Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15). Represente, nesse sistema, os seguintes números:
t=(0,1101)_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu represente o número t=(0,1101)_{2} no sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(2,10,-15,15). Informações dadas e o que é pedido:
  • Base do sistema: \beta=2.
  • Precisão (número de dígitos da mantissa): p=10.
  • Intervalo de expoentes: e_{\min}=-15, e_{\max}=15.
  • Número a representar: t=(0,1101)_{2}. Interpreto isto como o número binário 0{,}1101_{2} (ou seja, 0{,}1101_2 com vírgula binária).
  • O pedido é: escrever t na forma normalizada usada pelo sistema (mantissa com p dígitos e expoente dentro de [-15,15]), indicando se há arredondamento ou se é exato.

Passo 2

Primeiro vou entender exatamente o valor de t em termos de potências de 2. O número 0{,}1101_{2} significa
t = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-4}.
Calculemos cada termo:
2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0{,}5,\qquad 2^{-2}=\tfrac{1}{4}=0{,}25,\qquad 2^{-4}=\tfrac{1}{16}=0{,}0625.
Somando:
t = 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}0625 = 0{,}8125.
Mas vou trabalhar em binário; em binário já temos t=0{,}1101_{2}.

Passo 3

Agora normalizo t para a forma padrão de ponto flutuante binária. Em ponto flutuante normalizado (base 2) a mantissa deve ter a forma 1.d_1d_2\ldots (ou seja, o dígito à esquerda da vírgula é 1). Para obter isso, desloco a vírgula uma posição à direita e compenso com um expoente:
0{,}1101_{2} = 1{,}101_{2}\times 2^{-1}.
Aqui multipliquei por 2 (desloquei a vírgula) e então coloquei 2^{-1} para compensar. Então a forma normalizada é mantissa 1{,}101_{2} e expoente e=-1.

Passo 4

Agora ajusto a mantissa ao formato do sistema com precisão p=10. A convenção é que a mantissa tem p dígitos em base \beta; em binário isso significa um dígito inteiro (o 1 à esquerda) mais p-1 dígitos fracionários. Aqui p-1=9, então precisamos de 9 bits fracionários depois do ponto na mantissa.
A mantissa atual é 1{,}101_{2}. Escrevendo até p dígitos e completando com zeros (ou arredondando se necessário), obtemos
\text{mantissa} = 1{,}101000000_{2},
onde acrescentei seis zeros depois de 1{,}101 para ter exatamente 9 bits fracionários. Não foi necessário arredondar, pois a sequência de dígitos originais termina depois de 1{,}101; portanto a representação é exata no formato dado.

Passo 5

Verifico o expoente: obtive e=-1, que está dentro do intervalo permitido [-15,15]. O sinal é positivo, logo s=0.
Posso escrever a representação final em notação de ponto flutuante como
t = (+)\,1{,}101000000_{2}\times 2^{-1}.
Se quisermos também expor em forma de campos (sinal, mantissa, expoente) temos:
s=0,\qquad \text{mantissa}=1{,}101000000_{2},\qquad e=-1.

Resposta

t = 1{,}101000000_{2}\times 2^{-1}

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