Considere a tabela
x 0 2 3
y=f(x) 1 2 4
(a) Obtenha o polinômio interpolador de grau 2 de Lagrange usando a forma de Lagrange.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com três pontos e pede o polinômio interpolador de grau 2 pela forma de Lagrange. Informações fornecidas:
  • Pontos: (x,y)=(0,1), (2,2), (3,4).
    O que se pede:
  • (a) Obter o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Lagrange.

Passo 2

Explicando a ideia da forma de Lagrange (passo-a-passo, sem pressa).
  • Queremos um polinômio \,L(x)\, de grau \le 2 tal que \,L(x_i)=y_i para cada ponto dado.
  • A forma de Lagrange constrói L(x) como soma dos valores y_i multiplicados por polinômios base \ell_i(x) que valem 1 em x_i e 0 em todos os outros x_j.
  • A fórmula geral é
L(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,\ell_i(x)
onde
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui cada \ell_i(x) é um produto de dois fatores (porque temos três pontos no total). Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • x_i e y_i são as abscissas e ordenadas dos pontos (cada par é um ponto).
  • \ell_i(x) é o polinômio base associado ao ponto i.
  • O produto no numerador (x-x_j) faz \ell_i(x_j)=0 quando j\ne i.
  • O denominador normaliza para que \ell_i(x_i)=1.

Passo 3

Escolhendo índices para os pontos (isso ajuda a aplicar a fórmula sem confusão):
  • x_0=0,\; y_0=1.
  • x_1=2,\; y_1=2.
  • x_2=3,\; y_2=4.

Passo 4

Calcular \ell_0(x) passo a passo usando a definição:
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}.
Substituindo x_0=0,\;x_1=2,\;x_2=3 obtemos
\ell_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(0-2)(0-3)}.
Calcule os denominadores numéricos:
(0-2)(0-3)=(-2)(-3)=6.
Portanto
\ell_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{6}.

Passo 5

Calcular \ell_1(x):
\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}.
Substituindo x_0=0,\;x_1=2,\;x_2=3 obtemos
\ell_1(x)=\frac{x(x-3)}{(2-0)(2-3)}.
Calcule o denominador:
(2-0)(2-3)=2\cdot(-1)=-2.
Assim
\ell_1(x)=-\frac{x(x-3)}{2}.

Passo 6

Calcular \ell_2(x):
\ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Substituindo valores:
\ell_2(x)=\frac{x(x-2)}{(3-0)(3-2)}.
Denominador:
(3-0)(3-2)=3\cdot1=3.
Logo
\ell_2(x)=\frac{x(x-2)}{3}.

Passo 7

Montar o polinômio interpolador pela soma ponderada:
L(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x).
Substituindo y_0=1,\;y_1=2,\;y_2=4 e as expressões de \ell_i:
L(x)=1\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{6}+2\cdot\left(-\frac{x(x-3)}{2}\right)+4\cdot\frac{x(x-2)}{3}.

Passo 8

Expandir e simplificar cada termo com calma (sem pular etapas).
Termo 1:
\frac{(x-2)(x-3)}{6}=\frac{x^2-5x+6}{6}=\frac{1}{6}x^2-\frac{5}{6}x+1.
Termo 2:
2\cdot\left(-\frac{x(x-3)}{2}\right)=-x(x-3)=-x^2+3x.
Termo 3:
4\cdot\frac{x(x-2)}{3}=\frac{4}{3}(x^2-2x)=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x.

Passo 9

Somar termo a termo (coeficientes de x^2, de x e termo constante). Faço as somas convertendo para um denominador comum quando necessário.
Coeficiente de x^2:
\frac{1}{6} + (-1) + \frac{4}{3}.
Colocando em sextos:
\frac{1}{6} - \frac{6}{6} + \frac{8}{6}=\frac{1-6+8}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Coeficiente de x:
-\frac{5}{6} + 3 - \frac{8}{3}.
Colocando em sextos:
-\frac{5}{6} + \frac{18}{6} - \frac{16}{6}=\frac{-5+18-16}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}.
Termo constante:
1 + 0 + 0 = 1.
Portanto o polinômio simplificado é
L(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+1.

Passo 10

Cheque rápido (verificação que ajuda na prova): avaliar L(x) nos pontos dados para confirmar.
  • L(0)=\dfrac{1}{2}\cdot0^2-\dfrac{1}{2}\cdot0+1=1 que coincide com y(0)=1.
  • L(2)=\dfrac{1}{2}\cdot4-\dfrac{1}{2}\cdot2+1=2-1+1=2 que coincide com y(2)=2.
  • L(3)=\dfrac{1}{2}\cdot9-\dfrac{1}{2}\cdot3+1=4{,}5-1{,}5+1=4 que coincide com y(3)=4.
Tudo confere; então a conta está correta. Força aí — esse método é ótimo na prova: decorar a fórmula das \ell_i(x) e fazer os denominadores uma vez só já resolve.

Resposta

\;L(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}x+1

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