantes + fatoração por tentativa se houver raiz racional. Vou resolver numericamente de forma estável e mostrada passo a passo (método por busca de uma raiz real e divisão polinomial para reduzir ao quadrático).
Passo 5
Encontrar uma raiz real do polinômio (primeira tensão principal).
Observação: por teorema, para matriz simétrica 3×3 há sempre 3 autovalores reais. Vou procurar um intervalo onde a função muda de sinal e usar interpolação/iteração para uma boa aproximação.
Como f(60)<0 e f(62)>0, existe uma raiz entre 60 e 62. Usando interpolação linear e refino (método da secante / iteração curta) obtemos aproximação:
\lambda_1 \approx 61{,}775\\ \text{MPa}.
(Detalhe do refinamento: interpolando entre 61{,}6 e 61{,}88 e ajustando, cheguei em 61{,}775 com erro residual pequeno; este valor torna f(\lambda) praticamente zero considerando arredondamento.)
Passo 6
Dividir o polinômio pelo fator (\lambda-\lambda_1) para obter o quadrático remanescente e achar as outras duas tensões principais.
Faço a divisão sintética com \lambda_1\approx 61{,}775. Coeficientes do polinômio original: 1,\\\ -40,\\\ -2450,\\\ 68250.
Após a divisão sintética obtém-se o polinômio quadrático aproximado:
\lambda^2 + 21{,}775\lambda -1104{,}9 \approx 0.
Agora resolvendo esse quadrático (fórmula de Bhaskara):
Comentário de verificação rápida: os três valores satisfazem aproximadamente as relações dos invariantes: \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\approx40 e \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3\approx -2450 e \lambda_1\lambda_2\lambda_3\approx -68250. Isso confirma a consistência numérica.
Interpretação via Círculo de Mohr 3D (ligando com os resultados numéricos).
Conceito prático: em 3D temos três círculos de Mohr para os pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3), (\sigma_1,\sigma_3). O centro do círculo referente ao par (\sigma_i,\sigma_j) fica em \dfrac{\sigma_i+\sigma_j}{2} no eixo \sigma; o raio é \dfrac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}. A maior tensão de cisalhamento absoluta no estado tridimensional é \dfrac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} = \dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}. Vou calcular isso no Passo 9; antes disso precisamos das direções principais.
Passo 8
Cálculo das direções principais (autovetores) — explicação e procedimento.
Explicação: para cada tensão principal \sigma_i resolvemos o sistema homogêneo
onde \mathbf{v}_i é o autovetor associado. Como a matriz é simétrica, os autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Vou resolver os sistemas aproximadamente e normalizar os vetores (transformando em vetores unitários, que são mais fáceis de interpretar como direções).
Resolve-se o sistema linear; escolhendo z=1 como variável livre e resolvendo pelas outras equações (método prático manual), obtém-se um autovetor proporcional a
Verificação: \hat{\mathbf{v}}_i\cdot\hat{\mathbf{v}}_j\approx0 para i\ne j (ortogonalidade aproximada), o que é esperado para uma matriz simétrica.
Interpretação: cada \hat{\mathbf{v}}_i dá a direção no espaço (cosenos diretores) da respectiva tensão principal \sigma_i. Por exemplo \hat{\mathbf{v}}_1 tem componente x negativa grande, componente y negativa moderada e componente z pequena positiva — indica que a direção principal associada à maior tensão está inclinada em direção negativa dos eixos x e y e leve componente positiva em z.]
Passo 9
Cálculo das tensões de cisalhamento máximas (valores nos círculos de Mohr) e a máxima tensão de cisalhamento absoluta.
Em 3D, as tensões de cisalhamento máximas entre cada par de tensões principais são:
Observação física: essa máxima ocorre em planos orientados a 45^\circ entre as direções principais correspondentes a \sigma_1 e \sigma_3 (no espaço, as direções da máxima cisalha são combinações lineares apropriadas dos autovetores \hat{\mathbf{v}}_1 e \hat{\mathbf{v}}_3).
Passo 10
Resumo final e checagens rápidas (motivação e confiança).
Cheque rápido: as três tensões principais somam 40 (confere I_1), e as combinações \sigma_1\sigma_2+\sigma_1\sigma_3+\sigma_2\sigma_3 e \sigma_1\sigma_2\sigma_3 aproximam os invariantes I_2 e I_3 calculados — isso dá confiança nos valores numéricos.
Interpretando pelo Círculo de Mohr 3D: os três círculos têm centros \frac{\sigma_i+\sigma_j}{2} e raios \frac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}; o maior raio é \tau_{13} e corresponde à maior cisalha.
Força aí — é normal ficar nervoso com muitos números; a ideia prática para a prova é: monte a matriz, calcule invariantes (fáceis), resolva o cúbico (ou ache uma raiz por tentativa e divida), depois calcule autovetores. Se ficar sem tempo, os invariantes já permitem checar possíveis respostas.