Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(10,8,-99,99). Represente, nesse sistema, os seguintes números decimais:
y=0,0000415;

Passo 1

O enunciado pede: representar o número y=0,0000415 no sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(10,8,-99,99). Informação dada que vou usar explicitamente:
\mathbb{F}(10,8,-99,99) significa que a base é \beta=10, a precisão (número de dígitos significativos) é p=8, o menor expoente é e_{\min}=-99 e o maior é e_{\max}=99. O número a ser representado é y=0,0000415.

Passo 2

O que significa representar um número nesse sistema (explicando a forma que usaremos): em \mathbb{F}(\beta,p,e_{\min},e_{\max}) um número normalizado tem a forma
\pm d_{1}.d_{2}d_{3}\dots d_{p}\times \beta^{e},
onde d_{1}\in\{1,2,\dots,\beta-1\} (o primeiro dígito não pode ser zero) e cada d_{i}\in\{0,1,\dots,\beta-1\}. Aqui \beta é a base (aqui \beta=10), p é a quantidade de dígitos significativos (aqui p=8) e e é o expoente que deve satisfazer e_{\min}\le e\le e_{\max}. Vou usar essa forma para encontrar a representação de y.

Passo 3

Primeiro passo prático: escrever y em notação científica normalizada (movendo a vírgula até o primeiro dígito não nulo). Começo de forma explícita:
y=0,0000415.
Para obter a mantissa com primeiro dígito não nulo conto quantas posições a vírgula precisa andar: multiplicando por 10^{5} obtemos
0,0000415\times10^{5}=4,15.
Logo a notação científica é
y=4,15\times10^{-5}.
Aqui 4,15 tem d_{1}=4\neq0, então está normalizado e o expoente é e=-5.

Passo 4

Agora preciso ajustar a mantissa para ter exatamente p=8 dígitos significativos. A mantissa atual 4,15 tem apenas três algarismos significativos ( 4,1,5). Para ter 8 dígitos, preencho com zeros à direita (isso não muda o valor):
4,15 = 4,1500000 \quad\text{(agora tem 8 dígitos: }4,1,5,0,0,0,0,0\text{)}.í
Portanto a mantissa com p=8 é 4,1500000.

Passo 5

Verifico se o expoente obtido está no intervalo permitido: temos e=-5 e o intervalo é -99\le e\le99. Como -5 está dentro do intervalo, o número é representável como número normalizado sem underflow de expoente.

Passo 6

Conferindo se houve necessidade de arredondamento: o número original tem menos dígitos significativos do que p, então não houve perda de informação nem necessidade de arredondamento — a representação é exata no formato com p=8.

Passo 7

Escrevo a representação final no formato usual e também como tupla de componentes (sinal, dígitos da mantissa, expoente) para ficar claro como ficaria na máquina:
Forma normalizada com p=8:
y=+4,1500000\times10^{-5}.
Tupla (sinal, mantissa decimal com p dígitos, expoente):
(+,\;4\,1500000,\;e=-5).

Resposta

y=+4,1500000\times10^{-5}

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