Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15). Represente, nesse sistema, os seguintes números:
y=(93)_{10};

Passo 1

O enunciado pede: representar, no sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15), o número y=(93)_{10}.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • base \beta=2;
  • precisão t=10 dígitos significativos (isto é, t bits na mantissa, incluindo o bit líder);
  • menor expoente L=-15 e maior expoente U=15;
  • número a representar: y=93 em base decimal.

Passo 2

Converter y=93 para base binária (passo-a-passo):
Usamos potências de 2:
  • 2^6=64, 2^5=32, 2^4=16, 2^3=8, 2^2=4, 2^1=2, 2^0=1.
Decompondo 93:
93 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 = 2^6 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0.
Portanto a representação binária é:
93_{10} = 1011101_2.

Passo 3

Normalizar a representação em base 2.
Padrão de números normalizados (no sistema \mathbb{F}(\beta,t,L,U) com \beta=2) é ter a mantissa na forma
1.b_1 b_2 \dots b_{t-1}
(com exatamente t bits significativos, incluindo o 1 inicial) multiplicada por 2^{e}, onde e é o expoente inteiro.
Para 1011101_2 colocamos o ponto after o primeiro dígito 1:
1011101_2 = 1.011101_2 \times 2^{6}.
Aqui o expoente é e=6 (porque deslocamos o ponto 6 posições à esquerda) e a mantissa normalizada atual é 1.011101_2 (que tem 1 mais 6 bits fracionários).

Passo 4

Ajustar a mantissa à precisão t=10.
Explicação do que significa t: t é o número total de dígitos na mantissa (aqui, bits). Em formato normalizado binário a mantissa tem a forma 1.b_1 b_2 \dots b_{t-1}; então existem t-1 bits fracionários.
No nosso caso t=10 implica t-1=9 bits fracionários. A mantissa atual tem somente 6 bits fracionários: 011101. Para ter exatamente 9 bits fracionários, completamos com zeros à direita (isto é, estamos implicitamente assumindo arredondamento por truncamento/completeza — mas aqui a extensão com zeros é exata porque o número original tinha apenas esses bits):
Mantissa com 9 bits fracionários:
1.011101000_2
Isso tem 1 (bit líder) + 9 bits fracionários = 10 bits no total, conforme t=10.
Observação sobre arredondamento: se a expansão binária tivesse mais de 9 bits fracionários relevantes precisaríamos decidir entre truncar ou arredondar. Aqui não é necessário porque completamos com zeros — o valor é exatamente representável no formato escolhido.

Passo 5

Verificar o expoente contra o intervalo permitido.
O expoente obtido foi e=6. O intervalo de expoentes do sistema é L=-15 até U=15. Como 6 está dentro de [-15,15], não há underflow nem overflow: o número é representável como número normalizado.

Passo 6

Escrever a representação final no formato do sistema.
Signo: positivo ( +), mantissa normalizada com t=10 bits: 1.011101000_2, expoente e=6.
Assim:
y = +\,1.011101000_2 \times 2^{6}.

Resposta

\;y = +1.011101000_2 \times 2^{6}

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