Considere-se o sistema de equações lineares \left\{
\begin{array}{cc}
1 x-3 y+ & 7 z=-1 \\\\ 4 x-11 y+ & 26 z=-3 \\\\ -5 x+17 y+\left(k^{2}-48\right) z & =k+10 .
\end{array}
\right.
a) (8 pontos) Determinar todos os valores do parâmetro k para os quais o sistema:
i. tem solução única;
ii. tem infinitas soluçōes;
iii. năo tem solução.
b) (4 pontos) Resolver o sistema acima para o valor de k no caso 3(a)ii em que o sistema tem infinitas soluçōes.
c) ( 3 pontos) Considerem-se matrizes B, C e D de ordem 3 tais que \operatorname{det}(B)=3 e \operatorname{det}\text{(C)}=5 e \operatorname{det}(D)=10; considere-se a matriz M=4 B C^{t} D^{-1}. Marcar a alternativa correta.
e pede:
i. determinar todos os valores do parâmetro k para os quais o sistema tem solução única;
ii. determinar os k para os quais o sistema tem infinitas soluções;
iii. determinar os k para os quais o sistema não tem solução.
b) Para o caso em que há infinitas soluções (item (a)ii), resolver o sistema (achar a solução geral).
c) Dadas matrizes B,C,D de ordem 3 com \det(B)=3, \det\text{(C)}=5, \det(D)=10 e M=4\,B\,C^{t}\,D^{-1}, encontrar \det(M).
Informações relevantes: os coeficientes das três primeiras equações e a dependência do terceiro na variável parâmetro k; as determinantes dadas em (c).]
Passo 2
Vou analisar primeiro a existência de solução única calculando o determinante da matriz dos coeficientes
Interpretação (aula rápida): se \det(A)\neq 0 então a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema linear tem solução única. Se \det(A)=0 a solução única não está garantida — pode haver infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência (ranks da matriz dos coeficientes e da ampliada). Como \det(A)=k^{2}-9, conclui-se imediatamente que:
para k\neq \pm 3 temos \det(A)\neq 0 e, portanto, solução única;
para k=\pm 3 temos \det(A)=0 e é preciso examinar a consistência (usar eliminação para ver se há infinitas soluções ou nenhuma).
Passo 4
Vamos estudar k=3. Substituindo k=3 no sistema a terceira equação fica com k^{2}-48=9-48=-39 e termo independente k+10=13. O sistema é
Faço as mesmas operações que no caso anterior:
R2 ← R2 − 4R1:
R2=\bigl[0,\;1,\;-2\;|\;1\bigr].
R3 ← R3 +5R1:
R3=\bigl[0,\;2,\;-4\;|\;2\bigr].
Agora R3 ← R3 − 2R2:
R3=\bigl[0,\;0,\;0\;|\;0\bigr].
A última linha é 0=0, ou seja, não traz nova informação — o sistema é consistente e a matriz dos coeficientes tem posto 2 (menor que 3). Pelo teorema de Rouché–Capelli, isso significa que existem infinitas soluções com um grau de liberdade (uma variável livre). Vamos encontrar a solução geral.
Da linha R2: y-2z=1, portanto
y=1+2z.
Da primeira equação x-3y+7z=-1, substituindo y:
x-3(1+2z)+7z=-1.
Calcule passo a passo:
x-3-6z+7z=-1 \quad\Rightarrow\quad x-3+z=-1,
x=z+2.
(ou reorganizando x=2-z — atenção: refaço a conta: estava x-3+z=-1 então x+z=2 ou x=2-z. Vou ajustar para consistência.)
Corrigindo a substituição corretamente: da equação inicial x-3y+7z=-1 com y=1+2z,