Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem:
\frac{d^{2} y(x)}{d x^{2}}+4 y(x)=g(x)
(a) Encontre a solução geral da equação para o caso homogêneo, ou seja, quando g(x)=0.
(b) Encontre a solução geral da equação para o caso não homogêneo onde g(x)=4 x^{2}+10 e^{-x}.
(c) Encontre a solução da letra (b) para as condições de contorno y^{\prime}(0)=0 \mathrm{e} y^{\prime}(\pi)=y(\pi).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+4y(x)=g(x)
e pede três coisas:
  • (a) solução geral para o caso homogêneo, isto é quando g(x)=0;
  • (b) solução geral para o caso não homogêneo com g(x)=4x^{2}+10e^{-x};
  • (c) a solução da letra (b) sujeita às condições de contorno \,y'(0)=0 e \,y'(\pi)=y(\pi).
Informações relevantes fornecidas: a equação é linear, com coeficientes constantes, segundo membro composto por um polinômio de grau 2 e um termo exponencial. Esses dados permitem buscar solução homogênea via equação característica e solução particular via método dos coeficientes indeterminados (porque o segundo membro é combinação de funções cujas ansatzs são polinômiais e exponenciais).

Passo 2

Resolver o caso homogêneo g(x)=0. Propondo y(x)=e^{r x} obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolver essa equação: as raízes são
r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm \mathrm{i}\beta (aqui \alpha=0, \beta=2), a solução geral do homogêneo é combinação linear de \cos e \sin com frequência \beta. Assim a solução geral do homogêneo é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: as exponenciais complexas se escrevem em termos de cosseno e seno por fórmulas de Euler.)

Passo 3

Preparar-se para o caso não homogêneo g(x)=4x^{2}+10e^{-x}. Como o problema é linear, procuramos uma solução particular da forma soma das soluções particulares para cada termo do segundo membro:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} atende L[y_{p1}]=4x^{2} e y_{p2} atende L[y_{p2}]=10e^{-x}, com o operador linear L[y]=y''+4y.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados: para um termo polinomial de grau n tenta-se um polinômio de grau n; para um termo Ae^{\lambda x} tenta-se Be^{\lambda x}, a menos que haja ressonância com a solução homogênea (ou seja, \lambda ser raiz da característica). Aqui \lambda=-1 não é raiz de r^{2}+4=0, e o polinômio não é ressonante com \cos2x,\sin2x. Então as escolhas abaixo são válidas.

Passo 4

Encontrar y_{p1} para o termo polinomial 4x^{2}. Faço a ansatz
y_{p1}(x)=a x^{2}+b x+c.
Calculo derivadas:
y_{p1}''(x)=2a.
Aplicando o operador,
L[y_{p1}]=y_{p1}''+4y_{p1}=2a + 4(ax^{2}+bx+c)=4a x^{2} + 4b x + (2a+4c).
Esse resultado deve ser igual a 4x^{2}. Igualando coeficientes dos termos x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} 4a = 4,\\[4pt] 4b = 0,\\[4pt] 2a+4c = 0. \end{cases}
Resolvo:
a=1,\qquad b=0,\qquad 2\cdot1+4c=0\Rightarrow c=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p1}(x)=x^{2}-\tfrac{1}{2}.]

Passo 5

Encontrar y_{p2} para o termo exponencial 10e^{-x}. Faço a ansatz simples
y_{p2}(x)=A e^{-x}.
Calculo derivadas:
y_{p2}'=-A e^{-x},\qquad y_{p2}''=A e^{-x}.
Aplicando o operador:
L[y_{p2}]=y_{p2}''+4y_{p2}=A e^{-x}+4A e^{-x}=5A e^{-x}.
Queremos 5A e^{-x}=10 e^{-x}, logo 5A=10 e
A=2.
Assim
y_{p2}(x)=2e^{-x}.

Passo 6

Combinar as partes: a solução particular total é
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=x^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-x}.
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+x^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-x}.
Isso responde a letra (b). (Resumo do porquê: solução geral de uma EDO linear é combinação da homogênea com qualquer particular.)

Passo 7

Agora aplico as condições de contorno da letra (c): \,y'(0)=0 e \,y'(\pi)=y(\pi). Primeiro preciso da expressão de y'(x). Diferencio a solução geral:
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)+2x-2e^{-x}.
(Detalhe: derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x); de \sin(2x) é 2\cos(2x); de x^{2} é 2x; de -\tfrac{1}{2} é 0; de 2e^{-x} é -2e^{-x}.)

Passo 8

Usar a condição y'(0)=0. Avalio y'(0):
y'(0)=-2C_{1}\sin 0 + 2C_{2}\cos 0 + 0 -2e^{0}=2C_{2}-2.
Impondo y'(0)=0 resulta
2C_{2}-2=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.

Passo 9

Usar a condição y'(\pi)=y(\pi). Primeiro avalio y'(\pi) e y(\pi). Note que \sin(2\pi)=0, \cos(2\pi)=1 e e^{-\pi} fica como está. Assim
y'(\pi)= -2C_{1}\sin(2\pi)+2C_{2}\cos(2\pi)+2\pi-2e^{-\pi}=2C_{2}+2\pi-2e^{-\pi}.
E
y(\pi)=C_{1}\cos(2\pi)+C_{2}\sin(2\pi)+\pi^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-\pi}=C_{1}+\pi^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-\pi}.
Impondo y'(\pi)=y(\pi) obtemos a equação
2C_{2}+2\pi-2e^{-\pi}=C_{1}+\pi^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-\pi}.
Substituo C_{2}=1:
2\cdot 1 +2\pi-2e^{-\pi}=C_{1}+\pi^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-\pi}.

Passo 10

Resolver a equação para C_{1}. Reorganizando:
C_{1} = 2+2\pi-2e^{-\pi} -\left(\pi^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-\pi}\right).
Calculo os termos constantes combinados:
C_{1}=2+2\pi-2e^{-\pi}-\pi^{2}+\tfrac{1}{2}-2e^{-\pi} = -\pi^{2}+2\pi+\tfrac{5}{2}-4e^{-\pi}.
Portanto os constantes determinados são
C_{2}=1,\qquad C_{1}=-\pi^{2}+2\pi+\tfrac{5}{2}-4e^{-\pi}.

Passo 11

Escrever a solução final que satisfaz as condições de contorno: substituir C_{1} e C_{2} na solução geral obtida no Passo 6. Assim a solução específica é
y(x)=\Bigl(-\pi^{2}+2\pi+\tfrac{5}{2}-4e^{-\pi}\Bigr)\cos(2x)+\sin(2x)+x^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-x}.

Resposta

(a) y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)
(b) y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+x^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-x}
(c) y(x)=\Bigl(-\pi^{2}+2\pi+\tfrac{5}{2}-4e^{-\pi}\Bigr)\cos(2x)+\sin(2x)+x^{2}-\tfrac{1}{2}+2e^{-x}

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