Considere-se o sistema de equações lineares
\left\{ \begin{array}{cc} 1 x-3 y+ & 7 z=-1 \\\\ 4 x-11 y+ & 26 z=-3 \\\\ -5 x+17 y+\left(k^{2}-48\right) z & =k+10 . \end{array} \right.
a) (8 pontos) Determinar todos os valores do parâmetro k para os quais o sistema:
i. tem solução única;
ii. tem infinitas soluçōes;
iii. năo tem solução.
b) (4 pontos) Resolver o sistema acima para o valor de k no caso 3(a)ii em que o sistema tem infinitas soluçōes.
c) ( 3 pontos) Considerem-se matrizes B, C e D de ordem 3 tais que \operatorname{det}(B)=3 e \operatorname{det}\text{(C)}=5 e \operatorname{det}(D)=10; considere-se a matriz M=4 B C^{t} D^{-1}. Marcar a alternativa correta.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações lineares
\left\{ \begin{array}{rcl} x-3y+7z &=& -1,\\[4pt] 4x-11y+26z &=& -3,\\[4pt] -5x+17y+\bigl(k^{2}-48\bigr)z &=& k+10, \end{array} \right.
e pede:
i. determinar todos os valores do parâmetro k para os quais o sistema tem solução única;
ii. determinar os k para os quais o sistema tem infinitas soluções;
iii. determinar os k para os quais o sistema não tem solução.
b) Para o caso em que há infinitas soluções (item (a)ii), resolver o sistema (achar a solução geral).
c) Dadas matrizes B,C,D de ordem 3 com \det(B)=3, \det\text{(C)}=5, \det(D)=10 e M=4\,B\,C^{t}\,D^{-1}, encontrar \det(M).
Informações relevantes: os coeficientes das três primeiras equações e a dependência do terceiro na variável parâmetro k; as determinantes dadas em (c).]

Passo 2

Vou analisar primeiro a existência de solução única calculando o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 7\\[4pt] 4 & -11 & 26\\[4pt] -5 & 17 & k^{2}-48 \end{pmatrix}.
Cálculo de \det(A) por expansão na primeira linha (ou usando a regra de Sarrus/adição adequada):
\begin{aligned} \det(A) &=1\cdot\bigl(-11(k^{2}-48)-26\cdot17\bigr) -(-3)\cdot\bigl(4(k^{2}-48)-26(-5)\bigr)\\[4pt] &\quad+7\cdot\bigl(4\cdot17-(-11)(-5)\bigr). \end{aligned}
Agora calculemos cada termo com calma:
-11(k^{2}-48)-26\cdot17=-11k^{2}+528-442=-11k^{2}+86,
4(k^{2}-48)-26(-5)=4k^{2}-192+130=4k^{2}-62,
4\cdot17-(-11)(-5)=68-55=13.
Substituindo:
\det(A)=(-11k^{2}+86)+3(4k^{2}-62)+7\cdot13.
Calcule os produtos e some:
(-11k^{2}+86)+(12k^{2}-186)+91=( -11k^{2}+12k^{2})+(86-186+91)=k^{2}-9.
Portanto
\det(A)=k^{2}-9=(k-3)(k+3).]

Passo 3

Interpretação (aula rápida): se \det(A)\neq 0 então a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema linear tem solução única. Se \det(A)=0 a solução única não está garantida — pode haver infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência (ranks da matriz dos coeficientes e da ampliada). Como \det(A)=k^{2}-9, conclui-se imediatamente que:
  • para k\neq \pm 3 temos \det(A)\neq 0 e, portanto, solução única;
  • para k=\pm 3 temos \det(A)=0 e é preciso examinar a consistência (usar eliminação para ver se há infinitas soluções ou nenhuma).

Passo 4

Vamos estudar k=3. Substituindo k=3 no sistema a terceira equação fica com k^{2}-48=9-48=-39 e termo independente k+10=13. O sistema é
\left\{ \begin{array}{rcl} x-3y+7z &=& -1,\\[4pt] 4x-11y+26z &=& -3,\\[4pt] -5x+17y-39z &=& 13. \end{array} \right.
Faço eliminação por linhas (montando a matriz aumentada e operando passo a passo). Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & -1\\[4pt] 4 & -11 & 26 & -3\\[4pt] -5 & 17 & -39 & 13 \end{array}\right).
Operações (explico o porquê: zerar primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1):
R2 ← R2 − 4R1:
R2=\bigl[0,\;1,\;-2\;|\;1\bigr].
R3 ← R3 + 5R1:
R3=\bigl[0,\;2,\;-4\;|\;8\bigr].
Agora elimino segunda coluna em R3 usando R2: R3 ← R3 − 2R2:
R3=\bigl[0,\;0,\;0\;|\;6\bigr].
Isto corresponde a 0x+0y+0z=6, que é uma contradição. Portanto para k=3 o sistema é inconsistente — não tem solução.]

Passo 5

Agora estudo k=-3. Substituindo k=-3 temos k^{2}-48=9-48=-39 (mesmo coeficiente para z), e termo independente k+10=-3+10=7. O sistema fica
\left\{ \begin{array}{rcl} x-3y+7z &=& -1,\\[4pt] 4x-11y+26z &=& -3,\\[4pt] -5x+17y-39z &=& 7. \end{array} \right.
Matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & -1\\[4pt] 4 & -11 & 26 & -3\\[4pt] -5 & 17 & -39 & 7 \end{array}\right).
Faço as mesmas operações que no caso anterior:
R2 ← R2 − 4R1:
R2=\bigl[0,\;1,\;-2\;|\;1\bigr].
R3 ← R3 +5R1:
R3=\bigl[0,\;2,\;-4\;|\;2\bigr].
Agora R3 ← R3 − 2R2:
R3=\bigl[0,\;0,\;0\;|\;0\bigr].
A última linha é 0=0, ou seja, não traz nova informação — o sistema é consistente e a matriz dos coeficientes tem posto 2 (menor que 3). Pelo teorema de Rouché–Capelli, isso significa que existem infinitas soluções com um grau de liberdade (uma variável livre). Vamos encontrar a solução geral.
Da linha R2: y-2z=1, portanto
y=1+2z.
Da primeira equação x-3y+7z=-1, substituindo y:
x-3(1+2z)+7z=-1.
Calcule passo a passo:
x-3-6z+7z=-1 \quad\Rightarrow\quad x-3+z=-1,
x=z+2.
(ou reorganizando x=2-z — atenção: refaço a conta: estava x-3+z=-1 então x+z=2 ou x=2-z. Vou ajustar para consistência.)
Corrigindo a substituição corretamente: da equação inicial x-3y+7z=-1 com y=1+2z,
x-3(1+2z)+7z=-1 \Rightarrow x-3-6z+7z=-1 \Rightarrow x-3+z=-1,
x+z=2 \Rightarrow x=2-z.
Portanto a solução geral, usando parâmetro livre t para z, é
z=t,\qquad y=1+2t,\qquad x=2-t,\quad t\in\mathbb{R}.
Isso confirma que, para k=-3, o sistema tem infinitas soluções (vitória!).]

Passo 6

Agora a parte (c). Lembrando propriedades importantes de determinantes (mini-aula rápida):
  • \det(\alpha A)=\alpha^{n}\det(A) para matriz A de ordem n e escalar \alpha. Aqui n=3.
  • \det(AB)=\det(A)\det(B).
  • \det(A^{t})=\det(A).
  • \det(A^{-1})=1/\det(A) quando A é invertível.
Dado M=4\,B\,C^{t}\,D^{-1}, aplico as propriedades:
\det(M)=\det(4\,B\,C^{t}\,D^{-1})=\det(4I_{3})\det(B)\det(C^{t})\det(D^{-1}).
Aqui \det(4I_{3})=4^{3}=64. Além disso \det(C^{t})=\det\text{(C)}=5 e \det(D^{-1})=1/\det(D)=1/10. Assim
\det(M)=64\cdot\det(B)\cdot\det\text{(C)}\cdot\frac{1}{\det(D)}=64\cdot 3\cdot 5\cdot\frac{1}{10}.
Calcule:
3\cdot5=15,\qquad \frac{15}{10}=1{,}5,\qquad 64\cdot1{,}5=96.
Portanto \det(M)=96.

Resposta

a.i) Sistema tem solução única para k\neq \pm 3.
a.ii) Sistema tem infinitas soluções para k=-3.
a.iii) Sistema não tem solução para k=3.
b) Para k=-3 a solução geral é \bigl(x,y,z\bigr)=(2-t,\;1+2t,\;t), com t\in\mathbb{R}.
c) \det(M)=96.

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