Considere os pontos
Passo 1
O enunciado pede: ajustar uma reta sobre os pontos dados usando o método dos mínimos quadrados. Os pontos fornecidos são:
Vamos encontrar os coeficientes da reta ajustada (intercepto e inclinação) passo a passo.
Passo 2
Intuição do método dos mínimos quadrados (bem devagarinho): suponha a reta ajustada dada por
Aqui
é o intercepto (valor de
quando
) e
é a inclinação (quanto
muda quando
aumenta uma unidade). Para cada ponto
definimos o resíduo
. O método dos mínimos quadrados escolhe
e
que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
Minimizamos
derivando em relação a
e
e igualando a zero (isso gera duas equações lineares, as chamadas equações normais).
Passo 3
As equações normais resultantes são
Dessas (após rearranjar) obtemos as fórmulas práticas para
e
:
onde
é o número de pontos,
e
. Vou usar essas fórmulas porque são diretas e fáceis de aplicar na prova.
Passo 4
Calculemos as somas necessárias. Primeiro
:
Agora
,
,
e
. Vou calcular cada uma explicitamente:
(Para verificar mentalmente:
somando dá
.)
Passo 5
Calculemos as médias
e
:
Passo 6
Agora a inclinação
. Primeiro o numerador e denominador da fórmula:
Calcule
. Portanto
O denominador é
Logo
Passo 7
Agora o intercepto
:
Calcule
. Então
Passo 8
Temos assim a reta ajustada pelos mínimos quadrados. Em forma explícita:
Interpretação curta e motivadora: o intercepto
é o valor estimado em
; a inclinação
diz que, em média, ao aumentar
de
unidade,
aumenta
(ou ao aumentar
de
unidades,
sobe cerca de
). Bom trabalho — já temos a reta e você pode aplicá-la na prova para prever valores ou comparar com pontos observados.