Considere a região limitada por:
Gire essa região em torno do eixo y e calcule o volume do sólido gerado.
Passo 1
O enunciado dá a região do plano delimitada por:
-
, -
, -
.
O que se pede: girar essa região em torno do eixo
e calcular o volume do sólido gerado.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
- A curva
intercepta a reta quando , ou seja . Portanto a região está entre e e entre e . - A região fica no primeiro quadrante e, ao girar em torno do eixo
, gera um sólido de revolução sem furos (o lado em gera o eixo de revolução).
Passo 2
Escolha do método: existem dois métodos padrão para volumes por revolução que cabem aqui:
- Método dos discos/aros (washers), integrando em
: bom quando a região é mais naturalmente descrita como em função de . - Método das cascas cilíndricas (shells), integrando em
: bom quando a região é dada como em função de .
Vou explicar os dois (isso é útil para a prova) e calcular com cada um como verificação. Depois escolho um como caminho principal — aqui começo pelo método dos discos porque a expressão da superfície lateral em função de
é simples.
Explicando fórmulas (aula rápida e prática):
- Método dos discos/aros: se ao girar em torno do eixo
a seção transversal a uma altura é um disco de raio (ou um anel com raio externo e interno ), o volume é
Aqui
e
são as distâncias ao eixo de rotação (em unidades de comprimento), e os limites
são os extremos da região em
.
- Método das cascas cilíndricas: se integrarmos em
, cada retângulo vertical em gera, ao girar, uma casca cilíndrica de raio , altura e espessura . O volume é
Aqui
é a altura do retângulo (diferença entre a curva superior e a inferior).
Passo 3
Aplicando o método dos discos/aros (integração em
) — desenvolvimento passo a passo.
-
Determine o raio externo
da secção circular: ao girar a borda direita da região em torno do eixo , o raio é como função de . Da curva segue . O lado esquerdo é , então o raio interno . -
Os limites em
vão de (onde ) até . -
Montando a integral:
- Calcular a integral: lembrar que
(para ). Aqui , então , e
- Avaliando nos limites:
-
Calcular
: como , tem-se e então . -
Portanto
Passo 4
Aplicando o método das cascas cilíndricas (integração em
) como verificação — desenvolvimento passo a passo.
-
Aqui o raio de uma casca é
e a altura é a diferença entre a reta superior e a curva inferior , ou seja . -
Os limites em
vão de até (pois dá ). -
Montando a integral:
- Expandir e integrar passo a passo:
Logo
- Avaliando em
:
- Multiplicando por
:
Passo 5
Conclusão e interpretação final:
- Tanto pelo método dos discos/aros quanto pelo das cascas cilíndricas obteve-se o mesmo resultado, o que é uma boa checagem.
- O volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por
, e em torno do eixo é .
Força aí — a integral deu certinho e os dois métodos conferem; na prova escolha o método que te parecer mais direto (aqui eu mostrei os dois para você praticar). Boa sorte!