Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem:
\frac{d^{2} y(x)}{d x^{2}}+4 y(x)=g(x)
(a) Encontre a solução geral da equação para o caso homogêneo, ou seja, quando g(x)=0.
(b) Encontre a solução geral da equação para o caso não homogêneo onde g(x)=4 x^{2}+10 e^{-x}.
(c) Encontre a solução da letra (b) para as condições de contorno y^{\prime}(0)=0 \mathrm{e} y^{\prime}(\pi)=y(\pi).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+4y(x)=g(x)
e pede três coisas:
(a) solução geral para o caso homogêneo, isto é quando g(x)=0;
(b) solução geral para o caso não homogêneo com g(x)=4x^{2}+10e^{-x};
(c) a solução da letra (b) sujeita às condições de contorno \,y'(0)=0 e \,y'(\pi)=y(\pi).
Informações relevantes fornecidas: a equação é linear, com coeficientes constantes, segundo membro composto por um polinômio de grau 2 e um termo exponencial. Esses dados permitem buscar solução homogênea via equação característica e solução particular via método dos coeficientes indeterminados (porque o segundo membro é combinação de funções cujas ansatzs são polinômiais e exponenciais).
Passo 2
Resolver o caso homogêneo g(x)=0. Propondo y(x)=e^{r x} obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolver essa equação: as raízes são
r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm \mathrm{i}\beta (aqui \alpha=0, \beta=2), a solução geral do homogêneo é combinação linear de \cos e \sin com frequência \beta. Assim a solução geral do homogêneo é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: as exponenciais complexas se escrevem em termos de cosseno e seno por fórmulas de Euler.)
Passo 3
Preparar-se para o caso não homogêneo g(x)=4x^{2}+10e^{-x}. Como o problema é linear, procuramos uma solução particular da forma soma das soluções particulares para cada termo do segundo membro:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} atende L[y_{p1}]=4x^{2} e y_{p2} atende L[y_{p2}]=10e^{-x}, com o operador linear L[y]=y''+4y.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados: para um termo polinomial de grau n tenta-se um polinômio de grau n; para um termo Ae^{\lambda x} tenta-se Be^{\lambda x}, a menos que haja ressonância com a solução homogênea (ou seja, \lambda ser raiz da característica). Aqui \lambda=-1 não é raiz de r^{2}+4=0, e o polinômio não é ressonante com \cos2x,\sin2x. Então as escolhas abaixo são válidas.
Passo 4
Encontrar y_{p1} para o termo polinomial 4x^{2}. Faço a ansatz
y_{p1}(x)=a x^{2}+b x+c.
Calculo derivadas:
y_{p1}''(x)=2a.
Aplicando o operador,
L[y_{p1}]=y_{p1}''+4y_{p1}=2a + 4(ax^{2}+bx+c)=4a x^{2} + 4b x + (2a+4c).
Esse resultado deve ser igual a 4x^{2}. Igualando coeficientes dos termos x^{2}, x e termo constante:
Escrever a solução final que satisfaz as condições de contorno: substituir C_{1} e C_{2} na solução geral obtida no Passo 6. Assim a solução específica é