Considere o sistema linear
cujas incógnitas são x e y . Para quais valores de
o sistema tem:
a) uma solução
b) infinitas soluções
c) nenhuma solução
Nos casos em que o sistema tem solução, explicite-as.
a) uma solução
b) infinitas soluções
c) nenhuma solução
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear cujas incógnitas são
e
:
onde
e
são parâmetros (números reais). O que é pedido:
a) Para quais valores de e
o sistema tem uma solução (isto é, exatamente uma)?\n
b) Para quais valores ele tem infinitas soluções?\n
c) Para quais valores ele não tem solução?\n
Além disso, nos casos em que há solução, devemos explicitar as soluções (ou a parametrização no caso infinito). Todas as informações relevantes do enunciado estão acima: as duas equações e que são parâmetros.
a) Para quais valores de
b) Para quais valores ele tem infinitas soluções?\n
c) Para quais valores ele não tem solução?\n
Além disso, nos casos em que há solução, devemos explicitar as soluções (ou a parametrização no caso infinito). Todas as informações relevantes do enunciado estão acima: as duas equações e que
Passo 2
Vou resolver de forma direta por substituição (método simples e bom para 2×2). A estratégia: expressar
por meio de
(ou vice-versa) na primeira equação e substituir na segunda; isso identifica o caso “denominador zero” que dá a situação especial.
Da primeira equação:
Passo 3
Substituo
na segunda equação
:
Agora desenvolvo e agrupo termos em
:
Reescrevendo o coeficiente de
de forma mais clara:
Passo 4
Analiso o caso geral quando o coeficiente
é diferente de zero.
Se
(ou seja,
), então posso dividir e obter
Substituo esse
em
para obter
:
Posso simplificar
para uma forma única: primeiro escrever com denominador comum
:
Calculo o numerador:
Portanto
Resumo do caso
: o sistema tem exatamente uma solução dada por
Breve interpretação (didática): quando o coeficiente de
na equação reduzida é não nulo, as duas retas (as equações) têm inclinações diferentes e se cruzam num ponto único.
Passo 5
Agora trato do caso especial
, ou seja
. Nesse caso a etapa de divisão acima não pode ser feita; é necessário verificar consistência das equações.
Substituo
nas equações originais:
Multiply a segunda equação por
(para comparar com a primeira):
Passo 6
Comparação quando
:
- Se
, então as duas equações são idênticas: ambas são . Nesse caso as equações representam a mesma reta, logo existe uma infinidade de soluções (todas as que satisfazem ). Uma parametrização simples é tomar um parâmetro e escolher, por exemplo, , então
Assim o conjunto de soluções é
, equivalently the line
.
- Se
, então a primeira equação é enquanto a segunda, multiplicada por , é . Essas duas retas têm o mesmo lado esquerdo mas diferentes termos independentes, portanto são retas paralelas distintas — não há ponto em comum — logo o sistema é inconsistente e não tem solução.
Passo 7
Resumo e conclusão (linguagem direta e útil para a prova):
- Determinante/coeficiente crítico:
. Se ( ) temos solução única com as fórmulas encontradas. Se ( ) devemos comparar os termos independentes e obter ou infinitas soluções (quando ) ou nenhuma (quando ).
Um comentário pedagógico rápido: esse procedimento é equivalente a usar a matriz de coeficientes
e observar seu determinante
. Determinante não nulo → solução única; determinante zero → linhas são paralelas ou coincidentes, daí vêm os casos infinito/nenhum.]
Resposta
a) Uma solução:
. Neste caso
b) Infinitas soluções:
e
. As soluções são todas as
tais que
, por exemplo parametrizadas por
e
com
.\n
c) Nenhuma solução: e
.
c) Nenhuma solução: