Considere a tabela
0
2
3
1
2
4
(a) Obtenha o polinômio interpolador de grau 2 de Lagrange usando a forma de Lagrange.
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0 | 2 | 3 |
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1 | 2 | 4 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com três pontos e pede o polinômio interpolador de grau 2 pela forma de Lagrange. Informações fornecidas:
- Pontos:
.
O que se pede: - (a) Obter o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Lagrange.
Passo 2
Explicando a ideia da forma de Lagrange (passo-a-passo, sem pressa).
- Queremos um polinômio
de grau tal que para cada ponto dado. - A forma de Lagrange constrói
como soma dos valores multiplicados por polinômios base que valem em e em todos os outros . - A fórmula geral é
onde
Aqui cada
é um produto de dois fatores (porque temos três pontos no total). Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
e são as abscissas e ordenadas dos pontos (cada par é um ponto). -
é o polinômio base associado ao ponto . - O produto no numerador
faz quando . - O denominador normaliza para que
.
Passo 3
Escolhendo índices para os pontos (isso ajuda a aplicar a fórmula sem confusão):
-
. -
. -
.
Passo 4
Calcular
passo a passo usando a definição:
Substituindo
obtemos
Calcule os denominadores numéricos:
Portanto
Passo 5
Calcular
:
Substituindo
obtemos
Calcule o denominador:
Assim
Passo 6
Calcular
:
Substituindo valores:
Denominador:
Logo
Passo 7
Montar o polinômio interpolador pela soma ponderada:
Substituindo
e as expressões de
:
Passo 8
Expandir e simplificar cada termo com calma (sem pular etapas).
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Passo 9
Somar termo a termo (coeficientes de
, de
e termo constante). Faço as somas convertendo para um denominador comum quando necessário.
Coeficiente de
:
Colocando em sextos:
Coeficiente de
:
Colocando em sextos:
Termo constante:
Portanto o polinômio simplificado é
Passo 10
Cheque rápido (verificação que ajuda na prova): avaliar
nos pontos dados para confirmar.
-
que coincide com . -
que coincide com . -
que coincide com .
Tudo confere; então a conta está correta. Força aí — esse método é ótimo na prova: decorar a fórmula das
e fazer os denominadores uma vez só já resolve.