Considere a região limitada por:
y=x^{3}, \quad y=8, \quad x=0
Gire essa região em torno do eixo y e calcule o volume do sólido gerado.

Passo 1

O enunciado dá a região do plano delimitada por:
  • y=x^{3},
  • y=8,
  • x=0.
O que se pede: girar essa região em torno do eixo y e calcular o volume do sólido gerado.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A curva y=x^{3} intercepta a reta y=8 quando x^{3}=8, ou seja x=2. Portanto a região está entre x=0 e x=2 e entre y=0 e y=8.
  • A região fica no primeiro quadrante e, ao girar em torno do eixo y, gera um sólido de revolução sem furos (o lado em x=0 gera o eixo de revolução).

Passo 2

Escolha do método: existem dois métodos padrão para volumes por revolução que cabem aqui:
  • Método dos discos/aros (washers), integrando em y: bom quando a região é mais naturalmente descrita como x em função de y.
  • Método das cascas cilíndricas (shells), integrando em x: bom quando a região é dada como y em função de x.
Vou explicar os dois (isso é útil para a prova) e calcular com cada um como verificação. Depois escolho um como caminho principal — aqui começo pelo método dos discos porque a expressão da superfície lateral em função de y é simples.
Explicando fórmulas (aula rápida e prática):
  • Método dos discos/aros: se ao girar em torno do eixo y a seção transversal a uma altura y é um disco de raio R(y) (ou um anel com raio externo R(y) e interno r(y)), o volume é
V = \pi \int_{y=y_{1}}^{y_{2}} \bigl(R(y)^{2}-r(y)^{2}\bigr)\,dy.
Aqui R(y) e r(y) são as distâncias ao eixo de rotação (em unidades de comprimento), e os limites y_{1},y_{2} são os extremos da região em y.
  • Método das cascas cilíndricas: se integrarmos em x, cada retângulo vertical em x gera, ao girar, uma casca cilíndrica de raio x, altura h(x) e espessura dx. O volume é
V = 2\pi \int_{x=a}^{b} \text{(raio)}\cdot\text{(altura)}\,dx = 2\pi \int_{x=a}^{b} x\,h(x)\,dx.
Aqui h(x) é a altura do retângulo (diferença entre a curva superior e a inferior).

Passo 3

Aplicando o método dos discos/aros (integração em y) — desenvolvimento passo a passo.
  • Determine o raio externo R(y) da secção circular: ao girar a borda direita x da região em torno do eixo y, o raio é x como função de y. Da curva y=x^{3} segue x=y^{1/3}. O lado esquerdo é x=0, então o raio interno r(y)=0.
  • Os limites em y vão de y=0 (onde x=0) até y=8.
  • Montando a integral:
V = \pi \int_{0}^{8} \bigl(R(y)^{2}-r(y)^{2}\bigr)\,dy = \pi \int_{0}^{8} \bigl(y^{1/3}\bigr)^{2}\,dy = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3}\,dy.
  • Calcular a integral: lembrar que \displaystyle\int y^{p}\,dy = \frac{y^{p+1}}{p+1} (para p\neq-1). Aqui p=\tfrac{2}{3}, então p+1=\tfrac{5}{3}, e
\int y^{2/3}\,dy = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}\,y^{5/3}.
  • Avaliando nos limites:
V = \pi\left[\frac{3}{5}\,y^{5/3}\right]_{0}^{8} = \pi\cdot\frac{3}{5}\bigl(8^{5/3}-0\bigr).
  • Calcular 8^{5/3}: como 8=2^{3}, tem-se 8^{1/3}=2 e então 8^{5/3}=(8^{1/3})^{5}=2^{5}=32.
  • Portanto
V = \pi\cdot\frac{3}{5}\cdot 32 = \pi\cdot\frac{96}{5} = \frac{96\pi}{5}.

Passo 4

Aplicando o método das cascas cilíndricas (integração em x) como verificação — desenvolvimento passo a passo.
  • Aqui o raio de uma casca é x e a altura h(x) é a diferença entre a reta superior y=8 e a curva inferior y=x^{3}, ou seja h(x)=8-x^{3}.
  • Os limites em x vão de x=0 até x=2 (pois x^{3}=8 x=2).
  • Montando a integral:
V = 2\pi \int_{0}^{2} x\bigl(8-x^{3}\bigr)\,dx.
  • Expandir e integrar passo a passo:
x\bigl(8-x^{3}\bigr) = 8x - x^{4}.
Logo
\int_{0}^{2} \bigl(8x - x^{4}\bigr)\,dx = \left[4x^{2} - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em x=2:
4\cdot 2^{2} - \frac{2^{5}}{5} = 4\cdot 4 - \frac{32}{5} = 16 - \frac{32}{5} = \frac{80-32}{5} = \frac{48}{5}.
  • Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{48}{5} = \frac{96\pi}{5}.

Passo 5

Conclusão e interpretação final:
  • Tanto pelo método dos discos/aros quanto pelo das cascas cilíndricas obteve-se o mesmo resultado, o que é uma boa checagem.
  • O volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por y=x^{3}, y=8 e x=0 em torno do eixo y é \dfrac{96\pi}{5}.
Força aí — a integral deu certinho e os dois métodos conferem; na prova escolha o método que te parecer mais direto (aqui eu mostrei os dois para você praticar). Boa sorte!

Resposta

\dfrac{96\pi}{5}

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