(a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de GaussJacobi a partir x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.05.
(b) Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método iterativo de Gauss- Seidel, resolva o sistema dado a partir de x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.1.
(a) Se houver convergência garantida, resolver o sistema pelo método iterativo de Gauss–Jacobi a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} usando erro relativo \epsilon=0{,}05.
(b) Se o critério de Sassenfeld estiver satisfeito, usar o método de Gauss–Seidel para resolver o mesmo sistema a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} com erro relativo \epsilon=0{,}1.
Informações relevantes dadas:
A matriz dos coeficientes A e o vetor lado direito b estão explícitos (veja a matriz e o vetor acima).
Valores iniciais e tolerâncias: para (a) x^{(0)}=(0,0,0)^T e \epsilon=0{,}05; para (b) x^{(0)}=(-2,1,0)^T e \epsilon=0{,}1.
Devemos verificar as condições (convergência para Jacobi; critério de Sassenfeld para Gauss–Seidel) antes de aplicar os métodos.
Passo 2
Explico a técnica do método de Gauss–Jacobi e estabeleço as fórmulas de iteração (passo-a-passo, como aprender para a prova).
Ideia: escrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente e, na iteração k+1, cada componente x_i^{(k+1)} é calculado apenas usando os valores antigos x_j^{(k)} (não usamos atualizações parciais). Isso gera um sistema iterativo simples.
Para este A e b as equações escalares são:
-10x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -8,
x_1 + 6x_2 + 0\cdot x_3 = 7,
-x_1 + x_2 + 3x_3 = 0.
Isolando cada x_i (dividindo pelo coeficiente diagonal), obtemos as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi:x_1^{(k+1)} = \frac{-8 - 2x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{-10} = 0{,}8 + 0{,}2\,x_2^{(k)} + 0{,}2\,x_3^{(k)},
Antes de aplicar Jacobi, verificamos se a convergência está garantida: uma condição simples suficiente é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, i.e., |a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}| para cada linha i. Se isso ocorrer, o método de Jacobi converge para a solução a partir de qualquer x^{(0)}.
Passo 3
Verificação da dominância diagonal (garante convergência de Jacobi):
Linha 1: |a_{11}| = |-10| = 10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = |2|+|2| = 4. Como 10 > 4, a linha 1 é estritamente dominante.
Linha 2: |a_{22}| = |6| = 6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}| = |1|+|0| = 1. Como 6 > 1, a linha 2 é estritamente dominante.
Linha 3: |a_{33}| = |3| = 3 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}| = |{-1}|+|1| = 2. Como 3 > 2, a linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução a partir de qualquer x^{(0)}. Podemos aplicar Jacobi com segurança.
Passo 4
Critério de parada e norma usada (como calcular erro relativo na prova).
Vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) para medir erro. Denotando \|\cdot\|_\infty, a medida relativa entre iterações k e k-1 será\text{erro relativo} = \frac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty}{\|x^{(k)}\|_\infty}.
Observação prática: na primeira iteração, quando \|x^{(k)}\|_\infty=0, não dá para dividir; nesse caso avançamos para a próxima iteração. A partir daí usamos a fórmula acima. Esse é um critério comum e fácil de calcular à mão.
Passo 5
Aplicando Gauss–Jacobi com x^{(0)}=(0,0,0)^T. Faço as iterações e calculo o erro relativo a cada passo (cálculos explícitos e “mastigados”).
Iteração 1 (k=0 \to 1):
Usando as fórmulas e x^{(0)}=(0,0,0):x_1^{(1)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 0 + 0{,}2\cdot 0 = 0{,}8,
Critério satisfeito: parei aqui. Resultado aproximado pelo método de Gauss–Jacobi é x^{(4)} acima.
Passo 9
Resumo do item (a) (o que aprendi e por que parámos na iteração 4):
Justificativa: a matriz é estritamente diagonalmente dominante, logo Gauss–Jacobi converge. Usei a norma infinito para erro relativo \dfrac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty}{\|x^{(k)}\|_\infty} e parei quando esse valor ficou menor que \epsilon=0{,}05, o que ocorreu ao obter x^{(4)}. Esse é um procedimento padrão na prova: definir norma, calcular diferença máxima e comparar com a tolerância relativa.
Passo 10
Agora vou verificar o critério de Sassenfeld e aplicar Gauss–Seidel para o item (b), mostrando passo a passo o critério e as iterações.
O critério de Sassenfeld dá números \beta_i calculados recursivamente e garante convergência do método de Gauss–Seidel se \max_i \beta_i < 1. A fórmula (linha a linha) é:\beta_1 = \frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\neq1}|a_{1j}|,
Então \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\} = 0{,}4 < 1. Logo o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge partir de qualquer x^{(0)}; podemos aplicá-lo com segurança.
Passo 12
Explico o método de Gauss–Seidel (didaticamente) e apresento as fórmulas:
Igual que Jacobi, isolamos as incógnitas, mas em Gauss–Seidel, ao calcular x_1^{(k+1)} usamos os x_j^{(k)} antigos; para x_2^{(k+1)} usamos já o x_1^{(k+1)} recém-calculado (atualizações imediatas). As fórmulas numéricas são as mesmas expressões:x_1 = 0{,}8 + 0{,}2\,x_2 + 0{,}2\,x_3, \quad x_2 = \frac{7 - x_1}{6}, \quad x_3 = \frac{x_1 - x_2}{3},porém em cada iteração usamos valores já atualizados quando disponíveis.
Passo 13
Aplicando Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e erro relativo \epsilon=0{,}1.
Erro relativo = 3 / 1 = 3 > 0{,}1. Então, apesar de grande essa primeira diferença, continuamos para a próxima iteração.
Iteração 2 (k=1 \to 2):
Aplicando as fórmulas com x^{(1)}=(1,1,0) (mas atenção: já veremos que não muda):x_1^{(2)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 1 + 0{,}2\cdot 0 = 1{,}0,
x_2^{(2)} = \frac{7 - 1{,}0}{6} = 1{,}0,
x_3^{(2)} = \frac{1{,}0 - 1{,}0}{3} = 0.
Logo x^{(2)} = x^{(1)}. Então \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty = 0 e o erro relativo é 0 \le 0{,}1. Critério satisfeito.
Passo 15
Observação importante: x=(1,1,0)^T é, na verdade, a solução exata do sistema (podemos verificar substituindo na equação original). Por isso Gauss–Seidel, a partir do chute dado, atingiu a solução exata já na primeira atualização (e confirmou estabilidade na segunda iteração). Isso acontece algumas vezes quando o chute inicial e a estrutura do sistema permitem convergência direta.