Considere um ponto crítico localizado na superfície de um eixo de máquina que está sujeito a um carregamento combinado, resultando no seguinte estado tridimensional de tensões:
  • Tensão normal na direção \times\left(\sigma_{\mathrm{x}}\right): 50 \mathrm{MPa}
  • Tensão normal na direção y ( \sigma_{\mathrm{y}} ): -20 MPa (Compressão)
  • Tensão normal na direção \mathrm{z}\left(\sigma_{\mathrm{z}}\right): 10 \mathrm{MPa}
  • Tensão cisalhante no plano \mathrm{XY}\left(\tau_{\mathrm{xy}}\right): 30 \mathrm{MPa}
  • Tensão cisalhante no plano XZ ( \tau_{\mathrm{xz}} ): - 15 MPa
  • Tensão cisalhante no plano \mathrm{YZ}\left(\tau_{\mathrm{yz}}\right): 25 \mathrm{MPa}
Utilizando a metodologia do Círculo de Mohr para análise 3D, determine:

Passo 1

O enunciado fornece o estado tridimensional de tensões num ponto (peguei estes valores do enunciado):
  • \sigma_{\mathrm{x}}=50\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_{\mathrm{y}}=-20\\ \mathrm{MPa} (compressão)
  • \sigma_{\mathrm{z}}=10\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{\mathrm{xy}}=30\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{\mathrm{xz}}=-15\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{\mathrm{yz}}=25\\ \mathrm{MPa}
O enunciado pede, usando a metodologia do Círculo de Mohr 3D, determinar os resultados essenciais do problema. Vou interpretar isso como pedir:
  1. As tensões principais ( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) e seus valores numéricos.
  2. As direções principais (autovetores unitários correspondentes a cada \sigma_i).
  3. As maiores tensões de cisalhamento (valores) — especialmente a máxima tensão de cisalhamento absoluta no estado 3D.
  4. (Opcionalmente) os invariantes do tensor de tensões, porque eles aparecem natural e diretamente na análise via Mohr 3D.
A partir daqui começo a resolução passo a passo, explicando os conceitos que uso.

Passo 2

Montar o tensor de tensões e ligação com Mohr 3D.
Explicação rápida e concreta do que é feito: em 3D o estado de tensões num ponto é representado por uma matriz simétrica 3\times3. As tensões principais são os autovalores (eigenvalues) dessa matriz; as direções principais são os autovetores. O Círculo de Mohr 3D corresponde a três círculos que relacionam pares de tensões principais (\sigma_i,\sigma_j); as tensões principais surgem resolvendo o polinômio característico (determinante).
O tensor de tensões (matriz) usando a convenção usual (componentes fora da diagonal iguais às tensões de cisalhamento dadas) é:
\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 & 30 & -15 \\\\ 30 & -20 & 25 \\\\ -15 & 25 & 10 \end{pmatrix}\\ \text{(MPa).}

Passo 3

Cálculo dos invariantes (úteis para o polinômio característico).
Definição e por que uso: os invariantes I_1,I_2,I_3 são combinações das componentes da tensão que permanecem inalteradas por rotações do sistema de eixos; aparecem diretamente no polinômio característico \lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3=0, cujas raízes \lambda são as tensões principais.
Calculemos:
  • Primeiro invariante (traço):
I_1 = \operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z = 50 + (-20) + 10 = 40\\ \text{MPa}.
  • Segundo invariante (soma dos menores principais de ordem 2):
I_2 = \sigma_x\sigma_y + \sigma_x\sigma_z + \sigma_y\sigma_z - (\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2).
Calculando termo a termo:
\sigma_x\sigma_y = 50\cdot(-20) = -1000,
\sigma_x\sigma_z = 50\cdot10 = 500,
\sigma_y\sigma_z = -20\cdot10 = -200,
soma destas três: -1000+500-200=-700.
Agora os quadrados dos cisalhantes:
\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2 = 30^2 + (-15)^2 + 25^2 = 900 + 225 + 625 = 1750.
Logo
I_2 = -700 - 1750 = -2450\\ \text{MPa}^2.
  • Terceiro invariante (determinante da matriz):
I_3 = \det(\boldsymbol{\sigma}).
Calculemos o determinante (expansão por cofatores):
I_3 = 50\big((-20)(10)-25^2\big) -30\big(30\cdot10 - (-15)\cdot25\big) +(-15)\big(30\cdot25 - (-20)(-15)\big).
Avaliação:
(-20)(10)-25^2=-200-625=-825,\quad 50\cdot(-825)=-41250,
30\cdot10 -(-15)\cdot25=300+375=675,\quad -30\cdot675=-20250,
30\cdot25 -(-20)(-15)=750-300=450,\quad -15\cdot450=-6750.
Somando:
I_3 = -41250 -20250 -6750 = -68250\\ \text{MPa}^3.
Resumo dos invariantes:
I_1=40,\qquad I_2=-2450,\qquad I_3=-68250.

Passo 4

Polinômio característico e interpretação.
A equação característica cuja solução dá as tensões principais \sigma_i é
\lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3 = 0,
ou seja
\lambda^3 - 40\lambda^2 -2450\lambda +68250 = 0.
Explicação didática: cada raiz \lambda desse polinômio é uma tensão principal. Não há atalho mágico: ou se resolve numericamente o polinômio cúbico, ou se usa fórmulas fechadas (que são longas) — na prova normalmente aceitarão método numérico bem explicado ou uso das invariantes + fatoração por tentativa se houver raiz racional. Vou resolver numericamente de forma estável e mostrada passo a passo (método por busca de uma raiz real e divisão polinomial para reduzir ao quadrático).

Passo 5

Encontrar uma raiz real do polinômio (primeira tensão principal).
Observação: por teorema, para matriz simétrica 3×3 há sempre 3 autovalores reais. Vou procurar um intervalo onde a função muda de sinal e usar interpolação/iteração para uma boa aproximação.
Defina f(\lambda)=\lambda^3 -40\lambda^2 -2450\lambda +68250.
Avaliações rápidas:
f(60)=216000 -144000 -147000 +68250 = -6750 \quad(\text{negativo}),
f(62)=238328 -153760 -151900 +68250 = 918 \quad(\text{positivo}).
Como f(60)<0 e f(62)>0, existe uma raiz entre 60 e 62. Usando interpolação linear e refino (método da secante / iteração curta) obtemos aproximação:
\lambda_1 \approx 61{,}775\\ \text{MPa}.
(Detalhe do refinamento: interpolando entre 61{,}6 e 61{,}88 e ajustando, cheguei em 61{,}775 com erro residual pequeno; este valor torna f(\lambda) praticamente zero considerando arredondamento.)

Passo 6

Dividir o polinômio pelo fator (\lambda-\lambda_1) para obter o quadrático remanescente e achar as outras duas tensões principais.
Faço a divisão sintética com \lambda_1\approx 61{,}775. Coeficientes do polinômio original: 1,\\\ -40,\\\ -2450,\\\ 68250.
Após a divisão sintética obtém-se o polinômio quadrático aproximado:
\lambda^2 + 21{,}775\lambda -1104{,}9 \approx 0.
Agora resolvendo esse quadrático (fórmula de Bhaskara):
\lambda = \frac{-21{,}775 \pm \sqrt{21{,}775^2 + 4\cdot1104{,}9}}{2}.
Calculando o discriminante e as raízes obtemos:
\lambda_2 \approx 24{,}094\\ \text{MPa},\qquad \lambda_3 \approx -45{,}869\\ \text{MPa}.
Comentário de verificação rápida: os três valores satisfazem aproximadamente as relações dos invariantes:
\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\approx40 e \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3\approx -2450 e \lambda_1\lambda_2\lambda_3\approx -68250. Isso confirma a consistência numérica.
Ordenando de maior para menor (convenção usual):
\sigma_1 \approx 61{,}775\\ \text{MPa},\qquad \sigma_2 \approx 24{,}094\\ \text{MPa},\qquad \sigma_3 \approx -45{,}869\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação via Círculo de Mohr 3D (ligando com os resultados numéricos).
Conceito prático: em 3D temos três círculos de Mohr para os pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3), (\sigma_1,\sigma_3). O centro do círculo referente ao par (\sigma_i,\sigma_j) fica em \dfrac{\sigma_i+\sigma_j}{2} no eixo \sigma; o raio é \dfrac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}. A maior tensão de cisalhamento absoluta no estado tridimensional é \dfrac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} = \dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}. Vou calcular isso no Passo 9; antes disso precisamos das direções principais.

Passo 8

Cálculo das direções principais (autovetores) — explicação e procedimento.
Explicação: para cada tensão principal \sigma_i resolvemos o sistema homogêneo
(\boldsymbol{\sigma} - \sigma_i \mathbf{I})\mathbf{v}_i = \mathbf{0},
onde \mathbf{v}_i é o autovetor associado. Como a matriz é simétrica, os autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Vou resolver os sistemas aproximadamente e normalizar os vetores (transformando em vetores unitários, que são mais fáceis de interpretar como direções).
  1. Para \sigma_1 \approx 61{,}775:
(\boldsymbol{\sigma}-\sigma_1\mathbf{I})\approx \begin{pmatrix} -11{,}775 & 30 & -15\\[4pt] 30 & -81{,}775 & 25\\[4pt] -15 & 25 & -51{,}775 \end{pmatrix}.
Resolve-se o sistema linear; escolhendo z=1 como variável livre e resolvendo pelas outras equações (método prático manual), obtém-se um autovetor proporcional a
\mathbf{v}_1 \propto (-7{,}610,\\\ -2{,}486,\\\ 1).
Normalizando ( \|\mathbf{v}_1\| 8{,}070):
\hat{\mathbf{v}}_1 \approx (-0{,}9435,\\\ -0{,}3080,\\\ 0{,}1239).
  1. Para \sigma_2 \approx 24{,}094:
(\boldsymbol{\sigma}-\sigma_2\mathbf{I})\approx \begin{pmatrix} 25{,}906 & 30 & -15\\[4pt] 30 & -44{,}094 & 25\\[4pt] -15 & 25 & -14{,}094 \end{pmatrix}.
Procedendo de forma análoga (escolhendo z=1 e resolvendo):
\mathbf{v}_2 \propto (-0{,}0435,\\\ 0{,}5376,\\\ 1),
normalizando ( \|\mathbf{v}_2\| 1{,}136):
\hat{\mathbf{v}}_2 \approx (-0{,}0383,\\\ 0{,}4736,\\\ 0{,}8807).
  1. Para \sigma_3 \approx -45{,}869:
(\boldsymbol{\sigma}-\sigma_3\mathbf{I})\approx \begin{pmatrix} 95{,}869 & 30 & -15\\[4pt] 30 & 25{,}869 & 25\\[4pt] -15 & 25 & 55{,}869 \end{pmatrix}.
Resolvendo (novamente escolhendo z=1):
\mathbf{v}_3 \propto (0{,}7204,\\\ -1{,}802,\\\ 1),
normalizando ( \|\mathbf{v}_3\| 2{,}184):
\hat{\mathbf{v}}_3 \approx (0{,}3300,\\\ -0{,}8250,\\\ 0{,}4580).
Verificação: \hat{\mathbf{v}}_i\cdot\hat{\mathbf{v}}_j\approx0 para i\ne j (ortogonalidade aproximada), o que é esperado para uma matriz simétrica.
Interpretação: cada \hat{\mathbf{v}}_i dá a direção no espaço (cosenos diretores) da respectiva tensão principal \sigma_i. Por exemplo \hat{\mathbf{v}}_1 tem componente x negativa grande, componente y negativa moderada e componente z pequena positiva — indica que a direção principal associada à maior tensão está inclinada em direção negativa dos eixos x e y e leve componente positiva em z.]

Passo 9

Cálculo das tensões de cisalhamento máximas (valores nos círculos de Mohr) e a máxima tensão de cisalhamento absoluta.
Em 3D, as tensões de cisalhamento máximas entre cada par de tensões principais são:
\tau_{12}=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2},\qquad \tau_{23}=\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2},\qquad \tau_{13}=\frac{|\sigma_1-\sigma_3|}{2}.
Calculando com os valores encontrados:
\tau_{12}=\frac{61{,}775 - 24{,}094}{2} = \frac{37{,}681}{2} \approx 18{,}841\\ \text{MPa},
\tau_{23}=\frac{24{,}094 - (-45{,}869)}{2} = \frac{69{,}963}{2} \approx 34{,}982\\ \text{MPa},
\tau_{13}=\frac{61{,}775 - (-45{,}869)}{2} = \frac{107{,}644}{2} \approx 53{,}822\\ \text{MPa}.
A máxima tensão de cisalhamento absoluta no estado tridimensional é o maior desses valores:
\tau_{\max} = \tau_{13} \approx 53{,}822\\ \text{MPa}.
Observação física: essa máxima ocorre em planos orientados a 45^\circ entre as direções principais correspondentes a \sigma_1 e \sigma_3 (no espaço, as direções da máxima cisalha são combinações lineares apropriadas dos autovetores \hat{\mathbf{v}}_1 e \hat{\mathbf{v}}_3).

Passo 10

Resumo final e checagens rápidas (motivação e confiança).
  • Cheque rápido: as três tensões principais somam 40 (confere I_1), e as combinações \sigma_1\sigma_2+\sigma_1\sigma_3+\sigma_2\sigma_3 e \sigma_1\sigma_2\sigma_3 aproximam os invariantes I_2 e I_3 calculados — isso dá confiança nos valores numéricos.
  • Interpretando pelo Círculo de Mohr 3D: os três círculos têm centros \frac{\sigma_i+\sigma_j}{2} e raios \frac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}; o maior raio é \tau_{13} e corresponde à maior cisalha.
Força aí — é normal ficar nervoso com muitos números; a ideia prática para a prova é: monte a matriz, calcule invariantes (fáceis), resolva o cúbico (ou ache uma raiz por tentativa e divida), depois calcule autovetores. Se ficar sem tempo, os invariantes já permitem checar possíveis respostas.

Resposta

\sigma_1 \approx 61{,}775\ MPa
\sigma_2 \approx 24{,}094\ MPa
\sigma_3 \approx -45{,}869\ MPa
Direções principais (autovetores unitários correspondentes a \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, componentes em (x,y,z)):
\hat{\mathbf{v}}_1 \approx (-0{,}9435,\\\ -0{,}3080,\\\ 0{,}1239)
\hat{\mathbf{v}}_2 \approx (-0{,}0383,\\\ 0{,}4736,\\\ 0{,}8807)
\hat{\mathbf{v}}_3 \approx (0{,}3300,\\\ -0{,}8250,\\\ 0{,}4580)
Tensões de cisalhamento entre pares de tensões principais:
\tau_{12}\approx 18{,}841\\ \text{MPa}
\tau_{23}\approx 34{,}982\\ \text{MPa}
\tau_{13}\approx 53{,}822\\ \text{MPa}
Máxima tensão de cisalhamento absoluta (3D): \tau_{\max} \approx 53{,}822\\ \text{MPa}

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