Considere o sistema \left\{\begin{array}{r}x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0\end{array}\right.. Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(a) Verifique que a matriz coluna X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] é solução do sistema.
(b) Resolva o sistema e verifique que toda solução escrita como matrix coluna é da forma
(c) Verifique que t\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], t \in \mathbb{R}, engloba todas as soluções do sistema linear homogêneo associado.
(d) Relacione esses resultados com o exe. 10.
(e) Sendo X, Y duas soluções distintas do sistema não homogêneo, mostre que qualquer ponto contido na reta que liga X e Y também é solução. [Isso vale para qualquer sistema linear?]
Passo 1
O enunciado dá o sistema de duas equações lineares em três incógnitas:
(a) Verificar que X=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix} é solução.
(b) Resolver o sistema e mostrar que toda solução é da forma \displaystyle X=t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix}, t\in\mathbb{R}.
(c) Verificar que t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} engloba todas as soluções do sistema homogêneo associado.
(d) Relacionar esses resultados com o exe. 10 (interpretação geral).
(e) Sendo X,Y duas soluções distintas do sistema não homogêneo, mostrar que qualquer ponto da reta que liga X e Y também é solução e dizer se isso vale para qualquer sistema linear.
Informações relevantes:
Há mais incógnitas (3) do que equações (2), então espera-se liberdade (variáveis livres) e uma família infinita de soluções; normalmente a solução do sistema não homogêneo é um particular mais a solução geral do homogêneo.
Temos coeficientes explícitos nas duas equações — podemos trabalhar por eliminação para achar a solução geral.]
Passo 2
Escrever o sistema na forma matricial A X = B.
Explicação didática rápida: para escrever um sistema linear como A X = B juntamos os coeficientes das incógnitas em cada equação como linhas de uma matriz A, a coluna de incógnitas em X e os termos independentes em B.
Aqui os coeficientes das incógnitas (x,y,z) nas duas equações são, em ordem, (1,6,-8) e (2,6,-4). Assim:
(a) Verificar que X=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix} é solução.
Método: calcular A X e ver se dá B. Lembrete rápido de multiplicação matricial: se A é 2\times3 e X é 3\times1, o produto A X é um vetor 2\times1 cujas entradas são combinações lineares dos coeficientes da linha de A com as entradas de X.
Calculemos:
A X = \begin{pmatrix}1 & 6 & -8\\[2pt]2 & 6 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+6\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)+(-8)\cdot 0\\[6pt] 2\cdot(-1)+6\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)+(-4)\cdot 0 \end{pmatrix}.
Podemos separar a parte dependente de t e a parte fixa:
X = t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isso mostra exatamente a forma pedida no enunciado: toda solução é um múltiplo escalar do vetor \begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} somado ao particular \begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 5
(c) Verificar que [t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}), t\in\mathbb{R}, engloba todas as soluções do sistema linear homogêneo associado.
O sistema homogêneo associado é obtido fazendo B=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}, ou seja:
Ou seja, o conjunto de soluções do homogêneo é exatamente a reta (subespaço linear) gerada por \begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Conceito: o conjunto de soluções do sistema homogêneo é o núcleo (nullspace) da matriz A; aqui é uma linha (dimensão 1) porque a nulidade é 1.]
Passo 6
(d) Relacionar esses resultados com o exe. 10 (interpretação geral).
Interpretação geral (provavelmente o conteúdo do exe. 10): para qualquer sistema linear A X = B,
Se X_p é uma solução particular de A X = B e N(A) é o conjunto de soluções do homogêneo A X = 0, então toda solução de A X = B é da forma
X = X_p + v,\qquad v\in N(A).
Isto significa que o conjunto de soluções do sistema não homogêneo é um conjunto afim: uma translação do subespaço N(A) por um ponto particular X_p. No nosso exemplo, X_p=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]0\end{pmatrix} e N(A)=\{t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\}. Então a solução geral é exatamente X_p + N(A). Isso exemplifica o resultado teórico do exe. 10.]
Passo 7
(e) Sendo X,Y duas soluções distintas do sistema não homogêneo, mostrar que qualquer ponto da reta que liga X e Y também é solução. Dizer se isto vale para qualquer sistema linear.
Prova direta e geral (muito usada em provas): suponha X e Y satisfazem A X = B e A Y = B. Tome um ponto na reta entre X e Y dado por uma combinação afim
Aplicando A a Z(\lambda) e usando linearidade da multiplicação por matriz:
A Z(\lambda) = A\big((1-\lambda)X + \lambda Y\big) = (1-\lambda)A X + \lambda A Y = (1-\lambda)B + \lambda B = B.
Portanto Z(\lambda) é solução para todo \lambda. Em particular, para \lambda\in[0,1] obtemos todos os pontos do segmento fechado entre X e Y. Na verdade a propriedade vale para qualquer \lambda\in\mathbb{R}, então toda a reta através de X e Y está contida no conjunto de soluções — isso ocorre porque o conjunto de soluções é um conjunto afim (paralela ao núcleo).
Resposta à pergunta: sim, isto vale para qualquer sistema linear. Se X e Y são soluções de A X = B, qualquer combinação afim (1-\lambda)X+\lambda Y também é solução, pois a aplicação X\mapsto A X é linear. Isso é uma consequência direta da linearidade de A. Para o sistema homogêneo, além disso, temos fechamento sob combinações lineares (não só afins), isto é, é um subespaço vetorial.
(c) Soluções do homogêneo: \displaystyle \{\,t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\,\}.
(d) Relação com exe.10: ilustra a regra geral de que a solução do não homogêneo é um particular mais todo o núcleo de A (conjunto de soluções do homogêneo); aqui o núcleo é uma reta de dimensão 1.
(e) Se X,Y são soluções de A X=B, então qualquer ponto (1-\lambda)X+\lambda Y da reta que os liga também satisfaz A((1-\lambda)X+\lambda Y)=B; logo pertence ao conjunto de soluções. Sim — isso vale para qualquer sistema linear (o conjunto de soluções é sempre afim, e no caso homogêneo é um subespaço).]