Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15). Represente, nesse sistema, os seguintes números:
w=(110101)_{2};

Passo 1

O enunciado pede para representar o número w=(110101)_{2} no sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15).
Informações dadas que vamos usar:
  • base \beta=2;
  • precisão p=10 dígitos binários na mantissa (isto é, a mantissa normalizada tem 1 bit antes do ponto e p-1=9 bits fracionários);
  • intervalo de expoentes E_{\min}=-15 e E_{\max}=15;
  • o número a representar é w=(110101)_{2}.

Passo 2

O que significa representar um número nesse sistema?
Todo número normalizado (não nulo) em \mathbb{F}(2,p,E_{\min},E_{\max}) tem a forma
\pm(1.b_{1}b_{2}\dots b_{p-1})_{2}\times 2^{e},
onde cada b_{i}\in\{0,1\} e o expoente e deve satisfazer E_{\min}\le e\le E_{\max}.
Aqui p=10, portanto a mantissa deve ter exatamente 1 bit antes do ponto (que é sempre 1 na normalização) e 9 bits depois do ponto.

Passo 3

Começamos convertendo w para a forma normalizada. Escrevendo explicitamente:
(110101)_{2} = 110101_{2}.
Essa cadeia tem 6 dígitos (o primeiro é o mais significativo). Para normalizar colocamos o ponto logo após o primeiro 1, deslocando-o 5 posições à esquerda. Assim
110101_{2} = 1.10101_{2}\times 2^{5}.
Uma verificação rápida: 1.10101_{2} = 1 + 2^{-1}+0\cdot2^{-2}+2^{-3}+0\cdot2^{-4}+2^{-5} = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{32} = \tfrac{53}{32}. Multiplicando por 2^{5}=32 obtemos 53, que é exatamente 110101_{2}. Tudo coerente.

Passo 4

Agora ajustamos a mantissa para ter p-1=9 bits fracionários. Atualmente a parte fracionária é 10101 (5 bits). Como o número é exato com bits restantes zero, completamos com zeros à direita até ter 9 bits fracionários:
1.10101\underbrace{0000}_{\text{4 zeros}}_{\,} = 1.101010000_{2}.
Não é necessário arredondamento porque os bits além de 10101 são zeros.

Passo 5

Verificamos o expoente: e=5 e está dentro do intervalo permitido [-15,15]. Logo o número é representável no formato normalizado deste sistema sem underflow nem overflow.

Passo 6

Concluímos a representação de w no sistema \mathbb{F}(2,10,-15,15): mantissa com p=10 bits e expoente e=5. O sinal é positivo.

Resposta

w = 1.101010000_{2}\times 2^{5}

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