Considere os pontos {(\mathbf{0}, \mathbf{1}),(\mathbf{2 0}, \mathbf{1 . 5 2}),(\mathbf{4 0}, \mathbf{1 . 0 3}),(\mathbf{6 0}, \mathbf{2 . 4 7}),(\mathbf{8 0}, \mathbf{3})\}. Ajuste uma reta sobre eles através do método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado pede: ajustar uma reta sobre os pontos dados usando o método dos mínimos quadrados. Os pontos fornecidos são:
(0,\,1),\quad (20,\,1,52),\quad (40,\,1,03),\quad (60,\,2,47),\quad (80,\,3).
Vamos encontrar os coeficientes da reta ajustada (intercepto e inclinação) passo a passo.

Passo 2

Intuição do método dos mínimos quadrados (bem devagarinho): suponha a reta ajustada dada por
\hat{y}=b_0 + b_1 x.
Aqui b_0 é o intercepto (valor de \hat{y} quando x=0) e b_1 é a inclinação (quanto \hat{y} muda quando x aumenta uma unidade). Para cada ponto (x_i,y_i) definimos o resíduo e_i = y_i - \hat{y}_i. O método dos mínimos quadrados escolhe b_0 e b_1 que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
S(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2.
Minimizamos S derivando em relação a b_0 e b_1 e igualando a zero (isso gera duas equações lineares, as chamadas equações normais).

Passo 3

As equações normais resultantes são
\sum_{i=1}^{n} (y_i - b_0 - b_1 x_i)=0
\sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - b_0 - b_1 x_i)=0.
Dessas (após rearranjar) obtemos as fórmulas práticas para b_0 e b_1:
b_1=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\,\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^{2}}
b_0=\bar{y}-b_1\bar{x},
onde n é o número de pontos, \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i e \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i. Vou usar essas fórmulas porque são diretas e fáceis de aplicar na prova.

Passo 4

Calculemos as somas necessárias. Primeiro n:
n=5.
Agora \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2 e \sum x_i y_i. Vou calcular cada uma explicitamente:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 0+20+40+60+80 = 200.
\sum_{i=1}^{5} y_i = 1 + 1,52 + 1,03 + 2,47 + 3 = 9,02.
\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 0^2 + 20^2 + 40^2 + 60^2 + 80^2 = 0 + 400 + 1600 + 3600 + 6400 = 12000.
\sum_{i=1}^{5} x_i y_i = 0\cdot 1 + 20\cdot 1,52 + 40\cdot 1,03 + 60\cdot 2,47 + 80\cdot 3 = 459,8.
(Para verificar mentalmente: 20\cdot1,52=30,4;\;40\cdot1,03=41,2;\;60\cdot2,47=148,2;\;80\cdot3=240; somando dá 459,8.)

Passo 5

Calculemos as médias \bar{x} e \bar{y}:
\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{200}{5}=40,
\bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{9,02}{5}=1,804.

Passo 6

Agora a inclinação b_1. Primeiro o numerador e denominador da fórmula:
\text{numerador}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\,\bar{y}=459,8 - 5\cdot 40 \cdot 1,804.
Calcule 5\cdot 40 \cdot 1,804 = 200 \cdot 1,804 = 360,8. Portanto
\text{numerador}=459,8 - 360,8 = 99,0.
O denominador é
\text{denominador}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 12000 - 5\cdot 40^2 = 12000 - 5\cdot 1600 = 12000 - 8000 = 4000.
Logo
b_1=\frac{99,0}{4000}=0,02475.

Passo 7

Agora o intercepto b_0:
b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=1,804 - 0,02475\cdot 40.
Calcule 0,02475\cdot 40 = 0,99. Então
b_0=1,804 - 0,99 = 0,814.

Passo 8

Temos assim a reta ajustada pelos mínimos quadrados. Em forma explícita:
\hat{y}=0,814 + 0,02475\,x.
Interpretação curta e motivadora: o intercepto 0,814 é o valor estimado em x=0; a inclinação 0,02475 diz que, em média, ao aumentar x de 1 unidade, \hat{y} aumenta 0,02475 (ou ao aumentar x de 10 unidades, \hat{y} sobe cerca de 0,2475). Bom trabalho — já temos a reta e você pode aplicá-la na prova para prever valores ou comparar com pontos observados.

Resposta

\hat{y}=0,814 + 0,02475\,x

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