Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante
.
(a) Liste todos os números decimais representáveis nesse sistema e disponha-os sobre um eixo ordenado;
(b) Determine o maior número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento);
(c) Determine o menor número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento).
(a) Liste todos os números decimais representáveis nesse sistema e disponha-os sobre um eixo ordenado;
(b) Determine o maior número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento);
(c) Determine o menor número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento).
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o sistema de ponto flutuante
: (a) listar todos os números decimais representáveis e colocá‑los ordenados numa reta; (b) determinar o maior número (em base 10) representável sem arredondamento; (c) determinar o menor número (em base 10) representável sem arredondamento.
As informações explícitas que temos (vou listar como dados do enunciado): (base binária),
(duas cifras na mantissa),
e
(expoente inteiro limitado entre
e
, inclusive). Além disso adotamos a forma normalizada usual de ponto flutuante (mantissa com primeiro dígito não nulo) e incluímos o número especial zero.
As informações explícitas que temos (vou listar como dados do enunciado):
Passo 2
Vamos escrever a forma geral de um número normalizado neste sistema. Um número representável (não nulo) tem a forma
onde
(no caso binário
),
para
,
é o número de dígitos da mantissa e
satisfaz
. Aqui temos
, logo a mantissa tem exatamente dois dígitos:
.
Passo 3
Com
e
, os dígitos possíveis para a mantissa são:
Vou converter essas mantissas binárias para valores decimais (base 10) para ficar claro:
(Usei vírgula decimal no estilo português:
.)
Passo 4
Os expoentes permitidos são
. Agora multiplico cada mantissa pelo fator
.
Para
temos
:
Passo 5
Para
temos
:
Passo 6
Devemos também considerar os sinais e o zero. Assim, os números representáveis não nulos são os positivos e os negativos dos valores obtidos:
. Adicionando o zero, o conjunto completo dos números representáveis é
Para colocá‑los sobre uma reta numérica, basta ordenar do menor para o maior, o que já fiz acima.
Passo 7
Explico rapidamente a razão geral do maior e menor positivo: o maior número positivo normalizado, em geral, é obtido usando a mantissa máxima (todas as cifras (na base) iguais a
após o primeiro dígito) e o maior expoente
. No nosso caso a mantissa máxima é
e o maior expoente é
, o que deu
. O menor número positivo normalizado é obtido usando a mantissa mínima normalizada
e o menor expoente
, o que deu
. (Estou assumindo aqui que o enunciado não considerou números subnormais/denormalizados.)
Passo 8
Resumo numérico para responder cada item pedido:
- (a) Lista ordenada (eixos):
. - (b) Maior número representável (positivo):
. - (c) Menor número positivo representável (não nulo):
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)