Considere a tabela que relaciona o calor específico da água e temperatura
Temperatura (T):{ }^{\circ} \mathrm{C} 20 25 30 35 40 45 50
Calor específico \text{(c)}: cal / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 0,99849 0,998
(a) Utilizando um polinômio do 2^{\mathrm{O}} grau obtenha uma aproximação para $c(38).

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação de c(38) (calor específico da água a 38\,^\circ\mathrm{C}) usando um polinômio de 2.º grau.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os pares (T,c):
(20,\,0,99907),\\ (25,\,0,99852),\\ (30,\,0,99826),\\ (35,\,0,99818),\\ (40,\,0,99828),\\ (45,\,0,99849),\\ (50,\,0,998\;).
A pergunta única é: obter c(38) aproximado por um polinômio quadrático.

Passo 2

Método escolhido: interpolação polinomial de grau 2 (polinômio quadrático) passando por três pontos próximos de T=38.
Escolhi os pontos com temperaturas 35, 40 e 45 porque envolvem 38 e estão próximos, o que tende a dar boa aproximação local. Vou construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 com:
x_0=35,\\ y_0=0,99818;\qquad x_1=40,\\ y_1=0,99828;\qquad x_2=45,\\ y_2=0,99849.

Passo 3

Fórmula de Lagrange (explicando cada peça):
O polinômio quadrático interpolador p(x) que passa por (x_i,y_i) para i=0,1,2 é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio básico \ell_i(x) é
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x é a temperatura onde queremos avaliar (no caso x=38), x_i são as temperaturas dos pontos escolhidos e y_i são os valores de c nesses pontos.

Passo 4

Calcular os \ell_i(38) passo a passo.
Para i=0 (ponto x_0=35):
\ell_0(38)=\frac{(38-40)(38-45)}{(35-40)(35-45)} =\frac{(-2)(-7)}{(-5)(-10)}=\frac{14}{50}=0,28.
Para i=1 (ponto x_1=40):
\ell_1(38)=\frac{(38-35)(38-45)}{(40-35)(40-45)} =\frac{(3)(-7)}{(5)(-5)}=\frac{-21}{-25}=0,84.
Para i=2 (ponto x_2=45):
\ell_2(38)=\frac{(38-35)(38-40)}{(45-35)(45-40)} =\frac{(3)(-2)}{(10)(5)}=\frac{-6}{50}=-0,12.
Verificação útil: 0,28+0,84-0,12=1, como deve acontecer para bases de Lagrange.

Passo 5

Avaliar p(38) usando os y_i e \ell_i(38):
\begin{aligned} p(38)&=y_0\ell_0(38)+y_1\ell_1(38)+y_2\ell_2(38)\\[4pt] &=0,99818\cdot0,28+0,99828\cdot0,84+0,99849\cdot(-0,12). \end{aligned}
Calculemos cada termo (mostrando as contas):
0,99818\cdot0,28=0,2794904,
0,99828\cdot0,84=0,8385552,
0,99849\cdot(-0,12)=-0,1198188.
Somando:
p(38)=0,2794904+0,8385552-0,1198188=0,9982268.]

Passo 6

Arredondamento e interpretação: os dados originais têm precisão até 10^{-5} aproximadamente. Arredondando p(38) a cinco casas decimais obtemos 0,99823. Isso significa que, pelo polinômio quadrático interpolador pelos pontos escolhidos, a estimativa para o calor específico a 38\,^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 0,99823 cal/g {}^\circC.

Resposta

0,99823\\ \text{cal/g}^{\circ}\text{C}

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