Considere o seguinte subconjunto do
. Verifique se
e um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Todo ponto de
tem a forma com . - A pergunta é binária: ou
é subespaço vetorial de ou não.
Passo 2
Lembrete prático (definição e ferramenta rápida de prova). Para ser subespaço vetorial de
, um subconjunto
deve satisfazer, entre outras coisas, estas propriedades necessárias (que costumam ser usadas como teste rápido):
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Importante: se qualquer uma dessas propriedades falhar,
não é subespaço. O teste mais rápido é verificar se
: todo subespaço deve conter o vetor nulo porque, tomando qualquer
e multiplicando por
, obtém-se
.
Passo 3
Aplicando o teste do vetor zero ao conjunto
. Para que
pertença a
é necessário que as coordenadas satisfazam a equação definidora de
:
Substituindo
e
(as coordenadas de
) obtemos
Isso dá
, que é falso. Logo não existe
tal que
. Portanto
Passo 4
Explicação didática do que isso significa na prova: como todo subespaço precisa conter o vetor nulo e
não contém
, concluímos imediatamente que
não é subespaço vetorial. Não é preciso verificar as outras propriedades; a falha de uma condição necessária basta para a negação.
Para fixar a intuição, aqui vão duas maneiras alternativas (não necessárias para concluir, mas úteis para entender):
- Exemplo via adição: escolha
(tomando ) e (tomando ). Então e verificando a condição de temos , logo . Falha da fechadura por adição. - Exemplo via multiplicação escalar: escolha
e faça . Como , a fechadura por escalares também falha.
Ambas as alternativas mostram de forma concreta que
é uma reta paralela à diagonal
deslocada verticalmente em
unidades — uma reta afim que não passa pela origem, e por isso não é subespaço.
Passo 5
Conclusão final e incentivo rápido: já temos contraexemplo direto (a ausência do vetor nulo), então a resposta é negativa. Relaxa — esse tipo de pergunta costuma cair justamente para testar se você lembra de checar se a reta passa pela origem. Na prova, ao ver uma reta definida como
, se
pode abrir mão de cálculos longos: não é subespaço.