Considere a tabela que relaciona o calor específico da água e temperatura
Temperatura
20
25
30
35
40
45
50
Calor específico
cal
0,99907
0,99852
0,99826
0,99818
0,99828
0,99849
0,998
(a) Utilizando um polinômio do
grau obtenha uma aproximação para $c(38).
| Temperatura
|
20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| Calor específico
|
0,99907 | 0,99852 | 0,99826 | 0,99818 | 0,99828 | 0,99849 | 0,998 |
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação de
(calor específico da água a
) usando um polinômio de 2.º grau.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os pares :
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os pares
A pergunta única é: obter
aproximado por um polinômio quadrático.
Passo 2
Método escolhido: interpolação polinomial de grau 2 (polinômio quadrático) passando por três pontos próximos de
.
Escolhi os pontos com temperaturas ,
e
porque envolvem
e estão próximos, o que tende a dar boa aproximação local. Vou construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 com:
Escolhi os pontos com temperaturas
Passo 3
Fórmula de Lagrange (explicando cada peça):
O polinômio quadrático interpolador que passa por
para
é
O polinômio quadrático interpolador
onde cada polinômio básico
é
Aqui
é a temperatura onde queremos avaliar (no caso
),
são as temperaturas dos pontos escolhidos e
são os valores de
nesses pontos.
Passo 4
Calcular os
passo a passo.
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Verificação útil:
, como deve acontecer para bases de Lagrange.
Passo 5
Avaliar
usando os
e
:
Calculemos cada termo (mostrando as contas):
Somando:
Passo 6
Arredondamento e interpretação: os dados originais têm precisão até
aproximadamente. Arredondando
a cinco casas decimais obtemos
. Isso significa que, pelo polinômio quadrático interpolador pelos pontos escolhidos, a estimativa para o calor específico a
é aproximadamente
cal/g
C.