Considere o seguinte subconjunto do R^{2}: S=\{(x, y) / y=x+5\}. Verifique se S e um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x+5\}
e pede para verificar se S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Todo ponto de S tem a forma (x,x+5) com x\in\mathbb{R}.
  • A pergunta é binária: ou S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2} ou não.

Passo 2

Lembrete prático (definição e ferramenta rápida de prova). Para ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}, um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{2} deve satisfazer, entre outras coisas, estas propriedades necessárias (que costumam ser usadas como teste rápido):
  1. W contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0).
  2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Importante: se qualquer uma dessas propriedades falhar, W não é subespaço. O teste mais rápido é verificar se \mathbf{0}\in W: todo subespaço deve conter o vetor nulo porque, tomando qualquer v\in W e multiplicando por 0, obtém-se \mathbf{0}=0\cdot v\in W.

Passo 3

Aplicando o teste do vetor zero ao conjunto S. Para que \mathbf{0}=(0,0) pertença a S é necessário que as coordenadas satisfazam a equação definidora de S:
y=x+5.
Substituindo x=0 e y=0 (as coordenadas de \mathbf{0}) obtemos
0 \stackrel{?}{=} 0 + 5.
Isso dá 0 = 5, que é falso. Logo não existe x tal que (0,0)=(x,x+5). Portanto
\mathbf{0}\notin S.

Passo 4

Explicação didática do que isso significa na prova: como todo subespaço precisa conter o vetor nulo e S não contém \mathbf{0}, concluímos imediatamente que S não é subespaço vetorial. Não é preciso verificar as outras propriedades; a falha de uma condição necessária basta para a negação.
Para fixar a intuição, aqui vão duas maneiras alternativas (não necessárias para concluir, mas úteis para entender):
  • Exemplo via adição: escolha u=(0,5)\in S (tomando x=0) e v=(1,6)\in S (tomando x=1). Então u+v=(1,11),e verificando a condição de S temos 11 \neq 1+5, logo u+v\notin S. Falha da fechadura por adição.
  • Exemplo via multiplicação escalar: escolha w=(1,6)\in S e faça 0\cdot w=(0,0). Como (0,0)\notin S, a fechadura por escalares também falha.
Ambas as alternativas mostram de forma concreta que S é uma reta paralela à diagonal y=x deslocada verticalmente em 5 unidades — uma reta afim que não passa pela origem, e por isso não é subespaço.

Passo 5

Conclusão final e incentivo rápido: já temos contraexemplo direto (a ausência do vetor nulo), então a resposta é negativa. Relaxa — esse tipo de pergunta costuma cair justamente para testar se você lembra de checar se a reta passa pela origem. Na prova, ao ver uma reta definida como y = x + b, se b\neq 0 pode abrir mão de cálculos longos: não é subespaço.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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