Considere o problema de passeio aleatório
e seja
, que denota o deslocamento efetivo para a direita. Após um total de
etapas, verifique as seguinte relações:
Passo 1
O enunciado pede para verificar as fórmulas dos momentos até a quarta ordem do deslocamento efetivo
num passeio aleatório com passos para a direita com probabilidade
e para a esquerda com probabilidade
, com
. Informações relevantes:
- Há um total de
etapas. - Em cada etapa há apenas duas possibilidades: passo para a direita (contabiliza em
) com probabilidade ou passo para a esquerda (contabiliza em ) com probabilidade . - Por construção
. - O deslocamento
pedido é .
As quantidades a verificar são:
A partir daqui vou resolver passo a passo e ensinar os conceitos usados (variáveis indicadoras, independência, expansão multinomial dos momentos).
Passo 2
Modelagem em variáveis de passo e cálculo das expectativas elementares (a ideia-chave).
- Defino, para cada etapa
Então o deslocamento total é a soma das contribuições de cada passo:
Explicação didática: cada passo vale
se for à esquerda; somando dá exatamente
porque cada passo à direita aumenta
em 1 e cada passo à esquerda diminui
em 1.
Agora calculo as expectativas elementares de
. Como as etapas são idênticas e independentes, é suficiente analisar uma etapa genérica
.
- Valor esperado (média) de
:
Vou usar a notação curta
- Potências de
: observe que sempre (pois ). Portanto
Também
e
, logo
Comentário didático: estas identidades simplificam muito os cálculos de momentos altos porque as potências pares voltam a 1 e as potências ímpares voltam a
.]
Passo 3
Cálculo do primeiro momento
.
Como e as esperanças somam,
Como
Substituindo
, obtemos
Explicação curta: média do somatório de variáveis iid é
vezes a média de uma delas.
Passo 4
Cálculo do segundo momento
(expansão e uso da independência).
Expando o quadrado:
Expando o quadrado:
Tomando expectativa e usando independência (para
,
),
Agora uso
e também a identidade
(aprovada direto pela álgebra):
Portanto
Comentário didático: também poderia ser obtido via variância (
) e
.
Passo 5
Cálculo do terceiro momento
(expansão multinomial com contagem combinatória).
Expandindo o cubo:
Expandindo o cubo:
Agora tomo expectativa. Usando independência e as expectativas elementares:
-
, -
para , -
para índices distintos.
Conto quantos termos aparecem: -
tem termos. -
tem termos (ordem importa no somatório com ). -
tem termos, e o coeficiente 6 multiplica esse número resultando em quando se conta todas as permutações.
Portanto
Fatorando
:
Agora uso
. Primeiro noto que
pois a soma simplifica (ver conta:
). Assim
Escrevendo
, obtenho a forma final
Breve interpretação: surgem dois tipos de contribuições — termos puros em
que dão a parte
e correções proporcionais a
devido à variância interna dos passos; o sinal de subtração aparece porque
.
Passo 6
Cálculo do quarto momento
(fórmula geral por classes de particionamento).
Expandindo o quarto poder e agrupando por padrões de índices distintos, obtemos a identidade padrão (que vem da expansão multinomial e da contagem combinatória):
Expandindo o quarto poder e agrupando por padrões de índices distintos, obtemos a identidade padrão (que vem da expansão multinomial e da contagem combinatória):
Agora substituo as esperanças já obtidas:
,
,
,
. Isso dá
Agrupando os termos constantes e os de
:
Agora substituo
e
e simplifico (a simplificação algébrica combina termos constantes, os proporcionais a
e os proporcionais a
). Depois de expandir e recolher termos obtem-se a forma organizada
Voltando a
, escrevo explicitamente:
Observação algébrica: se preferir, essa expressão é algebraicamente equivalente à forma
que coincide com a forma dada no enunciado.