Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(2,2,2,3).
(a) Liste todos os números decimais representáveis nesse sistema e disponha-os sobre um eixo ordenado;
(b) Determine o maior número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento);
(c) Determine o menor número, na base 10, que pode ser representado nesse sistema (sem arredondamento).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(2,2,2,3): (a) listar todos os números decimais representáveis e colocá‑los ordenados numa reta; (b) determinar o maior número (em base 10) representável sem arredondamento; (c) determinar o menor número (em base 10) representável sem arredondamento.
As informações explícitas que temos (vou listar como dados do enunciado): \beta=2 (base binária), t=2 (duas cifras na mantissa), L=2 e U=3 (expoente inteiro limitado entre 2 e 3, inclusive). Além disso adotamos a forma normalizada usual de ponto flutuante (mantissa com primeiro dígito não nulo) e incluímos o número especial zero.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de um número normalizado neste sistema. Um número representável (não nulo) tem a forma
\pm(d_0.d_1\ldots d_{t-1})_\beta \times \beta^{e},
onde d_0\in\{1,\dots,\beta-1\} (no caso binário d_0=1), d_i\in\{0,\dots,\beta-1\} para i\ge1, t é o número de dígitos da mantissa e e satisfaz L\le e\le U. Aqui temos t=2, logo a mantissa tem exatamente dois dígitos: d_0.d_1.

Passo 3

Com t=2 e \beta=2, os dígitos possíveis para a mantissa são:
1.0_2 \quad\text{e}\quad 1.1_2.
Vou converter essas mantissas binárias para valores decimais (base 10) para ficar claro:
1.0_2 = 1,
1.1_2 = 1 + 2^{-1} = 1 + \tfrac{1}{2} = 1,5.
(Usei vírgula decimal no estilo português: 1,5.)

Passo 4

Os expoentes permitidos são e\in\{2,3\}. Agora multiplico cada mantissa pelo fator \beta^e=2^e.
Para e=2 temos \beta^2=2^2=4:
1,0_2\times 2^2 = 1\times 4 = 4,
1,1_2\times 2^2 = 1,5\times 4 = 6.

Passo 5

Para e=3 temos \beta^3=2^3=8:
1,0_2\times 2^3 = 1\times 8 = 8,
1,1_2\times 2^3 = 1,5\times 8 = 12.

Passo 6

Devemos também considerar os sinais e o zero. Assim, os números representáveis não nulos são os positivos e os negativos dos valores obtidos: \pm 4,\\ \pm 6,\\ \pm 8,\\ \pm 12. Adicionando o zero, o conjunto completo dos números representáveis é
\{-12,-8,-6,-4,0,4,6,8,12\}.
Para colocá‑los sobre uma reta numérica, basta ordenar do menor para o maior, o que já fiz acima.

Passo 7

Explico rapidamente a razão geral do maior e menor positivo: o maior número positivo normalizado, em geral, é obtido usando a mantissa máxima (todas as cifras (na base) iguais a \beta-1 após o primeiro dígito) e o maior expoente U. No nosso caso a mantissa máxima é 1.1_2 e o maior expoente é 3, o que deu 12. O menor número positivo normalizado é obtido usando a mantissa mínima normalizada 1.0_2 e o menor expoente L, o que deu 4. (Estou assumindo aqui que o enunciado não considerou números subnormais/denormalizados.)

Passo 8

Resumo numérico para responder cada item pedido:
  • (a) Lista ordenada (eixos): -12 < -8 < -6 < -4 < 0 < 4 < 6 < 8 < 12.
  • (b) Maior número representável (positivo): 12.
  • (c) Menor número positivo representável (não nulo): 4.

Resposta

(a) -12,\\\ -8,\\\ -6,\\\ -4,\\\ 0,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 8,\\\ 12
(b) 12
(c) 4

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