Considere o seguinte sistema linear
\left(\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -8 \\\\ 7 \\\\ 0 \end{array}\right)
(a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de GaussJacobi a partir x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.05.
(b) Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método iterativo de Gauss- Seidel, resolva o sistema dado a partir de x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\\ x_2\\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\\\ 7\\\\ 0 \end{pmatrix},
e pede duas coisas:
(a) Se houver convergência garantida, resolver o sistema pelo método iterativo de Gauss–Jacobi a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} usando erro relativo \epsilon=0{,}05.
(b) Se o critério de Sassenfeld estiver satisfeito, usar o método de Gauss–Seidel para resolver o mesmo sistema a partir de x^{(0)}=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} com erro relativo \epsilon=0{,}1.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes A e o vetor lado direito b estão explícitos (veja a matriz e o vetor acima).
  • Valores iniciais e tolerâncias: para (a) x^{(0)}=(0,0,0)^T e \epsilon=0{,}05; para (b) x^{(0)}=(-2,1,0)^T e \epsilon=0{,}1.
  • Devemos verificar as condições (convergência para Jacobi; critério de Sassenfeld para Gauss–Seidel) antes de aplicar os métodos.

Passo 2

Explico a técnica do método de Gauss–Jacobi e estabeleço as fórmulas de iteração (passo-a-passo, como aprender para a prova).
  • Ideia: escrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente e, na iteração k+1, cada componente x_i^{(k+1)} é calculado apenas usando os valores antigos x_j^{(k)} (não usamos atualizações parciais). Isso gera um sistema iterativo simples.
  • Para este A e b as equações escalares são:
    -10x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -8,
x_1 + 6x_2 + 0\cdot x_3 = 7,
-x_1 + x_2 + 3x_3 = 0.
  • Isolando cada x_i (dividindo pelo coeficiente diagonal), obtemos as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi: x_1^{(k+1)} = \frac{-8 - 2x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{-10} = 0{,}8 + 0{,}2\,x_2^{(k)} + 0{,}2\,x_3^{(k)},
x_2^{(k+1)} = \frac{7 - x_1^{(k)}}{6} = \frac{7}{6} - \frac{1}{6}\,x_1^{(k)},
x_3^{(k+1)} = \frac{x_1^{(k)} - x_2^{(k)}}{3} = \frac{1}{3}\,x_1^{(k)} - \frac{1}{3}\,x_2^{(k)}.
  • Antes de aplicar Jacobi, verificamos se a convergência está garantida: uma condição simples suficiente é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, i.e., |a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}| para cada linha i. Se isso ocorrer, o método de Jacobi converge para a solução a partir de qualquer x^{(0)}.

Passo 3

Verificação da dominância diagonal (garante convergência de Jacobi):
  • Linha 1: |a_{11}| = |-10| = 10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = |2|+|2| = 4. Como 10 > 4, a linha 1 é estritamente dominante.
  • Linha 2: |a_{22}| = |6| = 6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}| = |1|+|0| = 1. Como 6 > 1, a linha 2 é estritamente dominante.
  • Linha 3: |a_{33}| = |3| = 3 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}| = |{-1}|+|1| = 2. Como 3 > 2, a linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução a partir de qualquer x^{(0)}. Podemos aplicar Jacobi com segurança.

Passo 4

Critério de parada e norma usada (como calcular erro relativo na prova).
  • Vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) para medir erro. Denotando \|\cdot\|_\infty, a medida relativa entre iterações k e k-1 será \text{erro relativo} = \frac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty}{\|x^{(k)}\|_\infty}.
  • Observação prática: na primeira iteração, quando \|x^{(k)}\|_\infty=0, não dá para dividir; nesse caso avançamos para a próxima iteração. A partir daí usamos a fórmula acima. Esse é um critério comum e fácil de calcular à mão.

Passo 5

Aplicando Gauss–Jacobi com x^{(0)}=(0,0,0)^T. Faço as iterações e calculo o erro relativo a cada passo (cálculos explícitos e “mastigados”).
Iteração 1 ( k=0 \to 1):
  • Usando as fórmulas e x^{(0)}=(0,0,0): x_1^{(1)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 0 + 0{,}2\cdot 0 = 0{,}8,
x_2^{(1)} = \frac{7}{6} - \frac{1}{6}\cdot 0 = \frac{7}{6} \approx 1{,}1666667,
x_3^{(1)} = \frac{1}{3}\cdot 0 - \frac{1}{3}\cdot 0 = 0.
  • Então x^{(1)} \approx \begin{pmatrix}0{,}8\\\\ 1{,}1666667\\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Não dá para calcular erro relativo (divisão por zero no denominador de x^{(0)}), seguimos para a próxima.

Passo 6

Iteração 2 ( k=1 \to 2):
  • Usando x^{(1)}: x_1^{(2)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 1{,}1666667 + 0{,}2\cdot 0 = 1{,}033333333,
x_2^{(2)} = \frac{7}{6} - \frac{1}{6}\cdot 0{,}8 = 1{,}033333333,
x_3^{(2)} = \frac{1}{3}\cdot 0{,}8 - \frac{1}{3}\cdot 1{,}1666667 = -0{,}122222222.
  • Então x^{(2)} \approx \begin{pmatrix}1{,}033333333\\\\ 1{,}033333333\\\\ -0{,}122222222\end{pmatrix}.
  • Calculo do erro relativo: \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty = \max\{0{,}233333333,\;0{,}133333333,\;0{,}122222222\} = 0{,}233333333,
\|x^{(2)}\|_\infty = \max\{1{,}033333333,\;1{,}033333333,\;0{,}122222222\} = 1{,}033333333.
\text{erro relativo} \approx \frac{0{,}233333333}{1{,}033333333} \approx 0{,}2257 > 0{,}05,
logo ainda não atingimos a tolerância.

Passo 7

Iteração 3 ( k=2 \to 3):
  • Com x^{(2)}: x_1^{(3)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 1{,}033333333 + 0{,}2\cdot (-0{,}122222222) = 0{,}982222222,
x_2^{(3)} = \frac{7}{6} - \frac{1}{6}\cdot 1{,}033333333 = 0{,}994444444,
x_3^{(3)} = \frac{1}{3}\cdot 1{,}033333333 - \frac{1}{3}\cdot 1{,}033333333 = 0.
  • Então x^{(3)} \approx \begin{pmatrix}0{,}982222222\\\\ 0{,}994444444\\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Erro relativo: \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty = \max\{0{,}051111111,\;0{,}038888889,\;0{,}122222222\} = 0{,}122222222,
\|x^{(3)}\|_\infty = 0{,}994444444,
\text{erro relativo} \approx \frac{0{,}122222222}{0{,}994444444} \approx 0{,}1229 > 0{,}05.
  • Ainda não satisfeito.

Passo 8

Iteração 4 ( k=3 \to 4):
  • Com x^{(3)}: x_1^{(4)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 0{,}994444444 + 0{,}2\cdot 0 = 0{,}9988888888,
x_2^{(4)} = \frac{7}{6} - \frac{1}{6}\cdot 0{,}982222222 = 1{,}002962963,
x_3^{(4)} = \frac{1}{3}\cdot 0{,}982222222 - \frac{1}{3}\cdot 0{,}994444444 = -0{,}004074074.
  • Então x^{(4)} \approx \begin{pmatrix}0{,}998888889\\\\ 1{,}002962963\\\\ -0{,}004074074\end{pmatrix}.
  • Erro relativo: \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty = \max\{0{,}016666667,\;0{,}008518519,\;0{,}004074074\} = 0{,}016666667,
\|x^{(4)}\|_\infty = 1{,}002962963,
\text{erro relativo} \approx \frac{0{,}016666667}{1{,}002962963} \approx 0{,}01664 < 0{,}05.
  • Critério satisfeito: parei aqui. Resultado aproximado pelo método de Gauss–Jacobi é x^{(4)} acima.

Passo 9

Resumo do item (a) (o que aprendi e por que parámos na iteração 4):
  • Justificativa: a matriz é estritamente diagonalmente dominante, logo Gauss–Jacobi converge. Usei a norma infinito para erro relativo \dfrac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty}{\|x^{(k)}\|_\infty} e parei quando esse valor ficou menor que \epsilon=0{,}05, o que ocorreu ao obter x^{(4)}. Esse é um procedimento padrão na prova: definir norma, calcular diferença máxima e comparar com a tolerância relativa.

Passo 10

Agora vou verificar o critério de Sassenfeld e aplicar Gauss–Seidel para o item (b), mostrando passo a passo o critério e as iterações.
  • O critério de Sassenfeld dá números \beta_i calculados recursivamente e garante convergência do método de Gauss–Seidel se \max_i \beta_i < 1. A fórmula (linha a linha) é: \beta_1 = \frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\neq1}|a_{1j}|,
\beta_i = \frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1} |a_{ij}|\beta_j + \sum_{j=i+1}^n |a_{ij}|\Big)\quad\text{para }i\ge 2.

Passo 11

Cálculo das \beta_i para nossa matriz:
  • \beta_1 = \dfrac{|2|+|2|}{|{-10}|} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4.
  • \beta_2 = \dfrac{|1|\beta_1 + |0|}{|6|} = \dfrac{1\cdot 0{,}4 + 0}{6} = \dfrac{0{,}4}{6} \approx 0{,}066666667.
  • \beta_3 = \dfrac{|{-1}|\beta_1 + |1|\beta_2}{|3|} = \dfrac{1\cdot 0{,}4 + 1\cdot 0{,}066666667}{3} = \dfrac{0{,}466666667}{3} \approx 0{,}155555556.
  • Então \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\} = 0{,}4 < 1. Logo o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge partir de qualquer x^{(0)}; podemos aplicá-lo com segurança.

Passo 12

Explico o método de Gauss–Seidel (didaticamente) e apresento as fórmulas:
  • Igual que Jacobi, isolamos as incógnitas, mas em Gauss–Seidel, ao calcular x_1^{(k+1)} usamos os x_j^{(k)} antigos; para x_2^{(k+1)} usamos já o x_1^{(k+1)} recém-calculado (atualizações imediatas). As fórmulas numéricas são as mesmas expressões: x_1 = 0{,}8 + 0{,}2\,x_2 + 0{,}2\,x_3, \quad x_2 = \frac{7 - x_1}{6}, \quad x_3 = \frac{x_1 - x_2}{3},porém em cada iteração usamos valores já atualizados quando disponíveis.

Passo 13

Aplicando Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e erro relativo \epsilon=0{,}1.
Iteração 1 ( k=0 \to 1):
  • Calculo x_1^{(1)} usando x_2^{(0)}=1 e x_3^{(0)}=0: x_1^{(1)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 1 + 0{,}2\cdot 0 = 1{,}0.
  • Calculo x_2^{(1)} usando x_1^{(1)}=1{,}0: x_2^{(1)} = \frac{7 - 1{,}0}{6} = 1{,}0.
  • Calculo x_3^{(1)} usando x_1^{(1)}=1{,}0 e x_2^{(1)}=1{,}0: x_3^{(1)} = \frac{1{,}0 - 1{,}0}{3} = 0.
  • Resultado: x^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 14

Verificação do critério de parada para Gauss–Seidel:
  • Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty = \max\{ |1 - (-2)|, |1-1|, |0-0|\} = 3.
  • \|x^{(1)}\|_\infty = 1.
  • Erro relativo = 3 / 1 = 3 > 0{,}1. Então, apesar de grande essa primeira diferença, continuamos para a próxima iteração.
Iteração 2 ( k=1 \to 2):
  • Aplicando as fórmulas com x^{(1)}=(1,1,0) (mas atenção: já veremos que não muda): x_1^{(2)} = 0{,}8 + 0{,}2\cdot 1 + 0{,}2\cdot 0 = 1{,}0,
x_2^{(2)} = \frac{7 - 1{,}0}{6} = 1{,}0,
x_3^{(2)} = \frac{1{,}0 - 1{,}0}{3} = 0.
  • Logo x^{(2)} = x^{(1)}. Então \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty = 0 e o erro relativo é 0 \le 0{,}1. Critério satisfeito.

Passo 15

Observação importante: x=(1,1,0)^T é, na verdade, a solução exata do sistema (podemos verificar substituindo na equação original). Por isso Gauss–Seidel, a partir do chute dado, atingiu a solução exata já na primeira atualização (e confirmou estabilidade na segunda iteração). Isso acontece algumas vezes quando o chute inicial e a estrutura do sistema permitem convergência direta.

Resposta

(a) \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0{,}998888889\\[4pt]1{,}002962963\\[4pt]-0{,}004074074\end{pmatrix}
(b) \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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